有限元基础三

2.3广义坐标有限单元法的一般格式常用二维单元3结点单元6结点单元4结点单元8结点单元常用三维单元2.3.1选择单元位移函数的一般原则原则1：广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等否则待定广义坐标无法以单元结点位移来表示。例如：3结点三角形单元有6个自由度，因此其广义坐标个数只能是6，每个方向3个。

u=1+2x+3y

v=4+5x+6y原则2：多项式中常数项和坐标的一次项必须完备例：u=1+2x+3y

v=4+5x+6y目的：确保所选位移模式能反映单元的刚体位移和常应变特性原则3：多项式选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式对于平面问题：一次完全多项式：x,y二次完全多项式：x2,xy,y2三次完全多项式：x3,x2y,xy2,y3若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标对称性。且一个方向的次数不应超过完全多项式的次数。如二次：xy三次：x2y,xy22.3.2广义坐标有限元的一般格式1.以广义坐标为待定参数，给出单元内位移uu=(2.3.1)对于二维问题3结点三角形单元

u=1+2x+3y

v=4+5x+6y2.用单元结点位移表示广义坐标惯用的单元结点位移排列是

ae=[u1

v1

u2

v2

]T为清楚地表明求解广义坐标的过程，可暂时采用另一表示方法=[u1

u2v1

v2]T将单元结点坐标代入位移模式(2.3.1)得：(2.3.2)对于二维问题由(2.3.2)式解出(2.3.3)对于二维问题为的伴随矩阵其中3.以单元结点位移ae表示单元位移函数u将(2.3.3)式代入(2.3.1)式，得(2.3.4)对于二维问题将结点位移改为一般排列顺序ae，则有(2.3.5)4.以单元结点位移ae表示单元应变和应力应变：(2.3.6)应力：由弹性变形产生的应力当有初应力和初应变时，应力的一般表达式为(2.3.7)5.用最小位能原理建立离散体系的结点平衡方程系统总位能的离散形式(2.3.8)将，，u等代入，并以结构结点位移a来表示单元结点位移ae，即ae＝Ga则系统总位能为：（2.3.9）总位游能的挺变分桥p＝0燃，得晋有限钱元求牵解方咐程K格a＝P（2订.3闸.1型0）其中K攀＝楚GTKeG（2估.3巩.1惰1）（2拳.3辞.1饲2）方程肤（2丛.3路.1翼0）志中载虹荷项泊：（2抖.3绵.1票3）其中（2丝式.3枯.1代4）6.全引入肥强制情边界婆条件裤7岔.海解饮方程券得到决结点重位移台8学.径进遵行必竞要的屯辅助炊计算广义莲坐标也有限继元可蓬能产殃生的途困难腔：当位胀移函趋数选风择不逗恰当愁时，A-1可能占不存械在，茎使得殊求解吗广义双坐标慕成为不可图能。当单你元结叨点较史多时皱，求肌解广组义坐淹标的过窝程太洽复杂余。2.架4灭有怪限元呈解的滤性质绕和收永敛性2.身4.凤1副有贿限元喊解的裕收敛陈准则以一斯个标馋量场躲函数码为例孩讨论碌：微分抗方程电A()董＝叠L（）＋刷b＝角0相应经的泛墨函为假定中包垂含和它夺直至m阶的型各阶奶导数民，若m阶导臣数非善零，浪则近透似函判数狡至戏少必飞须是m次多菊项式壮。若捕取p次完乡丰全多去项式舟为试早探函屑数，已则必糊须满缺足p≥m，这勺时降及脚其各平阶导芽数为凑：收敛届准则抹1先：完侧备性覆要求如果西出现贴在泛帆函中筝的场贞函数扣的最碎高阶郊导数序是m阶，碌则有候限元累解收进敛的杠条件漂之一鸟是单近元内岛场函俘数的广试探告函数扬至少膊是m次完让全多悠项式汗。或乘者说武，试氧探函骆数中挖必须永包含星本身晌和直功至m阶导井数为万常数趋的项悬。单元付的插醉值函号数满雾足上窃述要颜求时芬，称疯单元塘是完备策的。收敛毛准则宪2忙：协体调性锹要求如果悠出现恒在泛管函中销的最洒高阶债导数耀是m阶，惯则试返探函抖数在腐单元府交界慰面上味必须昼具有Cm-1连续庙性，幻玉即在尿相邻虫单元款的交运界面睡上应挣有函强数直壁至m-1逼阶晋的连堵续导兔数。当单龟元的烂插值榆函数厌满足坐上述夕要求睬时，赛我们浇称单消元是协调网的。当选甚取的梨单元抄既完匙备又酿协调珠时，担有限颠元解稻是收浆敛的妻，即铲当单比元的氏尺寸仪趋于嫂零时忘，有贯限元对解趋全于真狐解。这种泄单元泄称为炉是协调槐元。需要身指出按，在陈某些挎情况疗下，刺可以脸放松胶对协肠调性泰的要金求，跪只要膜这种手单元理能通宪过分张片试糖验，粉有限郊元解扛仍然编可以环收敛因于正下确的碰解答肺。这鸣种单情元称跳为非协遍调元。2.仁4.准2桨收烟敛准礼则的陈物理辰意义以平须面问揪题为骡例，民泛函中出执现的幼是位纳移u和v及其俱一阶涉偏导剖数，xyxy，因臣此m＝地1。收敛奔准则刘1琴要私求插宏值函当数至洲少是x、y的一承次完伐全多赤项式刊。u＝1+2x+3yv＝4+5x+6y这样禽才能主保证逢由此芹构成悦的有捷限元必解能尚够反岛映单扁元的淹刚体党位移碧和常颜应变品状态诱。收敛跌准则轨2资要弟求位也移函厦数在侮单元焦交界帽处具筐有C0连续笔性。旗即要习求位烫移函采数本休身在胃单元结交界钞处连欲续。如果偶位移膀不连挡续，耻将出晒现两离个问纸题：不连误续位厅移将乱导致讽无限督大应侵变，沸从而火使应诞变能占增大渠。位移册不连沈续意召味着廉出现险裂缝态或相甚互嵌城入。梁单纠元，牺泛函兼中出饶现以4营阶导太数，这即m＝40痕阶导蛙数，稳即位勒移本再身表笋示梁释的挠仍度；1队阶导偶数表凡示梁近的转骂角，撞或梁扎轴线汁的倾咸角2蜘阶导飞数表摆示梁贼的轴格线曲蓝率或植弯矩3失阶导伤数表衫示梁魂的剪丢力4远阶导爽数表移示梁瘦的载加荷集个度2.才4.贴3挠收羡敛速鸣度和必精度扰估计位移蜜场函残数的遥精确喉解总拦可以滋在域荡内一脸点的淋领域端内展安开成驰一个抄多项饮式：在尺附寸为h的单亩元内乳，如坡果插堂值函覆数采鼻用p阶完悄全多摊项式即，则主它能纺拟合块上式骨直到诉第p阶，顺所以渔误差磨为O(hp+1)。例如房诚：3刻结族点三甜角形陆单元威，p=艺1，角则u的误乱差为O(h2)。萍当单嫌元尺井寸减桌半时芒，误块差是没前次飞网格满的(爆1/舞2)2=婆1/胞4。误差滤估计与解况析解物相比尽、与帜同类伶问题侍相比不同握单元厅尺寸鬼的解都相比对于魄协调碰元，辨如已鸦知收季敛速轿度为O(hr)，因则可泄由下织式预哲测精仔确解余：对于睡3矩结亚点三闷角形随单元舌，如r=2春，n=饭2，蔽则可妖推得牢：u＝踢(咬4u2—u1)醒/仪3离散段误差请与截虚断误喝差离散孝误差并是有典限元究方法子本身弊的误酱差截断位误差每和舍估入误象差是栗计算辉机有扣效位绪数造导成的船误差结构悄的病句态和内网格蛋畸形访会严妖重扩进大截戏断误眠差和吴舍入药误差往的影遗响。2.驳4.访4您位既移有盾限元轿解的读下限承性质系统诸总位宫能由变剧分P=恼0得有宅限元复求解扶方程汤：K容a=P代入读总位只能式纱得：即在演平衡灾状态探下，歉系统毛总位肌能等哗于负鼻的应景变能匆。因此丛，当P→Pm竟in时，U→Uma究x在有驼限元奥解中由于自：则有即因为所以可见茎近似魔解暑在姿总体铺上不哀大于碌真解岁a椅。即您解具宋有下锦限性