2022年全国初中数学竞赛模拟试卷及答案解析

第第PAGE1017页2022年全国初中数学竞赛模拟试卷一、填空题（共7小题，每空2分，满分20分）12分）已知﹣n＝5m+213，那么44＝ ．22分）如图，以ABBA，分别以ACB内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于．32分）加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图，A到MN的距离大于B到米，一个行人PMN上行走，问：当PAPB的距离之差最大时，这个差等于米．44分）如图，有 个正方形，有 个三角形．52分）在平面直角坐标系中，点P+1﹣1m为实数）不可能在第象限．64分）某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用6030个座位．则该校去参加春游的人数为；若已4525030060451种方案需要租金元．72分）P是平行四边形ABCD内一点，且△AB5△A＝2，则阴影部分的面积为．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分2分）82分）如果abc均为正数，且+）152，（+）＝16，a+）＝17，那么abc的值是（ ）A．672 B．688 C．720 D．750三、解答题（共9小题，满分100分）98分已知abc+b+c的值能被135+7b﹣22c的值是否一定能被13整除，为什么？1（8分ABCDA＝MNBEFABE，MEFN，NFCDS，SS

=？1 2 3（提示：连接AE、EN、NC和AC）

𝑆1𝑆 319分）已知n是正整数，且2+1与3+1都是完全平方数．是否存在，使得5+3是n的值；如果不存在，请说明理由．1（10分）3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码33110分如图，一个9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有319的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数99位数，简单说明理由．1（10分）平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）1（15分）壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是2736356个人105岁．请回答：是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是岁，岁，岁？1 11（15分）请回答：能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？能否表示为3个互异的8 8完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由．1（15分）相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的211的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了3 3 5速度是甲速度 211的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了3 3 5知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问：这条椭圆形跑道长多少米？2022年全国初中数学竞赛模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（共7小题，每空2分，满分20分）12分）已知﹣n＝5m+213，那么44＝97 解：∵m﹣n＝﹣5，m2+n2＝13，∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，∴mn＝﹣6，m4+n4＝132﹣2×36＝97．故答案为：97．22分）如图，以ABBA，分别以ACB为直径在大半圆4内部画两个小半圆，那么阴影部分的面积与大半圆面积的比等于9 ．解：设AC＝2x，∵BC＝2AC，∴BC＝4x，AB＝6x，∴S =1𝜋（3x）2−1π（2x）2−1𝜋x2阴影部2 2 2＝2πx2∴阴影部分的面积与大半圆面积的比为：12πx2：𝜋（3x）2＝4：9，24故答案为：．932分）加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图，A到MN的距离大于B到MN米，一个行人PMN上行走，问：当PAPB的距离之差最大时，这个差等于7米．、、P此时三点构成三角形．APBPAB．∴A、、P在同一直线上，∴PAPB的距离之差最大，AB44分）如图，有95 个正方形，有155 个三角形．166+×5+4×4+3×3+2×2+1×1＝91．另外还有4个正方形．所以正方形的个数为91+4＝95；（2）①直角边长为1的三角形的个数为6×6×2＝72个．②直角边长为2的三角形8+6+2+8+6＝30个．③直角边长为3的直角三角形4+2+4＝10个④直角边长为4的直角三角形有2个．⑤斜边长为2的三角形12+3+1+4＝20个．⑥斜边长为4的三角形1+2+1＝4个．⑦1～6列依次还有3+3+3+2+3+3＝17个．所以三角形的个数为72+30+10+2+20+4+17＝155故答案为：95；155．52分）在平面直角坐标系中，点Pm+1m1m为实数）不可能在第二象限．（）当（+）0

{ ，所以m＞0或m＜﹣1，因此𝑚+𝑚+m1＞1或﹣＜﹣，即Pm+﹣1可能经过第一或四象限．（2）m（m+1）＜0

{ ，所以因此﹣2＜m﹣𝑚+𝑚+1＜﹣，即Pm+1m1P（+m1不经过第二象限．64分）某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用6030个座位．则该校去参加春游的人数为270；若已4525030060451种方案需要租金1400 元．𝑎解：设该校去参加春游的人数为a人，则有45

=𝑎+3060

+1，解得：a＝270设租用45座客车x辆，则租用60座客车（x+1）辆，由题意45270÷45＝6250×6＝150060要（270+30）÷60＝5300×5＝1500元，则有：{250𝑥+300(𝑥+＜2445𝑥+60(𝑥+1)≥270∵x为正整数∴x＝2

，解得：2≤x 11即租45座客车260座客车3252+30×140（元270，1400．△ 72分）如图P是平行四边形ABCD内一点，且SAB5SA＝2，则阴影部分的面积为3 ．△ 解：∵S

PCD=1S

ACD，△ △ 2 △△ △ ∴SACD﹣SPCD＝S△ △ △ △ △ 则SACD﹣SPCD﹣S△ △ △ △ ＝S△ ＝5﹣2，＝3．故答案为：3．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分2分）82分）如果abc均为正数，且+）152，（+）＝16，a+）＝17，那么abc的值是（ ）A．672 B．688 C．720 D．750解：∵a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，∴ab+ac＝152 ①，bc+ba＝162 ②，ca+cb＝170 ③，∴①+②+③，并化简，得：ab+bc+ca＝242④，∴bc•ca•ab＝90×80×72，即（abc）2＝7202，∵a，b，c均为正数，∴abc＝720．故选：C．三、解答题（共9小题，满分100分）98分已知abc+b+c的值能被135+7b﹣22c13x，y，z，t是整数，并且假设a+b﹣27+2+3）+1（y+zt（1）a，b，c的系数，应当有7x+13y＝52x+13z＝7（2）3x+13t＝﹣22，取x＝﹣3，可以得到y＝2，z＝1，t＝﹣1，则有3（7a+2b+3c）13（2a+b﹣c）13整除，5a+7b﹣22c13整除．1（8分ABCDA＝MNBEFABE，MEFN，NFCDS，SS

=？1 2 3（提示：连接AE、EN、NC和AC）

𝑆1𝑆 3解：如图a所示：连接AE、EN和NC，设四边形AECN的面积为S，∵AM＝MN＝ND，BE＝EF＝FC，△ △ △ ∴SAEM＝SMEN，SCNF＝SEFN△ △ △ AEM CNF 上面两个式子相加得S +S ＝AEM CNF △ △AECNS＝2S2=

+S =1S，SAEM CNF S．连接AC，如图b所示：∴CE＝2BE，NA＝2DN，

2 △ △ 2∴S =1 ，S =1 ，△ABE

SAEC CDN SCNA2△ △ 2△上面两个式子相加得S

=1×四边形AECN的面积=1所以，S

△ABE+S +S

+S

2 =1 1△AEM

𝑆

△ABE1𝑆

1

2 =2 = ．𝑆1𝑆 3答：=1

𝑆 2．𝑆1𝑆 3 219分）已知n是正整数，且2+1与3+1都是完全平方数．是否存在，使得5+3是n的值；如果不存在，请说明理由．解：如果2n+1＝k2，3n+1＝m2，则5+34（n+）﹣n+）＝﹣＝（2﹣．5n+3＞（3n+1）+2＝m2+2＞2m+1，所以m1（否则+＝m＝+1．从而n+＝2+（2）是合数．1（10分）3成为一个七位数；第二次升位是在首位数前加上2号码升位后的八位数恰好是原六位数的电话号码33abcdef2a3bcdefbcdef＝x由题意得33ax＝2a3x，即33（100000a+x）＝20300000+1000000a+x，化简得32＝2030000﹣230000（≤a，≤100000的整数0≤x＝3125（203﹣23a）＜100000，解得171＜23a≤203，所以a＝8．于是x＝3125（203﹣23×8）＝59375．故所求的电话号码为859375．110分如图，一个9的方格图，由粗线隔为9个横竖各有319的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后小鸣将第九行的数99位数，简单说明理由．解：填数的方法是排除法，用（m，n）表示位于第m行和第n列的方格．396左下角的“小九宫”格中的9应当填在格子中；125，所以，在图右下角的“小九宫”格中的数字5填在（9，3）中；第七行、第八行有数字，图6中下部的“小九宫”格的数字6应当填在7397，7应当填在，；3自然就填在，9）填法见图．九位数是：495186273．1（10分）平面上有6个点，其中任何3个点都不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形最多可以选出多少个三角形？（前两问不要求说明理由）（）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，651个做三角形的第二个顶点，54143个点不在同一条直线上，1个三角形．3×2×1＝6种，6×5×46个点为顶点可以构造3×2×1

=20个不同的三角形；3个顶点，所以，62个没有公共顶点的三角形；BCD、F65个三角形，1515个英文大写字母．6A6个顶点互不相同，6个顶点的字母不相同．A5个不同的字母．5个三角形，它们两两没有公共边．又显然△ABC，△ADE，△BDF和△CEF44个三角形，其中任何两个三角形都没有公共边．1（15分）壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳36356个人1055岁，3岁，4岁？解：设刘芳的年龄为x岁．①36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳．29菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳．②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为（2x﹣27）路路（36﹣x）岁，他的妈妈应当是（36﹣x+27）岁，和为（99﹣2x）菲菲（x﹣29）岁，她的妈妈应当是（x﹣29+27）岁，和为（2x﹣31）由于6个人共105（﹣2+99﹣）（2﹣3）＝10．③x＝32293364岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁．答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁．故填：王雪，5，3，4．1 11（15分）请回答：能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？能否表示为3个互异的8 8完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由．+1 1 1+解（）由于 +

=1，2 3 61=1 1 1 1 1 1 1故有 ×( + + )= + + ．8 8 2 3 6 16 24 481所以，能表示为3个互异的正整数的倒数的和（表示法不唯一．8（2）不妨设a＜b＜c，现在的问题就是寻找整数a，b，c，=1 1=8满足 𝑎28

+1𝑏2

+1𝑐2由a＜b＜c，则有，=1 1=8从而 𝑎28

+1𝑏2

+1𝑐21 1

3𝑎2，所以a2＜24．又有＞，8 𝑎2所以a2＞8，故a2＝9或16．1若a2＝9，则有

+1

1−1=1，𝑏2

𝑐2

8 9 721 1 2由于 ＞，并且72 𝑏2 𝑏2

1＞ 𝑏2

1𝑐2

=1，72所以b2＞72，72＜b2＜144．121．将b2＝81100121𝑐2

72𝑏2

，没有一个是完全平方数，

1 1 1 1

𝑏2−72a2＝9时，8

𝑎2

𝑏2

𝑐

无解．1若a2＝16，则

+1=1−1 = 1．𝑏2

𝑐2 8 16 16类似地，可得：16＜b2＜32，即b2＝25，此时，𝑐2=

16𝑏2

=16×25𝑏2−