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文档简介

偏导数的定义及其计算法目前一页\总数十七页\编于二十二点一、偏导数的定义及其计算法

类似地,可定义函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数.偏导数的定义

设函数zf(x

y)在点(x0

y0)的某一邻域内有定义若极限存在则称此极限为函数zf(x

y)在点(x0

y0)处对x的偏导数

记作>>>目前二页\总数十七页\编于二十二点一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义偏导数的符号

如果函数zf(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么f(x,y)对x的偏导数是x、y的函数,这个函数称为函数zf(x,y)对x的偏导函数(简称偏导数),记作偏导函数目前三页\总数十七页\编于二十二点一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义偏导数的符号偏导函数偏导函数的符号>>>目前四页\总数十七页\编于二十二点偏导函数

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数

例如三元函数uf(x

y

z)在点(x

y

z)处对x的偏导数定义为其中(x

y

z)是函数uf(x

y

z)的定义域的内点

目前五页\总数十七页\编于二十二点偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.偏导函数讨论

下列求偏导数的方法是否正确？目前六页\总数十七页\编于二十二点

例1

求zx23xyy2在点(1,2)处的偏导数.

解

例2

求zx2sin2y的偏导数.

解

目前七页\总数十七页\编于二十二点

解

证

例3

例4

目前八页\总数十七页\编于二十二点

证

本例说明一个问题:偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.

例5

已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证目前九页\总数十七页\编于二十二点偏导数的几何意义

fx(x0,

y0)=[f(x,

y0)]x

fy(x0,

y0)=[f(x0,

y)]yz=f(x,

y0)z=f(x0,

y)

是截线z=f(x,

y0)在点(x0,

y0)处的切线Tx对x轴的斜率.

是截线z=f(x0,

y)在点(x0,

y0)处的切线Ty对y轴的斜率.目前十页\总数十七页\编于二十二点偏导数的几何意义目前十一页\总数十七页\编于二十二点偏导数与连续性

对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.例如但函数在点(0,0)并不连续.在点(0,0),有fx(0,0)0,fy(0,0)0,提示：提示：当点P(x

y)沿直线ykx趋于点(00)时有因此函数f(x

y)在(00)的极限不存在当然也不连续

目前十二页\总数十七页\编于二十二点二、高阶偏导数二阶偏导数

如果函数zf(x,y)的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数zf(x,y)的二阶偏导数.

函数zf(x,y)的二阶偏导数有四个:其中fxy(x,y)、fyx(x,y)称为混合偏导数.

类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.目前十三页\总数十七页\编于二十二点

解

此例中两个混合偏导数是相等的.目前十四页\总数十七页\编于二十二点那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

定理

解

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