Cha插值法与最小二乘法

第三章插值法与最小二乘法在实际问题中遇到的函数有些有解析表达式，但很复杂，有些只给出一些离散数据，这给我们求解函数值、导数值、零点、极值和积分值等带来了诸多不便。对于这些情况，自然的想法是，设法找到某个简单近似函数满足。本章介绍两种方法，即插值法和最小二乘法。

§3.1插值法3.1.1多项式的插值概念在众多的插值函数中，多项式是最简单最易计算的。设函数在区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的点上分别取值为。在多项式插值中，最基本、最简单的问题是求一个次数不超过

的代数多项式

（3-1）满足其中均为实数（3-2）称为被插值函数；称插值多项式；条件（3-2）为插值条件；为插值点。其几何意义为图3-1插值几何意义满足（3-2）式的插值多项式是存在且唯一的。原因是满足（3-2）式的多项式的未知系数行列式为著名的范德蒙德（Vardermonde）行列式故解是存在且唯一的。3.1.2拉格朗日插值多项式

在每个插值点构造插值基函数为一个

次多项式，且满足条件

（3-3）（3-4）由（3-4）式和多项式的定义以及（3-2）式的插值条件，我们有：再由（3-4）式知，是的零点，故按因式定理必含有因式：既是次多项式，可知

再由条件，得于是有因此拉格朗日插值多项式可写为

（3-5）例3-1已知特殊角，用

的近似值。解：令用为节点，有一次和二次拉格朗日插值公式求用为节点，有拉格朗日插值多项式程序设计计算公式(3-5)的程序为二重循环。由内循环（j循环）通过累乘求得基函数，然后通过外循环（i循环）得到插值结果y.下图描述了拉格朗日算法流程，对于该框图中的有关参数说明如下：N:插值多项式次数（插值点个数-1）Xi：插值点Yi:插值点上的函数值LN:拉格朗日插值结果T:存放累乘积I:外循环变量J:内循环变量STARTINPUTN,X,Xi,Yi(I=0,…N)LN=0I=0,NT=1J=0,NJ=I?NOT=(X-Xj)/(Xi-Xj)*TENDJLN=LN+Yi*TENDIOUTPUTENDYES拉格朗日算法程序DIMENSIONX(I),Y(I)REALLNREAD(*,*)NDOK=1,NREAD(*,*)X(I),Y(I)ENDDOLN=0.0DOI=0,NT=1DOJ=0,NT=T*(X-X(J))/(X(I)-X(J))ENDDOLN=LN+T*Y(I)ENDDOWRITE(*,*)‘LN=‘,LN1、插值余项对插值后，用代替必定会产生误差，其误差可表示为

称上式为插值多项式

的插值余项。

设在区间上有直到阶导数，为

上个互异的节点，为满足条件的

次插值多项式。

那么对于任何，有

(3-6)其中且依赖于。（一般取最大值

3.1.3插值多项式余项3.1.4牛顿插值多项式在插值基函数中，按这种方式来求：由线性代数性质可知，一个不高于n次的多项式可表示成的线性组合。在满足插值条件情况下，可表示为（记为）：

（3-6）上式称为牛顿（Newton）插值多项式。

3.1.4牛顿插值多项式1.1、向前差分与牛顿向前插值多项式

取节点为等距离，则

其中h为步长。在两相临节点处的函数值之差为

称为函数f(x)在节点处以h为步长的一阶向前差分（简称一阶差分）。又称一阶差分的差分为二阶差分，记为

3.1.4牛顿插值多项式为了便于计算与一目了然，用表格描述为

表3.13.1.4牛顿插值多项式在等距离节点的情况下，可以用差分来确定(3.6)式的待定系数，并将牛顿插值多项式加以简化。

在节点上，函数值是已知的，所以

3.1.4牛顿插值多项式将上式带入(3.6)式，并令，则式(3.6)可简化为

该式称为牛顿向前插值公式。其插值余项是

（3-7）（3-8）3.1.4牛顿插值多项式2、向后差分与牛顿向后插值公式a、向后差分b、中心差分

3.1.4牛顿插值多项式3、差商与牛顿插值多项式用差商来确定(3.6)式中的系数一阶差商二阶差商

依次类推

3.愿1.常4牛顿丽插值耕多项应式表3梁.２雁差评商表3.待1.窜4牛顿器插值站多项恳式x4.00024.01044.02334.0294f(x)0.60208170.60318770.60458240.6052404例3议-2给出扒列表休函数年f(愉x)略=l正gx的值走，如车下表切所示拜，试催用牛蜓顿插缠值法胆求l布g4.比01的值中。表3率.3解：根据干给定抬的函羡数作般差商杏表，蝴如表鼠3.统3所籍示。x=侵4.孕01脾,惧x1=4强.0梯00霸2,粮x2=4各.0胞23贡3,云x3=4刻.0峰29聚43.减1.鱼4牛顿聚插值维多项能式lgx=f股(x0)+灯f(躲x0,x1)(川x-姥x0)+递f(摊x0,x1,x2)(钞x-咸x0)(厚x-尊x1)+熊f(森x0,x1,x2,x3)(负x-各x0)(河x-呆x1)纲(x太-x2)表3禾.4x4.被00牵024.赏01树044.提02闭334.毙02弟940.矿60怎20仆81只70.游60踢31灭87更70.第60赞45程82咬40.铁60察52逢40豪40.惨10馋84废330.炮10尚81臣160.恶10白78序69-0寸.0站13现63豆6-0打.0漆13遮00间00.田02哥17昼81f(籍x)一阶煮差商二阶丢差商三阶品差商将以蕉上各或插值害点值艇、函遍数值邪和差淹商值劲代入理插值训公式勤得l胖g4.扩01=0.柳60缩慧31拒44倦33.俗1.怪5He状rm失it怜e插进值多束项式前述分的插热值多决项式速均只恩要求星插值寨点函臭数值常相等泰，为友进一周步光选滑函彻数曲种线，吸有时眠还要食求其悼导数回值也坛相等赞，并学等于够已知牛值的旅次写多项窃式注。舟该多具项式勉称牌为迹的H纷er词mi册te俗插值鹅多项减式，证它也虎是一斯种近目似式抱。求解帽He美rm散it深e插谷值多销项式挑的一少种最朱简单麻方法页就是碗直接猴应用今牛顿缺插值扑法。躺即已坦知节窄点聚处样函数充值与厕导数某值时，苦把中视麦为卷重节灾点，并攀注意隙个尺重节事点的惨阶铸差商3.控1.偏5He厉rm柔it根e插泛值多脆项式例自3-推2已知睡函数的函滚数值饺、导鼻数值年如下液，求泄其插删值多城项式茎及误鹅差表观达式惹。-1010-4-2056解：3.敞1.谷5He晨rm抹it驰e插历值多梳项式作差浮商表陕如下竹。f灾(0侨,0药)=怖y’算(0回)/爱1!繁=0卖,昆f(事0,旗0,期0)粮=y去”(禾0)昂/2若!=料3,困f友(1鼓,1霉)=哀y’津(1旗)/掩1!疤=5受.杰按差烂商表令3.梨2有昼：-1000110-4-4-4-2-2-400254323-1-110213.刘1.日6三次杀样条肢插值内多项延式1、三次雨样条垒插值恭函数六的定扬义对于补一组材已知港的数废据没，彩且成，若眠函数雷满足吸：(1胁)、在胞每一份个子牢区间招上蹈都洲可以滋用最陆高为益三次捕的多纯项式膜来表脑示。⑵、规在怀上的蹲二次沃连续汗可微够。即湿，蜜，连续午。⑶、展插值严条件则称养为函锻数f纱(x握)关椒于节犹点篮的三次悲样条育插值途函数。3.浓1.放6三次暖样条私插值绪多项塑式2、边界狮条件傍问题根据渡定义钻，在叉任意秀子区扶间上振，三选次样伙条函度数可给表示弹为该式缩慧中有4个待樱定系外数，森故共骗有4n个待众定系题数。遗由定副义中郑的连弓续条耍件和形插值郑条件踢可列出絮下列调方程斩：3.偿1.欠6三次狗样条砍插值脊多项役式上式享共有4n锹-2个方背程，节因此雄还需捆要2个方桥程才黎能确街定4n个系袋数，衣这就劝要用呢到边即界条件魂。边笼界条堂件的堵类型喜很多星，常溜见的辽有三洲种：[1惩]、届在边咱界上优给定悼一阶鸣导数膊的值雁；[2脖]、浙给定右二阶从导数稻的值盛；倾（角如果，称装其为自然丹边界允条件[3削]、f(汤x)怎是以童b-毛a为笨周期喘的函绵数，存则要疏求S突(x采)及腥其导险数也巡寿是以与b-抄a为的周期鸦的函击数，余相应愚边界铁条件延为3.奖1.截6三次叠样条挤插值避多项狗式3、酿三弯框矩方梦程设S民(x欠)在返某一乡丰节点栋的二缴阶导雹数为（在绩力学踢上解关释为馋：Mi是细撕梁在弦截面覆处的浇弯矩唉，因池为该骨弯矩鸟与相东临的喂两个遗弯矩障有关鄙，故深称三板弯矩订方程逃）因为养S(蚁x)渴最高冰次数护不超越过三础次，缩慧所以呼它的准二阶桑导数革是线妇性函吐数。令百，法于是3.者1.京6三次就样条胁插值恭多项筑式连续分积分抽两次忙得其中堂为积朝分常腥数。迟由以楼下插任值条腿件确间定所以（3钟-9尽）3.智1.图6三次鲜样条洁插值节多项竭式代入氧(3宵.9警)式懂得从上皂式可邮知，浸只要头确定夹M值活（M0,哭M1,枪…,取Mn共n粉+1争个）等，就颤可以卖完全研确定检S(带x)旅。在沿确定毕(3漆.9失)式东中待冈定系宫数时柜用了尊插值询点的辛条件驾，下脊面利稿用节米点一疤阶导怀数连猜续条恩件（3俭-1骡0）（3渐-1藏1）3.签1.休6三次栗样条朋插值扩多项菌式由(井3.霸10述)式维得于是（3锁-1凑2）（3桐-1席3）3.察1.迅6三次密样条睁插值成多项路式由(堂3.裕11仔)式忌、增(3洗.1颗2)逝式和续(3赵.1汽3)曲式得若记则方诊程可恢简写吗为（3盼-1合4）3.军1.观6三次梨样条融插值敲多项那式即上方糠程组陷有n书-1醒个方锁程，炉但有创n+惨1个荣未知共数。筹因此每，要霜确定律Mi还需浓用边站界条慌件。[1雪]、第一顷种边碧界问努题边界柏条件则（3僚-1授5）3.平1.师6三次算样条筋插值木多项普式整理列得其中（3兰-1侨6）3.快1.消6三次掩样条弓插值潜多项依式[2海]、战第二联种边丑界问番题边界赔条件次边肿界条非件表够明M0和Mn是已喝知的底，所渣以(3皱.1斥5)式直密接改拐写为（3黎-1未7）3.辫1.穷6三次经样条性插值裁多项废式[2蛛]、臭第二哀种边舅界问芽题边界颈条件泉a喇、b、并注魂意到治，得记3.馋1.惭6三次茧样条胶插值妖多项考式则方雾程可椅简写演成将上县式和宴与(3桌.1州5)式合钻在一润起满足散第[萌1]戚或第站[2岗]或筝第[箱3]活种边虽界条浅件的腥三次拆样条部插值辛函数S(口x)是存挣在且围唯一荣的。（3端-1肢8）3.季1.唐6三次踩样条迁插值填多项丑式例3错-3：已知尖函数y=乌f(慎x)的函形数值沙如下x葡-标1.测5燥0从1鲁2y榜0.宫12叠5警-1债1档9求三庙次样义条函确数S(识x)，使助其满荐足边亡界条冻件但。解：晴这是说第一浩种边脚界条征件问罚题，太(3在-1票4)政式和透(3罚-1镰6)坦式的毫个参孝数为3.沙1.吧6三次掘样条龙插值汽多项警式方程伏组为求解辣后得由(3期-1北0)式得3.职2曲线友拟合3.钳2.糊1问题辅描述实验惧的目岩的是俭寻找哀一些士物理梁量之往间的唉关系湿，如咱一组老实验丧数据螺（xi,yi）,要寻叼找函邮数而的一川个近跪似表项达式灶，这晌就是决一个猫曲线丽拟合帽问题岁。插值还方法欢可以说在一堂定程环度上追解决透曲线衫拟合臣问题愉，但游有明巡寿显的茅不足忧。首因先，商实验珍数据狐有误缩慧差，滴如果服进行梁插值胆，则冰所求穗得的命曲线压必须艰严格悬通过漫所有逝实验察数据肚点，怨从而云使得疑该曲骨线保恰留了鄙实验留误差闭；其冷次，刮实验棚数据瓣往往推很多斜，用槐插值艺法求盗得的畅表达肠式因暮此缺滴乏实铅用性看。曲线成拟合龙还有捡一个乌好坏骑的标觉准问羽题，好标准申不同盈决定宿着不冤同拟致合的贱方法地。常孩用的刷有最吗小二炕乘法孟，其位基本蜘思想性是：袍使拟伏合曲贡线与猴实验捏点之络差的极平方师和最霞小。3.绑2曲线惠拟合3.应2.灰2概述实验肌数据迹表实验尚编号自变卷量搭因键变量1绵x1y12虏x2y23季x3y3…咱…余…i公xiyi…恳…喜…m祥xmym3.令2曲线照拟合设x惰和y虾之间盼为线佳性关逆系，奶则有手：通过肌实验懒数据盘来确截定（欲3-堤19择）式渣中的围常数货a和嘉b，项即建辽立x粥与y替的关禾系，驰此为士一个品一元挑线性愤拟合禁问题决（线昏性回布归）皇。问题姑：如牲何用信m组肚数据退确定强线性贵方程悦中a引和b示？见展下图种。（3铃-1站9）3.恒2曲线兽拟合如何验确定洒哪一士条直令线是稀最好庄的？a.最小牺二乘并法：苏使回犁归的享残差贴平方拘和最锡小。b.蚕残差屑：实桨验数亩据yi与回已归方融程计璃算的耕f(戚xi)之录间的冤差，怪用qi表示焰：按最扔小二眠乘法嫩的定农义：（3粉-2略0）（3病-2储1）3.霜2曲线锐拟合2.窄`算墓法由（3-粮21）式宇可知臭，Q是a和b的函只数，羡即根据去数学嗽知识起，要分使Q最小好，有伞：,,将（3-户21）式臣代入轮前两投式：3.忠2曲线庙拟合经过铸计算灭得到漂：（3橡-2棋2）（3文-2线3）3.灵2曲线帜拟合由（砖3-攻22狸）和浸（3怀-2垄3）薯式可这验证箭：3.缴方吃差分无析如何邮衡量探回归丸直线谁与实浇验数堵据之斤间的鄙吻合鲜程度荡？或小回归拒直线撑的可小信度牺是多蹈少？--蚁--怎这个锈问题歉由方差遍分析测来完尖成。衡量芝标准言：（谨几个懂统计绞量）a.购残差下平方竟和b.续回归拿平方烧和牌其中3.托2曲线庄拟合c.剩余仔标准洒差勇其中活n=抖1d.覆相关怪系数e.享综合痛检验伏值一般岁常用埋的是廊：相难关系签数R条（R:驼0贞<=金R<怨=1莫;R碧越接锈近1阅越好）和狂综合勤检验转值F青（F为胞显著敢性检连验，晨它的振值越宴大越舞好）。3.斑2曲线导拟合多元篮线性瓦最小聚二乘斤法：汁自变轰量个畏数大巡寿于一剑，如泳：当Q/bi=0时，份得到塌一个腿线性恐方程触组，跟用以旅求出bi非线霸性最紧小二遵乘法息：将份非线详性方浸程回想归转吵化为浸线性垂形式馒。如漫转化丹为孝即候相当河于若非旺线性捡方程狡不能骆回归奥转化踢为线雷性形屯式时盘，可纤采用哲后面女求根重法中秩的迭探代法愚。3.丙2曲线及拟合3.驱2.奇3捆程序伟设计程序擦功能呼是：卸由已议知的酿m组至实测沙数据泡（xi,兴yi),服i约=1沟,液2,挺3,次…,恶m,千按悔最小尺二程临序原之理拟皱合多焦项式蹄的系第数。贞其中直用户具可以损根据我具体获问题樱预先欢确定胀拟合旅多项占式的筹次数即，也巾可以召按精度度要颗求，份使程辆序自对动选难择多众项式技的次然数。林应该属注意理的是压，无秘论何乞种选数择，滑其次课数都幕不应挪该超森过速m。1、禁变量虹及数免组使乎用说透明M:厘实拘测数帝据（泻xi,瘦yi)的能个数少；N:锋拟更合多耕项式果次数述加1肯，例赛初值赴为2浅，即熔为一幻玉次多判项式烧；EP伴S:吹允女许误嘴差；N0极:宪用户秤直接拿选择应多项算式次粪数，比=0悠时表隶示按轮精度论要求么自动封选择暑多项兼式次笑数；3.痰2曲线垦拟合X(桌M)较:财存放抢给定领点的采值；Y(粒M)走:榜存放递给定顺点的恋实测听值；F(利M)握:饥存放西给定桃点所愈拟合属的函舒数值筹；S(盘2M诸):有存女放运国算中外形成听的正宰规方暗程组郊系数待的所请有值斧；A(伏M,窑M)般:击存随放正有规方展程组菌系数焰增广呀矩阵波；B(核M)仙:猛存放奋正规膛方程诉组常税系数默列向温量；Z(污M)乔:摔调用换解方依程组锈子程衬序得腔到的阿解向泰量；C(饥M)壳:律存夜放多下项式爱系数街列向酸量；Q(杨M)忽:悼存词放残目量之拨绝对妨值。2、喜程序宁流程煌图开始输入言N轧0,闷M欠,堆X(伙I)蜜,滨Y(健I)N0=0?N=虽2

N=N0+1计算屿S(蓝K)白,K=参1,舅2,支…,彩2串N-查1生成绵S(猛I+碰J-邻1)荷=A恭(I渴,J角)I=揪1,例…N眯;摄J=行1,抢…,惹N计算扬B(材K)剧=A(柱K,吓N+挤1)冒,标K=怀1,吉…,弊N调用农主元香法解滋方程锅组子环程序蓝，解剥向量笨Z(吼I)X(的I)既=Z晶(I僻)I=呆1,碗…,泳N计算救拟合阀曲线补在给会定点胡X(南I)役上函潜数值已F恶(I栋)I=续1,亿…,灯M计算幼残量Q(贷I)尽=A潮BS龄(F红(I足)-评Y(帖I)械)寻找建最大披值Q傻(I0)N0=0?Q(锄I0)/烫F混(I0)低<E禁PS凯?

N=N+1N<M输出宝多项够式系芹数C烘(I健),峡I岸=1翠,…年,M结束YNYNYNYN3.许2曲线研拟合3、回源程尝序清鱼单10DI鲜ME免NS霜IO家N恩X(腔M)乌,尚Y(柿M)奶,20&S(殖2*羊M)播,极A(挠M,绝M)替,愤B(宵M)粗,30&Z(签M)么,P循(M碌),说Q嗽(M盼)40C输入妹已知抄数据50祝RE餐AD给N本0,限M60日IF篮(世N0麦=0应)爪TH循EN70坡RE亩AD社E逗PS80啊EN雹DI悉F90底DO热I剪=1貌,M10宪0悦R敌EA员D(嘉*,目*)队X咽(I榨),懂Y序(I约)11态0灿E摇ND论D地O12绢0晃I母F园(N仗0=胆0)保T指HE头N13滑0份N=搬214享0辈E旧LS虹E15丈0健N=宾N0闷+116显0低E纹ND谎IF17绵0C刊生成僻系数敢矩阵吃S(忙2N揭-1荣)18匪0DOI=慨1,坡2*灭N-室119搁0遍S朋(I限)=遮0.恭020飘0DOJ=量1,务M21萍0大S(断I)班=S罗(I例)+华X(果J)弄**惩(I王-1陶)22世0EN尼D车DO23优0EN杰D粮DO24投0DOI=陈1,扯N3.牲2曲线缺拟合25箭0DOJ=拐1,嫩N26塌0权A帐(I黎,J葱)=轨S(肉I+安J-演1)27逼0EN自D朴DO28配0EN刮D准DO29着0C产生漂增广咬矩阵30院0DOI=猪1,暴N31龙0隆B感(I严)=市0.业032伙0DOJ=乔1,鲜M33贱0舟B貌(I砖)=叼B(询I)木+Y之(J是)*碧X(麻J)皇**航(I害-1在)34挖0EN兼D缠DO35歌0悠A浓(I廊,N下+1花)=黑B(铁I)36便0EN步D培DO37吸0C调用膨求解渠方程拘子程封序38汗0碧C赢AL破L岛SO欢LV拼ER探(*通，Z惊)39寄0C求绝琴对值无最大袖的残鹿量40觉0DOI=之1,女M41推0迷F悦(I爷)=每0.乐042刻0DOJ=目1,毯N43贵0咬F吐(I览)=勒F(汪I)罚+Z汪(J里)*汪X(领I)西**喉(J眠-1搁)44制0EN绳D喊DO45乱0旦Q(除I)初=A映BS币(F痒(I罩)-傻Y(诞I)瘦)46筋0EN帖D哪DO47