2022届高考数学一轮总复习第六篇第5讲数列的综合应用理湘教版

第5讲数列的综合应用A级基础演练时间：30分钟满分：55分一、选择题每题5分，共20分1．已知{an}为等比数列．下边结论中正确的选项是．A．a1＋a3≥2a2B．a错误!＋a错误!≥2a错误!C．若a＝a，则a＝aD．若a>a，则a>a21312314剖析设公比为q，对于选项A，当a1025的最小n值是1．A．9B．10C．11D．1212n＋12n*，所以an＋1nnn－1nn剖析由于a＝1，oga＝oga＋1n∈N＝2a，a＝2，S＝2－1，则知足Sn>1025的最小n值是11答案C3．2022·威海期中某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批赞同方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为fn＝错误!＋12n＋1吨，但若是年nn产量高出150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产限期是．A．5年

B．6年

C．7年

D．8年剖析

由已知可得第

n年的产量

an＝fn－fn－1＝＝1时也合适，据题意令

an≥150?

n≥5错误!，即数列从第

8项开始高出

150，即这条生产线最多生产

7年．答案

C4．2022·福州模拟在等差数列

{an}中，知足

3a4＝7a7，且

a1>0，Sn是数列

{an}前

n项的和，若Sn获得最大值，则

n＝

．A．7

B．8

C．9

D．10剖析设公差为d，由题设3a1＋3d＝7a1＋6d，所以d＝－错误!a10，即a1＋n－1错误!>0，所以n0，同理可得n≥10时，an2，即3n－2n>2n，*∴错误!＋错误!＋＋错误!cnn∈N．1解设公差为d，则错误!解得d＝1或d＝0舍去，a1＝2，所以an＝n＋1，Sn＝错误!又a1＝2，d＝1，所以a3＝4，即b2＝4所以数列{bn}的首项为b1＝2，公比q＝错误!＝2，nn＋1所以bn＝2，Tn＝2－22证明12n由于Kn＝2·2＋3·2＋＋n＋1·2，23nn＋1，故2n＝2·2＋3·2＋＋·2＋＋1·2Knnn123nn＋1①－②得－K＝2·2＋2＋2＋＋2－n＋1·2，n＋1，则cn＝错误!＝错误!∴Kn＝n·2cn＋1－cn＝错误!－错误!＝错误!>0，

①②*所以cn＋1>cnn∈N．6．13分2022·重庆设数列{an}的前n项和Sn知足Sn＋1＝a2Sn＋a1，此中a2≠01求证：{an}是首项为1的等比数列；若a2＞－1，求证：Sn≤错误!a1＋an，并给出等号成立的充要条件．证明1由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1因a2≠0，故a1＝1，得错误!＝a2，又由题设条件知Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1，两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2Sn＋1－Sn，即an＋2＝a2an＋1，由a2≠0，知an＋1≠0，所以错误!＝a2综上，错误!＝a2对全部n∈N*成立．进而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．当n＝1或2时，显然Sn＝错误!a1＋an，等号成立．设n≥3，a2＞－1且a2≠0，由1知，a1＝1，an＝a错误!，所以要证的不等式化为：1＋a2＋a错误!＋＋a错误!≤错误!1＋a错误!n≥3，即证：1＋a2＋a错误!＋＋a错误!≤错误!1＋a错误!n≥2，当a2＝1时，上边不等式的等号成立．当－1＜a2＜1时，a错误!－1与a错误!－1，r＝1,2，，n－1同为负；当a2＞1时，a错误!－1与a错误!－1，r＝1,2，，n－1同为正；所以当a2＞－1且a2≠1时，总有a错误!－1a错误!－1＞0，即a错误!＋a错误!＜1＋a错误!，r＝1,2，，n－1．上边不等式对r从1到n－1乞降得2a2＋a错误!＋＋a错误!＜n－11＋a