弹性力学之平面问题的基本理论

第一节平面应力问题和平面应变问题第二节平衡微分方程第三节平面问题中一点的应力状态第四节几何方程刚体位移第五节物理方程第六节边界条件第二章平面问题的基本理论第七节圣维南原理及其应用第八节按位移求解平面问题第九节按应力求解平面问题相容方程第十节常应力情况下的简化应力函数第二章平面问题的基本理论

弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8个未知函数，且均为。§2-1平面应力问题和平面应变问题

弹性力学空间问题共有应力、应变和位移15个未知函数，且均为；平面应力（4）约束作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。（3）面力作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；（2）体力作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；条件是：

第一种：平面应力问题

平面应力（1）等厚度的薄板；坐标系如图选择。平面应力简化为平面应力问题：

故只有平面应力存在。

由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：平面应力（1）两板面上无面力和约束作用，故所以归纳为平面应力问题：a.应力中只有平面应力存在；b.且仅为

。平面应力（2）由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力仅为。（2）体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；平面应变第二种：平面应变问题条件是：（1）很长的常截面柱体；（3）面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；（4）约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。坐标系选择如图：平面应变对称面故任何z面（截面）均为对称面。

平面应变（1）截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束平行xy面，柱体非常长；简化为平面应变问题：（2）由于截面形状、体力、面力及约束沿向均不变，故应力、应变和位移均为 。平面应变

所以归纳为平面应变问题：a.应变中只有平面应变分量存在；b.且仅为 。平面应变两种平面问题的比较平面应变几何特征受力特征独立量基本方程平面应力一个方向的尺寸<<其它两个方向的尺寸、有两个平行板面面力作用在板边、平行于板面；体力也平行于板面都沿厚度不变；约束作用于板边平行于板面沿厚度不变平衡微分方程、几何方程相同物理方程不同平面应变一个方向的尺寸>>其它两个方向的尺寸、横截面的形状和尺寸沿长度不变面力、体力、约束都平行于横截面沿长度不变将平面应力问题物理方程中的

代换即可§2－2平衡微分方程定义

平衡微分方程--表示物体内任一点的微分体的平衡条件。平面问题的平衡微分方程可以由空间问题的平衡微分方程简化得到。平衡条件两种平面问题都有平面应力。平面应变，只是（x,y）的函数。由平衡条件简化即可得到平面问题的平衡微分方程⑵适用的条件--连续性，小变形；说明对平衡微分方程的说明：⑴代表A中所有点的平衡条件，因为（，）∈A；⑶应力不能直接求出；⑷对两类平面问题的方程相同。理论力学考虑整体的平衡（只决定整体的运动状态）。

说明⑸比较:材料力学考虑有限体的平衡（近似）。弹性力学考虑微分体的平衡（精确）。当均平衡时，保证，平衡；反之则不然。说明所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。平面描问题婶的几穷何方负程，扭可以岛由空努间问桃题的伐几何地方程泡简化邪得到懂：说明平面团问题喇的物休理方软程可塑以由龟空间序问题敏的物奸理方经程简夏化得挠到。定义对平障面应抛力问酿题，适由于故其牺物理桑方程疮为：定义对平安面应砍变问甜题，斩由于故其签物理盈方程愿为：定义平面贤应力护物理置方程琴→平检面应拐变物族理方看程：平面蛇应变田物理总方程才→平卖面应样力物玻理方旬程：已知坐标著面上启应力投，求斜面迟上的贷应力迟。（推注意摘此面烛平行徐于z轴，麻即方愁向余休弦严）问题讽的提兔出：§2照－3演平符面问妄题中蕉一点尤的应种力状剂态问题由空细间问成题的援结论问题斜面收应力萝表示佩：简化讨得到斜面卸应力(2)求（）将 向法向，切向投影，得设某脊一斜燥面为扰主面皮，则韵只有由此投建立怀方程语，求混出:(3挺)求主秘应力斜面置应力(2描-6虚)将x，y放在裂方虽向，地列出吹任一执斜面识上应力来公式晌，可粱以得幕出（耀设泼）(4奶)求最炭大，宁最小避应力最大宫，最照小应户力说明吃：以砌上均鸣应用锡弹力飞符号采规定果导出叔。位移删边界逝条件－－勉设在峰部分忙边界前上给茅定位阅移分壁量班和拜,则虎有（在江上)辣。（2拉-1评4）定义边界简条件－－箱表示株在边祸界上愿位移敌与约耍束，察或应随力与燥面力问之间恒的关盐系。位移什边界蜓条件§2你－6歪边绳界条累件⑵抽若为烈简单脂的固定亏边，喘则冲有位移渡边界弱条件元的说攀明：（在就上烂）（应2-予14）⑶它是在边蜜界上物体扶保持盖连续思性的汤条件，旦或位移港保持次连续造性的补条件。⑴嫌它是函数皇方程，要震求在王上每灶一点初，位移容与对毅应的碎约束狂位移特相等瓣。应力渐边界色条件－－设在掉上给钞定了矩面力奇分量应力纱边界惠条件（2炉-1徐5）⑴辰它是众边界欠上微遥分体袍的静属力平恢衡条航件；说明应力够边界幕条件识的说殖明：⑶书式（临2-餐15）只能搏在边期界s上成婶立；⑵骆它是函数昂方程，要弄求在披边界刮上每劫一点s上均击满足华，这叹是精范确的躺条件冰；⑹吃所有荡边界绿均应吩满足晴，无节面力赖的边航界（自配由边恳）悬也必披须满险足。⑷告式（湿2-泰15）中，－－保按应傅力符兵号规胀定，，会－－仁按面网力符搅号规台定；⑸再位移,应力生边界昏条件让均为寨每个蝴边界当两个，慕分别水表示邀，雾向的袖条件粘；说明若x=旺a为正x面，l黑=1,m慰=0,则式致(d)成为当边滩界面逢为坐枯标面教时，坐标已面若x=察-b为负x面，l不=捡-1,m芹=0疯,则式预(d)成为应力粥边界胜条件即的两脚种表金达式钥：两种量表达故式⑵在同付一边按界面武上，披应力纹分量期应等伤于对应的难面力惰分量呈（数汤值相央等，抓方向推一致）老。即在哪同一范边界过面上斯,应旋力数恩值应等于此面力药数值秒(给斜定)显,应被力方绝向应贫同面力方狭向(由给定浊)。⑴在边旺界点怀取出滥微分造体，刃考虑驼其平奔衡条件，得妄式（需2-示15）⑴逢部分绣边界狭上为晚位移炭边界典条件爹，另丘一部景分边绵界上良为应谦力边衡界条兽件；混合昌边界鼠条件混合剖边界盆条件猾：⑵艇同一添边界冶上，迁一个滥为位梯移边辞界条鞋件，姥另一耍个为泰应力顺边界兼条件掌。弹性勇力学删问题杰是微龟分方柱程的衡边值境问题庆。应连力，屋形变裤，位傅移等某未知至函数亦必须拴满足A内的否方程技和S上的思边界坊条件员。主愧要的毛困难附在于刮难以推满足童边界薪条件朵。§2神－7恐圣遭维南解原理剪及其矿应用圣维塑南原惯理可用慨于简披化小覆边界执上的舰应力搂边界坟条件璃。如果烘把物腊体的一小你部分芹边界上的罪面力阀，变症换为充分布生不同伙但静力聪等效吃的面摧力（主谅矢量稀相同喉，对馅同一讯点的被主矩记也相葡同）玩，那么森，近处的应指力分劳量将碧有显勤著的胞改变拒，但远处所受券的影响响可没以不野计。圣维轨南原堪理圣维止南原闯理：圣维寒南原踩理1.圣维抚南原廊理只投能应睛用于一小骨部分挣边界（小业边界则，次蒙要边硬界或乱局部青边界公）；圣维袋南原源理的诊说明柳：4.远处─他指“惰近处光”之傻外。3.近处─阅指面彻力变铜换范旱围的挂一，聋二倍的局水部区絮域；2.静力虏等效─乎指两悔者主结矢量鼓相同缺，对同一借点主摊矩也背相同磨；圣维否南原繁理圣维梦南原风理表偷明，卧在小边钞界上进波行面程力的凑静力咱等效泉变换勿后，茎只影意响近处翁（局想部区脊域）的应谣力，那对绝护大部锦分弹拔性体来区域惰的应仿力没在有明够显影考响。圣维释南原下理推街广：如果贿物体用一小胜部分美边界锋上的军面力虽是一个秀平衡船力系（主矢朱量及虫主矩疑都等饮于零孟），沃那么次，这头个面笛力就膀只会活使近歉处产制生显利著的竟应力让，而泳远处镰的应带力可船以不脏计。圣维触南原迫理的涉应用击：1.推广颠解答句的应钉用；2.简化弯小边浴界上址的边子界条项件。应用圣维袖南原样理在山小边致界上塌的应嗓用：⑴精确呢的应围力边摆界条性件如图鞋，考方虑师小忘边界灾，上式厌是函委数方谊程，佛要求蹈在边抖界上息任一刚点，农应力客与面邀力数发值相隔等，歉方向土一致世，往记往难吊以满草足。(a)在边正界劳上，在小培边界x=疯l上，底用下导列条湾件代割替式(a)的条恩件：在同冷一边菠界x=壁l上，应力沾的主栗矢量=面力止的主风矢量蹄（给眉定);应力反的主苍矩(M)=面力芽的主氏矩（上给定深）.数值用相等,方向作一致.(b)⑵圣悲维南严原理的应右用─碍积分偷的应屡力边翠界条较件右端恒面力强的主火矢量浑，主辽矩的与数值筐及方懒向，元均已轻给定粘；左端长应力疤的主扎矢量洽，主王矩的被数值纵及方曾向，唇应与话面力负相同柳，并缘瑞按应朗力的典方向别规定剥确定后正负种号。具体束列出3个积逐分的急条件先：即：应力螺的主鹊矢量酿，主灰矩的浮数值=面力湿的主韵矢量冲，主删矩的恒数值己；应力蚂的主毕矢量总，主荣矩的献方向=面力死的主怪矢量戚，主挤矩的启方向塌。式中应力缩慧主矢详量，葱主矩牢的正警方向,正负内号的确生定：应力家的主祥矢量鼠的正打方向，即刑应力修的正择方向尚，应力杀的主利矩的泰正方鄙向，即边（正非应力皱）×（正溉的矩燥臂）笨的方捞向。精确骡的应抛力边少界条慌件毛积遍分的胳应力堡边界印条件方程盐个数23方程匙性质函数蝴方程誉（难畜满足再）代数忧方程溜（易傲满足抗）精确占性精确话近吃似适用烂边界犹大归，小肤边界只小边素界比较问：⑴遵平面趣应力婚问题芝与平株面应漂变问浙题，即除物虏理方载程的冰弹性定系数辟须变致换外圆，其生余完孟全相同。彻因此小，两嘉者的樱解答杯相似断,只倦须将册进恋行变狼换。朱以下狂讨论平面尚应力导问题。1.告平面治问题晋的基宏本方本程及榨边界停条件平面网问题§2挂－8缓按叶位移书求解共平面勉问题⑵平面应力问题平面域A内的基本方程:应力秧边界卖条件位移派边界辨条件（在壳上）（在肿上）S上边浙界条踢件:8个樱未知最函数类必恰须满和足上乔述方警程和翅边界闻条件再。按位高移求竞解（位液移法脚）─取垄，孝为基晴本未坚知函渴数，枯从方遍程和惊边界瞒条件晌中消仁去形增变和拣应力剑，导笛出只搁含蔽，但的番方程塘和边财界条粉件，上从而突求出删，委；再秧求形弃变和竟应力所。2.吃解法周─消疤元法解法按应州力求颤解（应教力法纽奉）－－臂取盯为基纵本未勾知函益数，雁从方每程和仔边界记条件悠中消押去位语移和影形变乎，导烛出只洪含应祸力的郊方程尺和边都界条家件，替从而女求出宰应力约；再廉求形从变和辽位移柿。这是射弹力欠问题纯的两谱种基年本解范法。3.按位谱移求未解⑵遭将其沾他未秧知函助数用沸，表灯示：形变用任，川表示阴─几勺何方叨程;应力先用豪形变午来表猫示（悦物理画方程沟），再代近入几航何方喂程，宿用用，损表示:⑴讨取申，妈为找基本定未知家函数汤；按位匹移求波解（2蠢-1吸7）⑶在A中导六出求潮，的顺基本御方程─将洁上式代入妻平衡傻微分宴方程叨，上式巡寿是用期，表命示的统平衡付微分系方程寸。2-凳18位移怨边界霉条件（在份上）（2引-1搭9）（在辜上）（2藏-1滨4）应力咱边界戏条件─将召式(a)代入窜应力钞边界振条件，⑷始在S上的喜边界望条件

按位移求解时，，必须满足A内的方程(2-18)和位移边界条件(2-14)或应力边界条件(2-19)。归纳：按位音移求炕解（平位移插法）焦的优更缺点执：求函佣数式皮解答羞困难昨，但在音近似椅解法斜（变左分法析，差般分法啄，有貌限单疫元法秒）中扛有着职广泛饼的应陪用。适用虏性广即─可适葛用于黑任何圆边界践条件史。（1企）取逗为辛基本葱未知意函数踪蝶；基本膝方程§2觉－9按应寒力求嚷解平辰面问找题相容福方程1.按应长力求依解平贷面应俱力问仓题（2目）其窑他未悟知函祖数用财应力途来表听示:按应巷力求捉解位移用形变应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题。

形变用应力表示（物理方程）。⑶金在A内求缴解应红力的棋方程(2哪-2郑0)从几鸽何方遇程中押消去区位移秃，烤，得相容浅方程地（形砍变协锤调条裙件）：补充承方程─从育几何园方程房诚，物罩理方欢程中馆消去类位移律和形低变得层出筛:平衡右微分君方程（2个）欢。裂(2副-1)代入滋物理券方程导，消投去形侮变，倚并应占用平阴衡微分咱方程买进行甜简化勾，便职得用应果力表楼示的换相容方程：其中(4麦)应力苍边界心条件泽－－涝假定全部赛边界皮上均雕为应坟力边剪界条志件。（2陈-2支1）（1农）A内的叔平衡反微分肚方程想（2悟-1瘦）；（2捧）A内的四相容驱方程残（2写-2蚂1）拥；（3汤）边冤界沟上的团应力贸边界王条件块（2将-1萌5）无；（4买）对盐于多仙连体拆，还剩须满满足位病移的齐单值靠条件（捏见第喉四章蠢）。归纳：（1坟）-功（4佩）也稿是校逮核应溜力分愈量是雅否正镰确的永全部辈条件。按应明力求益解平止面应驾力问晨题，应力烛必孕须满枕足下深列条介件：2.舅形变那协调旋条件狼（相里容方勤程）舅的物困理意成义⑴姓形变残协调饱条件枣是位圈移连培续性丑的必幕然结缓果。弄连续葛体→语位移垦连续发→几召何方衰程→司形变萌协调竹条件玻。⑵蕉形变件协调散条件习是与河形变铃对应形的位臭移存蛙在且猎连续推的必啊要条夏件。形变斑协调→对熊应的隶位移娃存在樱→位家移必酬然连铃续；形变疫不协茄调→对括应的遣位移吗不存抬在→卷不是旨物体撒实际浑存在源的形粉变→养微分今体变目形后剧不保罚持连塞续。⑴扇相容承方程(2轧-2咱2)1.常体顺力情竖况下角按应客力求句解的戏条件(2溪-1伍)⑵平衡芽微分商方程按应纽奉力函门数求槐解§2膀－1英0灯常体与力情先况下侧的简神化应力伟函数⑶腥应力冲边界停条件(S)皂(2洞-1纲5)⑷多连喂体中停的位垄移单阶值条牺件。在⑴-⑶条梳件下仪求解欠的全失部条损件中犁均不突包含汤弹性奶常数曲，故轰与弹扯性常秒数无渡关。2.在⑴弱常体族力,奏⑵单虾连体询,⑶哪全部助为应泊力边妹界条迈件（超）魂下的锅应力窝特征覆：结论蠢：①不报同材仗料的另应力吵(脂)壶的理械论解筝相同，拉用试逃验方田法求悔应力主时，寒也可冶以用日不同的虑材料体来代梦替