北京市海淀区2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

第4页（共16页）2016-2017学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x﹣y=0的斜率是（）A．1 B．﹣1 C． D．2．圆（x﹣1）2+y2=1的圆心和半径分别为（）A．（0，1），1 B．（0，﹣1），1 C．（﹣1，0），1 D．（1，0），13．若两条直线2x﹣y=0与ax﹣2y﹣1=0互相垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．44．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B． C． D．5．已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥β B．⇒m∥n C．⇒l∥β D．⇒m⊥γ6．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．7．“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A． B．﹣1 C． D．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是．10．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是．11．实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为．12．如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为．13．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为．14．若曲线F（x，y）=0上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1≤x2且y1≥y2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：①；②；③y2=4x；④|x|+|y|=1．存在“双胞点”的曲线序号是．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．解得a=﹣1．故选B．4．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线中a=3，b=1，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x，故选B．5．已知三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，下面说法正确的是（）A．⇒α∥β B．⇒m∥n C．⇒l∥β D．⇒m⊥γ【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，l与β相交、平行或l⊂β；在D中，由线面垂直的判定定理得m⊥γ．【解答】解：三条直线m，n，l，三个平面α，β，γ，知：在A中，⇒α与β相交或平行，故A错误；在B中，⇒m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，⇒l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，⇒m⊥γ，由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故D正确．故选：D．6．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC，点P在平面ABC的投影D，则四边形ABCD是矩形．则三棱锥的体积V==．故选：B．7．“直线l的方程为y=k（x﹣2）”是“直线l经过点（2，0）”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若直线l的方程为y=k（x﹣2），则直线l过（2，0），是充分条件，若直线l经过点（2，0），则直线方程不一定是：y=k（x﹣2），比如直线：x=0，故不是必要条件，故选：A．8．椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），若该椭圆与直线x+y﹣3=0有公共点，则其离心率的最大值为（）A． B．﹣1 C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意，c=1，=，从而a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小，由此能求出其离心率的最大值．【解答】解：∵椭圆的两个焦点分别为F1（﹣1，0）和F2（1，0），∴由题意，c=1，∴=，∴a越小e越大，而椭圆与直线相切时，a最小设椭圆为+=1，把直线x+y﹣3=0代入，化简整理可得（2a2﹣1）x2+6a2x+10a2﹣a4=0由△=0，解得：a2=5，于是a=，emax==．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．【解答】解：根据题意可知焦点F（1，0），准线方程x=﹣1，∴焦点到准线的距离是1+1=2故答案为2．10．已知命题p：∀x∈R，x2﹣2x+1＞0，则￢p是∃x＞1，x2﹣2x+1≤0．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即∃x＞1，x2﹣2x+1≤0，故答案为：∃x＞1，x2﹣2x+1≤011．实数x，y满足，若m=2x﹣y，则m的最小值为﹣3．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足的可行域，进而可得当m=2x﹣y过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值．【解答】解：满足的可行域如下图所示：当m=2x﹣y过（﹣2，﹣1）点时，m取最小值﹣3，故答案为：﹣312．如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点M是侧棱AA1的中点，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，则点P的轨迹的长度为2．【考点】轨迹方程．【分析】由题意，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，A1P∥平面BCM，则P的轨迹是平行于BC的一条线段，即可得出结论．【解答】解：由题意，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，A1P∥平面BCM，则P的轨迹是平行于BC的一条线段，长度为2．故答案为2．13．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为．【考点】棱锥的结构特征．【分析】取AC的中点，连结OB，OD，求出OB，OD，利用勾股定理的逆定理得出OB⊥OD，结合OD⊥AC得出OD⊥平面ABC，由此能求出结果．【解答】解：解：取AC的中点O，连结OB，OD，∵AD=CD=2，∠ADC=90°，∴AC=2，OD=AC=，OD⊥AC．同理OB=，∵BD=2，∴OD2+OB2=BD2，∴OB⊥OD，又AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，AC∩OB=O，∴OD⊥平面ABC，∴三棱锥D﹣ABC的顶点D到底面ABC的距离为OD=．故答案为：14．若曲线F（x，y）=0上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足x1≤x2且y1≥y2，则称这两点为曲线F（x，y）=0上的一对“双胞点”．下列曲线中：①；②；③y2=4x；④|x|+|y|=1．存在“双胞点”的曲线序号是①③④．【考点】曲线与方程．【分析】利用新定义，分别验证，即可得出结论．【解答】解：由题意①，在第一、三象限，单调递减，满足题意；②，在第一象限，单调递减，第三象限单调递增，不满足题意；③y2=4x，存在“双胞点”比如（1，﹣1），（4，﹣4），满足题意；④|x|+|y|=1，存在“双胞点”比如（0，1），（1，0），满足题意；故答案为①③④．三．解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0），又因为|AM|=2，即可求圆M的方程；（Ⅱ）过点（0，2）的直线l与圆M相交于D，E两点，且，分类讨论，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣3，0），B（1，0），线段AB是圆M的直径，则圆心M的坐标为（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为|AM|=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以圆M的方程为（x+1）2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆M的圆心M（﹣1，0），半径为2．设N为DE中点，则MN⊥l，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当l的斜率不存在时，l的方程为x=0，此时|MN|=1，符合题意；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+2，由题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故直线l的方程为，即3x﹣4y+8=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，直线l的方程为x=0或3x﹣4y+8=0．16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，点M为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；（Ⅱ）若PA⊥PC，求证：PA⊥平面BDM．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接MO，推导出MO∥PC，由此能证明PC∥平面BDM．（Ⅱ）连接PO，推导出PO⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PA，再推导出MO⊥PA，由此能证明PA⊥平面BDM．【解答】证明：（Ⅰ）如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，连接AC，设AC∩BD=O，连接MO．因为ABCD为正方形，则O为AC中点．又因为M为侧棱PA的中点，所以MO∥PC．又因为PC⊄面BDM，MO⊂面BDM，所以PC∥平面BDM．（Ⅱ）连接PO，在正四棱锥P﹣ABCD中，PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PO⊥BD．又因为BD⊥AC，AC∩PO=O，且AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，又因为PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA．由（Ⅰ）得MO∥PC，又因为PA⊥PC，则MO⊥PA．又MO∩BD=O，且MO⊂平面BDM，BD⊂平面BDM，所以PA⊥平面BDM．17．顶点在原点的抛物线C关于x轴对称，点P（1，2）在此抛物线上．（Ⅰ）写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求△ABP的面积．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由抛物线经过P（1，2）可得p，即可写出该抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）若直线y=x与抛物线C交于A，B两点，求出|AB|，点P到直线y=x的距离，即可求△ABP的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线的顶点在原点，且关于x轴对称，可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由抛物线经过P（1，2）可得p=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以抛物线方程为y2=4x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣准线方程为x=﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣可得）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣点P到直线y=x的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．已知椭圆经过点D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过的直线l交椭圆C于A，B两点，判断点D与以AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过D（0，1），一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）以AB为直径的圆经过点D．当直线AB与x轴垂直时，D在圆上；当直线AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程为，由，得9（2k2+1）x2﹣12kx﹣16=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量数量积公式，结合已知条件能推导出点D在