充分条件与必要条件李用讲解

（优选）充分条件与必要条件李用ppt讲解目前一页\总数四十八页\编于十九点同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这是我的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证你是她的孩子。那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件。【实例引入】目前二页\总数四十八页\编于十九点2023/5/18音乐欣赏《我是一只鱼》提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就无法生存，但只有水，够吗？事例一探究：

p：“有水”；q：“鱼能生存”．判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．一、引入目前三页\总数四十八页\编于十九点2023/5/18有一位母亲要给女儿做一件衬衫，母亲带女儿去商店买布，母亲问营业员：“要做一件衬衫，应该买多少布料？”营业员回答：“买三米足够了！”引导分析：p:有3米布料q:做一件衬衫事例二：一、引入目前四页\总数四十八页\编于十九点（2）因为若ab=0则应该有a=0或b=0。所以并不能得到a一定为0。例:判断下列命题的真假。

（1）若x>a2+b2，则x>2ab。

（2）若ab=0,则a=0。真命题假命题解（1）因为若x>a2+b2

，而a2+b22ab，所以可以得到x>2ab。【问题探究】如果命题“若p则q”为真，则记作如果命题“若p则q”为假，则记作目前五页\总数四十八页\编于十九点（2）因为若ab=0则应该有a=0或b=0。所以并不能得到a一定为0。例:判断下列命题的真假。

（1）若x>a2+b2，则x>2ab。

（2）若ab=0,则a=0。真命题假命题解（1）因为若x>a2+b2

，而a2+b22ab，所以可以得到x>2ab。在真命题（1）中，p足以导致q，也就是说条件p充分了。

在假命题（2）中条件p不充分。【问题探究】在真命题（1）中，q是p成立所必须具备的前提。

在假命题（2）中，q不是p成立所必须具备的前提。目前六页\总数四十八页\编于十九点定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即p

q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条件．【定义得出】①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的形式,即“有之必成立”。②必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则非p”为真（非q=>非p）的形式，即“无之必不成立”。注：③p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它们是同一个逻辑关系“p=>q”的不同表达方法。目前七页\总数四十八页\编于十九点P10练习用符号与填空。

（1）x2=y2

x=y；

（2）内错角相等

两直线平行；

（3）整数a能被6整除

a的个位数字为偶数；

（4）ac=bc

a=b

目前八页\总数四十八页\编于十九点例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题

中的p是q的充分条件？

（1）若x=1，则x2–4x+3=0；

（2）若f（x）=x，则f（x）为增函数；

（3）若x为无理数，则x2

为无理数解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件.【典例演练】练习1：(1)若两个三角形全等，则这两个三角形相似；(2)若x>5，则x>10。解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题所以命题（1）中的p是q的充分条件。目前九页\总数四十八页\编于十九点例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若x=y，则x2=y2。(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等.(3)若a>b，则ac>bc。解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。目前十页\总数四十八页\编于十九点练习2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？(1)若a+5是无理数，则a是无理数。(2)若（x-a）（x-b）=0，则x=a。解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题，所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。目前十一页\总数四十八页\编于十九点①认清条件和结论。②考察pq和qp的真假。①可先简化命题。③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。②否定一个命题只要举出一个反例即可。1、判别步骤：2、判别技巧：判别充分条件与必要条件【方法小结】目前十二页\总数四十八页\编于十九点

p

q，相当于Pq，即Pq或P、q

P足以导致q,也就是说条件p充分了；q是p成立所必须具备的前提。从集合的角度来理解充分条件、必要条件目前十三页\总数四十八页\编于十九点答：命题（1）为真命题：练习3，判断下列命题的真假：

（1）x=2是x2–4x+4=0的必要条件；

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条

直线为圆的切线的必要条件；

（3）sinA=sinB是A=B的充分条件；

（4）ab≠0是a≠0的充分条件。命题（2）为真命题；命题（3）为假命题；命题（4）为真命题。目前十四页\总数四十八页\编于十九点能力测试1、用符号“充分”或“必要”填空：（1）“0<x<5”是“x–2<3”的______条件。（2）“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形为正方形”的______条件。（3）“xy>0”是“x+y=x+y”的______条件。（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的________条件。充分必要充分充分目前十五页\总数四十八页\编于十九点练习4.用“充分”或“必要”填空，并说明理由：1.“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的

条件；2.“四边相等”是“四边形是正方形”的

条件；3.“x≠3”是“|x|≠3”的

条件；4.“x－1=0”是“x2－1=0”的

条件；5.“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的

条件；充分必要必要充分充分6.“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的

条件；7.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都不为0)来说，“b2－4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的

条件；8.“a=2，b=3”是“a+b=5”的

条件；必要必要充分目前十六页\总数四十八页\编于十九点2.

m=－2是直线(2－m)x＋my+3=0和直线x－my－3=0互相垂直的__________________.充分而不必要的条件目前十七页\总数四十八页\编于十九点例3．开关A闭合作为命题的条件p，

灯泡B亮作为命题的结论q，你

能根据下列各图所示．判断p是q的什么条件吗？目前十八页\总数四十八页\编于十九点【课堂小结】

如果已知pq，则说p是q的充分

条件，q是p的必要条件。①认清条件和结论。②考察pq和qp的真假。①可先简化命题。③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。②否定一个命题只要举出一个反例即可。1、定义：2、判别步骤：3、判别技巧：目前十九页\总数四十八页\编于十九点自学导引 (学生用书P8)1.通过具体实例中条件之间的关系的分析,理解充分条件,必要条件的含义.2.通过具体实例理解充分条件,必要条件在思考和解决数学问题中的作用.目前二十页\总数四十八页\编于十九点课前热身 (学生用书P8)1.一般地,命题“若p则q”为真,可记作“________”;“若p则q”为假,可记作“________”.2.一般地,如果p⇒q,那么称p是q的________,同时称q是p的________.p⇒qpq充分条件必要条件目前二十一页\总数四十八页\编于十九点名师讲解 (学生用书P8)1.对充分条件､必要条件的理解一般地,若p⇒q,则p是q的充分条件.“充分”的意思是:要使q成立,条件p成立就足够了.即是说有条件p成立,q就一定成立.另一方面,q又是p的必要条件.“必要”是说缺少q,p就不会成立.目前二十二页\总数四十八页\编于十九点例如,“x=2”是“x2=4”的充分条件,即x=2⇒x2=4,但x2=4的充分条件还有x=-2,可见p⇒q,p不一定是唯一的.同时x2=4是x=2的必要条件.因为x2=4不成立,x=2一定不成立.我们可以用集合的关系来理解:若A⊆B,则A是B的充分条件,同时B是A的必要条件.例如A=[0,1],B=[0,2].若x∈A,则x∈B,所以A是B的充分条件.若x∉B,则一定有x∉A,也就是说,若B不成立,A也就不成立了.因此,B是A的必要条件.目前二十三页\总数四十八页\编于十九点2.充分不必要条件,必要不充分条件如果“p⇒q且q⇏p”,那么称p是q的充分不必要条件.例如,x=2⇒x2=4,反过来x2=4x=2,所以称x=2是x2=4的充分不必要条件.如果“p

q且q⇒p”,则称p是q的必要不充分条件.例如,p:“四边形对角线相等.”q:“四边形为正方形.”显然p⇏q且q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.目前二十四页\总数四十八页\编于十九点典例剖析 (学生用书P8)题型一用定义判定充分条件与必要条件例1:下列命题中,p是q的充分条件的是()①p:a+b=0,q:a2+b2=0;②p:x>5,q:x>3;③p:四边形是矩形;q:四边形对角线相等;④已知α、β是两个不同的平面,直线aα,直线bβ,命题p:a与b无公共点,命题q:α∥β.A.①② B.②③C.③④ D.②③④目前二十五页\总数四十八页\编于十九点解析:①∵a+b=0⇏a2+b2=0,即pq,∴p不是q的充分条件.②∵x>5⇒x>3,即p⇒q,∴p是q的充分条件.③∵四边形是矩形⇒对角线相等,即p⇒q,∴p是q的充分条件.④∵a、b无公共点不能推出α､β无公共点,即pq,∴p不是q的充分条件.答案:B目前二十六页\总数四十八页\编于十九点变式训练1:下列命题中,p是q的必要条件的是()A.p:x=1或x=2,B.p:m>0,q:x2-x-m=0无实根C.p:a>0且a≠1,q:y=ax是增函数D.p:f(x)=loga(x+1),q:f(x)为增函数目前二十七页\总数四十八页\编于十九点答案:A目前二十八页\总数四十八页\编于十九点题型二充分不必要条件,必要不充分条件的判定例2:指出下列各组命题中,p是q的什么条件?(1)p:数a能被6整除,q:数a能被3整除;(2)p:x>1,q:x2>1;(3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形;(4)p:|a·b|=a·b,q:a·b>0.分析:判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q及q⇒p两个命题的正确性,若p⇒q为真,则p是q成立的充分条件;若q⇒p为真,则p是q成立的必要条件.目前二十九页\总数四十八页\编于十九点解:(1)∵p⇒q,且qp,∴p是q的充分不必要条件.(2)∵p⇒q,且qp,∴p是q的充分不必要条件.(3)∵pq,且q⇒p,∴p是q的必要不充分条件.(4)∵a·b=0时,|a·b|=a·b,|a·b|=a·ba·b>0,而a·b>0时,有|a·b|=a·b,∴p是q的必要不充分条件.目前三十页\总数四十八页\编于十九点变式训练2:指出下列各组命题中,p是q的什么条件?(1)在△ABC中,p:A>B,q:tanA>tanB;(2)p:x=3,q:(x+2)(x-3)=0;(3)p:a>b>0,(4)p:|x-2|<3,0<x<5.目前三十一页\总数四十八页\编于十九点解:(1)在△ABC中,A>BtanA>tanB.反过来tanA>tanBA>B.(可举反例,取A=30°,B=120°),∴p是q的既不充分也不必要条件.(2)∵x=3⇒(x+2)(x-3)=0,而(x+2)(x-3)=0⇒x=-2或x=3.∴p⇒q,但qp.∴p是q的充分不必要条件.目前三十二页\总数四十八页\编于十九点目前三十三页\总数四十八页\编于十九点题型三充分条件､必要条件的应用例3:是否存在实数m,使“4x+m<0”是“x2-x-2>0”的充分条件?如果存在,求出m的取值范围.分析:“4x+m<0”是条件,“x2-x-2>0”是结论,先解出这两个不等式,再探求符合条件的m的范围.目前三十四页\总数四十八页\编于十九点规律技巧:本题用集合的包含关系去理解更容易解答,注意结合数轴确定m的范围.目前三十五页\总数四十八页\编于十九点变式训练3:使不等式x2-2x-3>0成立的充分不必要条件是()A.x>3或x<-1 B.x>5C.x>0 D.x<1解析:∵x2-2x-3>0⇔x>3或x<-1,∴x>3是x2-2x-3>0成立的充分不必要条件,而x>5⇒x>3.∴x>5是使不等式成立的充分不必要条件.答案:B目前三十六页\总数四十八页\编于十九点技能演练 (学生用书P9)基础强化1.使x(y-2)=0成立的一个充分条件是()A.x2+(y-2)2=0 B.(x-2)2+y2=0C.x2+y2=1 D.x+y-2=0解析:∵x2+(y-2)2=0⇔x=0且y=2⇒x(y-2)=0,故选A.答案:A目前三十七页\总数四十八页\编于十九点解析:a<b,b<0⇒a<0,b<0⇒a+b<0,故选A.答案:A目前三十八页\总数四十八页\编于十九点3.设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是()A.x<1 B.x>1C.x>3 D.x<4解析:x>2⇒x>1,而x>1⇏x>2,故选B.答案:B目前三十九页\总数四十八页\编于十九点4.已知平面α和两条不同直线m､n,则m∥n的一个必要条件是()A.m∥α,n∥αB.m⊥α,n⊥αC.m∥α,nαD.m､n与α成等角答案:D目前四十页\总数四十八页\编于十九点解析:∵a-b>1⇒a>b+1⇒a>b,而a>b⇏a>b+1.∴a-b>1是a>b的充分不必要条件.故选D.答案:D目前四十一页\总数四十八页\编于十九点6.设a、b、c∈R,在下列命题中,真命题是()A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件B.“ac>bc”是“a>b”的充分条件C.“ac=bc”是“a=b”的必要条件D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件解析:排除选项A、B、D知,C正确.答案:C目前四十二页\总数四十八页\编于十九点7.在“x2+(y-2)2=0是x(y-2)=0的充分不必要条件”这句话中,已知条件是________,结论是________.答案:x2+(y-2)2=0x(y-2)=0目前四十三页\总数四十八页\编于十九点解:∵命题(1)与(2)为真命题,而(3)为假命题,∴命题(1)与(2)中的p是q的充分条件.目前四十四页\总数四十八页\编于十九点能力提升9.指出下