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第1页(共1页)2020-2021学年上海市虹口区高一(上)期末数学试卷一.填空题1.(3分)已知集合A={﹣1,1,2},B={x|x2+x=0},则A∩B=.2.(3分)不等式≤0的解集为.3.(3分)函数,的值域为.4.(3分)计算:=.5.(3分)用“二分法”求方程x3+x﹣4=0在区间(1,2)内的实根,首先取区间中点x=1.5进行判断,那么下一个取的点是x=.6.(3分)已知条件p:2k﹣1≤x≤1﹣k,q:﹣3≤x<3,且p是q的必要条件,则实数k的取值范围为.7.(3分)不等式|x+2|+|x﹣1|≤5的解集为.8.(3分)已知函数f(x)=3x+a的反函数为y=f﹣1(x),若函数y=f﹣1(x)的图象过点(3,2),则实数a的值为.9.(3分)已知函数f(x)=2|x﹣a|在区间[1,+∞)上是严格增函数,则实数a的取值范围为.10.(3分)已知集合A={x||x﹣m|<m+,其中x,m∈Z,且m>0},B={x||x+|<2m,其中x,m∈Z,且m>0},则A∩B的元素个数为.(用含正整数m的式子表示)11.(3分)若集合A={x|x2+5x﹣6=0},B={x|ax+3=0,a∈R},且B⊂A,则满足条件的实数a的取值集合为.12.(3分)已知函数,若f(a2﹣3)+f(2a)>0,则实数a的取值范围为.13.(3分)已知函数y=f(x)是定义在实数集R上的偶函数,若f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数,且f(2)=0,则不等式的解集为.二.选择题14.(3分)已知a、b都是实数,那么“a>b”是“a3>b3”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件15.(3分)函数的图象的对称性为()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称16.(3分)已知全集U=R及集合A={a|≤22﹣a<8,且a∈Z},B={b|b2+3b﹣10>0,其中b∈R},则的元素个数为()A.4 B.3 C.2 D.117.(3分)已知函数y=2x+x,y=lnx+x,y=lgx+x的零点依次为x1、x2、x3,则x1、x2、x3的大小关系为()A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3 C.x2<x3<x1 D.x1<x3<x218.(3分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是()A. B.[2,+∞) C.(0,2] D.19.(3分)若函数y=﹣|x﹣a|与在区间[1,2]上都是严格减函数,则实数a的取值范围为()A.(﹣∞,0) B.(﹣1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1]三.解答题20.已知a、b是任意实数,求证:a4+b4≥a3b+ab3,并指出等号成立的条件.21.某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m2的矩形停车场,停车场的四周留有人行通道,设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m,东西的人行通道宽4m,如图所示(图中单位:m),问如何设计停车场的边长,才能使人行通道占地面积最小?最小面积是多少?22.已知函数.(1)作出这个函数的大致图象;(2)讨论关于x的方程的根的个数.23.已知函数f(x)=1﹣(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数.(1)求实数a的值及函数f(x)的值域;(2)若不等式t•f(x)≥3x﹣3在x∈[1,2]上恒成立,求实数t的取值范围.24.已知函数.(1)判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)对任意的实数x1、x2,且x1+x2>0,求证:f(x1)+f(x2)>0;(3)若关于x的方程有两个不相等的正根,求实数a取值范围.25.设a是正常数,函数满足f(﹣1)+f(1)=0.(1)求a的值,并判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)是否存在一个正整数M,使得M>f(x)对于任意恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.附加题26.对于定义在D上的函数y=f(x),设区间[m,n]是D的一个子集,若存在x0∈(m,n),使得函数y=f(x)在区间[m,x0]上是严格减函数,在区间[x0,n]上是严格增函数,则称函数y=f(x)在区间[m,n]上具有性质P.(1)若函数y=ax2+bx在区间[0,1]上具有性质P,写出实数a、b所满足的条件;(2)设c是常数,若函数y=x3﹣cx在区间[1,2]上具有性质P,求实数c的取值范围.
2020-2021学年上海市虹口区高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1.(3分)已知集合A={﹣1,1,2},B={x|x2+x=0},则A∩B={﹣1}.【分析】可求出集合B,然后进行交集的运算即可.【解答】解:∵A={﹣1,1,2},B={﹣1,0},∴A∩B={﹣1}.故答案为:{﹣1}.【点评】本题考查了列举法、描述法的定义,交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.2.(3分)不等式≤0的解集为[﹣3,1).【分析】根据题意,原不等式等价于(x+3)(x﹣1)≤0且x﹣1≠0,再得到不等式的解集.【解答】解:≤0⇒(x+3)(x﹣1)≤0且x﹣1≠0,解得﹣3≤x<1,即不等式的解集为[﹣3,1),故答案为:[﹣3,1).【点评】本题考查分式不等式的解法,注意将分式不等式变形为整式不等式,属于基础题.3.(3分)函数,的值域为.【分析】可看出f(x)在上单调递减,在(2,4]上单调递增,这样即可求出f(x)在上的最大值和最小值,从而得出f(x)的值域.【解答】解:∵在上单调递减,在(2,4]上单调递增,且,∴f(x)在上的最大值为,最小值为4,∴f(x)的值域为.故答案为:.【点评】本题考查了函数值域的定义及求法,函数的单调性,根据函数单调性求函数值域的方法,考查了计算能力,属于基础题.4.(3分)计算:=4.【分析】根据对数的运算法则即可求出.【解答】解:原式=log2(×9×)+2=log24+2=2+2=4,故答案为:4.【点评】本题考查了对数的运算性质,属于基础题.5.(3分)用“二分法”求方程x3+x﹣4=0在区间(1,2)内的实根,首先取区间中点x=1.5进行判断,那么下一个取的点是x=1.25.【分析】构造函数f(x)=x3+x﹣4,确定f(1),f(2),f(1.5)的符号,根据零点存在定理,即可得到结论.【解答】解:设函数f(x)=x3+x﹣4,易知函数为增函数,∵f(1)=﹣2<0,f(2)=6>0,f(1.5)=1.53+1.5﹣4=0.875>0∴下一个有根区间是(1,1.5),那么下一个取的点是x==1.25,故答案为:1.25.【点评】本题考查二分法,考查零点存在定理,考查学生的计算能力,属于基础题.6.(3分)已知条件p:2k﹣1≤x≤1﹣k,q:﹣3≤x<3,且p是q的必要条件,则实数k的取值范围为(﹣∞,﹣2].【分析】条件p:2k﹣1≤x≤1﹣k,q:﹣3≤x<3,根据p是q的必要条件,可得,解得k实数k的取值范围.【解答】解:∵条件p:2k﹣1≤x≤1﹣k,q:﹣3≤x<3,且p是q的必要条件,∴,解得k≤﹣2.则实数k的取值范围是(﹣∞,﹣2].故答案为:(﹣∞,﹣2].【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.7.(3分)不等式|x+2|+|x﹣1|≤5的解集为[﹣3,2].【分析】对x分3种情况他要论去绝对值.【解答】解:①当x<﹣2时,不等式可化为﹣x﹣2﹣x+1≤5,∴x≥﹣3∴﹣3≤x<﹣2②当﹣2≤x≤1时,不等式可化为x+2﹣x+1≤5,恒成立,﹣2≤x≤1;③当x>1时,不等式可化为x+2+x﹣1≤5,x≤2,∴1<x≤2,综上所述:不等式的解集为[﹣3,2],故答案为:[﹣3,2].【点评】本题考查了绝对值不等式的解法.属中档题.8.(3分)已知函数f(x)=3x+a的反函数为y=f﹣1(x),若函数y=f﹣1(x)的图象过点(3,2),则实数a的值为﹣6.【分析】由y=f﹣1(x)的图象过点(3,2)得函数y=f(x)的图象过点(2,3),把点(2,3)代入y=f(x)的解析式求得a的值.【解答】解:∵y=f﹣1(x)的图象过点(3,2),∴函数y=f(x)的图象过点(2,3),又f(x)=3x+a,∴32+a=3,即a=﹣6.故答案为:﹣6.【点评】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系,是基础的计算题.9.(3分)已知函数f(x)=2|x﹣a|在区间[1,+∞)上是严格增函数,则实数a的取值范围为(﹣∞,1].【分析】令t(x)=|x﹣a|,函数y=2t为增函数,问题转化为t=|x﹣a|在[1,+∞)上单调递增,由此可得a的取值范围.【解答】解:令t(x)=|x﹣a|,原函数化为y=2t,函数y=2t为增函数,要使函数f(x)=2|x﹣a|在区间[1,+∞)上是严格增函数,则t=|x﹣a|在[1,+∞)上单调递增,则a≤1.∴实数a的取值范围为(﹣∞,1].故答案为:(﹣∞,1].【点评】本题考查复合函数的单调性,利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键,是基础题.10.(3分)已知集合A={x||x﹣m|<m+,其中x,m∈Z,且m>0},B={x||x+|<2m,其中x,m∈Z,且m>0},则A∩B的元素个数为2m.(用含正整数m的式子表示)【分析】可求出集合A,B,然后进行交集的运算求出A∩B,根据x,m∈Z且m>0即可得出A∩B的元素个数.【解答】解:∵,,∴,∵x,m∈Z,且m>0,∴A∩B={0,1,2,…,2m﹣1},∴A∩B元素的个数为:2m.【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,描述法的定义,考查了计算能力,属于基础题.11.(3分)若集合A={x|x2+5x﹣6=0},B={x|ax+3=0,a∈R},且B⊂A,则满足条件的实数a的取值集合为.【分析】根据B⊂A,对B讨论,建立条件关系即可求实数a的取值集合.【解答】解:由集合A={x|x2+5x﹣6=0}={1,﹣6},∵B⊂A,当B=∅时,即ax+3=0无解,此时a=0;当B≠∅时,ax+3=0有解,x=若1=,可得a=﹣3;若﹣6=,可得a=;∴满足条件的实数a的取值集合为{﹣3,0,}.故答案为:{﹣3,0,}.【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.12.(3分)已知函数,若f(a2﹣3)+f(2a)>0,则实数a的取值范围为{a|a>1或a<﹣3}.【分析】先利用图象求解函数的单调性及奇偶性,然后结合单调性及奇偶性即可求解不等式.【解答】解:因为的图象如图所示,故f(x)为单调递增的奇函数,若f(a2﹣3)+f(2a)>0,则f(a2﹣3)>﹣f(2a)=f(﹣2a),所以a2﹣3>﹣2a,即a2+2a﹣3>0,解得,a>1或a<﹣3.故a的取值范围{a|a>1或a<﹣3}.故答案为:{a|a>1或a<﹣3}.【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用,考查不等式的求解,属于中档题.13.(3分)已知函数y=f(x)是定义在实数集R上的偶函数,若f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数,且f(2)=0,则不等式的解集为(﹣∞,﹣2]∪(0,2].【分析】根据题意可得f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,且f(﹣2)=0,利用单调性即可得出在(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)上f(x)≥0,在(﹣2,0)∪(0,2)上f(x)<0,将不等式合理转化即可求得解集.【解答】解:因为y=f(x)是定义在实数集R上的偶函数,f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数,且f(2)=0,所以f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,且f(﹣2)=f(2)=0,所以在(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)上f(x)≥0,在(﹣2,0)∪(0,2)上f(x)<0,因为不等式,所以或,即x=﹣2或x=2或或,解得x≤﹣2或0<x≤2,即不等式的解集为(﹣∞,﹣2]∪(0,2].故答案为:(﹣∞,﹣2]∪(0,2].【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合,属于中档题.二.选择题14.(3分)已知a、b都是实数,那么“a>b”是“a3>b3”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】判断命题的真假:若a>b则a3>b3.是真命题,即a>b⇒a3>b3.若a3>b3则a>b.是真命题,即a3>b3⇒a>b.【解答】解:若a>b则a3>b3.是真命题,即a>b⇒a3>b3.若a3>b3则a>b.是真命题,即a3>b3⇒a>b.所以a>b是a3>b3的充要条件.故选:C.【点评】解决判断充要条件问题可以先判断命题的真假,最好用⇒来表示,再转换为是什么样的命题.15.(3分)函数的图象的对称性为()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称【分析】将函数进行化简,利用函数的奇偶性的定义进行判断.【解答】解:因为=,所以f(﹣x)=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f(x),所以函数f(x)是偶函数,即函数图象关于y轴对称.故选:B.【点评】本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系,利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键.16.(3分)已知全集U=R及集合A={a|≤22﹣a<8,且a∈Z},B={b|b2+3b﹣10>0,其中b∈R},则的元素个数为()A.4 B.3 C.2 D.1【分析】可求出集合A,B,然后进行交集和补集的运算求出,然后即可得出的元素个数.【解答】解:∵A={a|﹣2≤2﹣a<3,a∈Z}={a|﹣1<a≤4,a∈Z}={0,1,2,3,4},B={b|b<﹣5或b>2},且U=R,∴,,∴的元素个数为:3.故选:B.【点评】本题考查了描述法、列举法的定义,指数函数的单调性,一元二次不等式的解法,交集和补集的运算,考查了计算能力,属于基础题.17.(3分)已知函数y=2x+x,y=lnx+x,y=lgx+x的零点依次为x1、x2、x3,则x1、x2、x3的大小关系为()A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3 C.x2<x3<x1 D.x1<x3<x2【分析】化函数的零点为方程的根,然后在同一坐标系中画出函数y=2x,y=lnx,y=lgx和y=﹣x的图象,根据图象即可判断x1、x2、x3的大小关系.【解答】解:已知函数y=2x+x,y=lnx+x,y=lgx+x的零点依次为x1、x2、x3,y=2x+x=0时,2x=﹣x,即2x1=﹣x1,y=lnx+x=0时,lnx=﹣x,即lnx2=﹣x2,y=lgx+x=0时,lgx=﹣x,即lgx3=﹣x3,在同一坐标系中画出函数y=2x,y=lnx,y=lgx和y=﹣x的图象,由图象可知,这三个函数的零点依次增大,故x1、x2、x3的大小关系为x1<x3<x2.故选:D.【点评】本题考查函数零点的定义,函数零点就是相应方程的根,考查了数形结合思想,属于基础题.18.(3分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是()A. B.[2,+∞) C.(0,2] D.【分析】2f(x)=f(x),由题意可知f(x)为R上的增函数,故对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立可转化为对任意的x∈[t,t+2]恒成立,此为一次不等式恒成立,解决即可.也可取那个特值排除法.【解答】解:(排除法)当则得,即在时恒成立,而最大值,是当时出现,故的最大值为0,则f(x+t)≥2f(x)恒成立,排除B项,同理再验证t=3时,f(x+t)≥2f(x)恒成立,排除C项,t=﹣1时,f(x+t)≥2f(x)不成立,故排除D项故选:A.【点评】本题考查函数单调性的应用:利用单调性处理不等式恒成立问题.将不等式化为f(a)≥f(b)形式是解题的关键.19.(3分)若函数y=﹣|x﹣a|与在区间[1,2]上都是严格减函数,则实数a的取值范围为()A.(﹣∞,0) B.(﹣1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1]【分析】结合函数图象的变换及反比例函数与一次函数性质可求.【解答】解:因为y=﹣|x﹣a|与在区间[1,2]上都是严格减函数,所以,故0<a≤1.故选:D.【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性的应用,属于基础题.三.解答题20.已知a、b是任意实数,求证:a4+b4≥a3b+ab3,并指出等号成立的条件.【分析】作差,再进行配方,与0比较,即可得到结论.【解答】证明:a4+b4﹣a3b﹣ab3=(a4﹣a3b)+(b4﹣ab3),=a3(a﹣b)+b3(b﹣a)=(a﹣b)(a3﹣b3),=(a﹣b)2(a2+ab+b2)=(a﹣b)2[(a+)2+b2]≥0,即a4+b4≥a3b+ab3,当且仅当a=b时,等号成立.【点评】本题考查了不等式的证明,考查了推理论证能力,属于基础题.21.某居民小区欲在一块空地上建一面积为1200m2的矩形停车场,停车场的四周留有人行通道,设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m,东西的人行通道宽4m,如图所示(图中单位:m),问如何设计停车场的边长,才能使人行通道占地面积最小?最小面积是多少?【分析】设矩形停车场南北侧边长为xm,则其东西侧边长为m,人行道占地面积为S=(x+6)(8+)﹣1200=8x++48,然后结合基本不等式即可求解.【解答】解:设矩形停车场南北侧边长为xm,则其东西侧边长为m,人行道占地面积为S=(x+6)(8+)﹣1200=8x++48+48=528,当且仅当8x=,即x=30(m)时取等号,Smin=528(m2),此时=40(m),所以矩形停车场的南北侧边长为30m,则其东西侧边长为40m,才能使人行通道占地面积最小,最小面积是528m2.【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用,体现了转化思想的应用.22.已知函数.(1)作出这个函数的大致图象;(2)讨论关于x的方程的根的个数.【分析】(1)把已知函数解析式变形,再由函数图象的平移与翻折变换可得的图象;(2)对t分类,数形结合得答案.【解答】解:(1)∵=,首先将y=﹣的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,得到y=2﹣的图象,最后将y=2﹣的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,便可得到的图象;(2)当t<0时,方程的根的个数为0;当t=0或t=2时,的根的个数为1;当0<t<2或t>2时,的根的个数为2.【点评】本题考查函数零点与方程根的关系,考查数形结合的解题思想,是中档题.23.已知函数f(x)=1﹣(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数.(1)求实数a的值及函数f(x)的值域;(2)若不等式t•f(x)≥3x﹣3在x∈[1,2]上恒成立,求实数t的取值范围.【分析】(1)根据函数的奇偶性求出a的值,检验即可;(2)问题转化为t≥[(3x﹣3)•]max,令3x﹣1=m,m∈[2,8],根据函数的单调性求出t的范围即可.【解答】解:(1)由f(0)=0,解得:a=3,反之a=3时,f(x)=1﹣=,f(﹣x)=﹣f(x),符合题意,故a=3,由f(x)=1﹣,∵3x+1>1,∴,∴﹣1<1﹣<1,∴f(x)∈(﹣1,1),故函数的值域是(﹣1,1);(2)f(x)=1﹣在x∈[1,2]递增,故f(x)∈[,],故t≥(3x﹣3)•,故t≥[(3x﹣3)•]max,令3x﹣1=m,m∈[2,8],则(3x﹣3)•=(m﹣2)•=m﹣随m的增大而增大,最大值是,故实数t的取值范围是[,+∞).【点评】本题考查了函数的奇偶性,单调性问题,考查函数恒成立,转化思想,是一道中档题.24.已知函数.(1)判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)对任意的实数x1、x2,且x1+x2>0,求证:f(x1)+f(x2)>0;(3)若关于x的方程有两个不相等的正根,求实数a取值范围.【分析】(1)利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性;(2)证明函数y=log2(1+x)在[0,+∞)上是严格增函数,结合函数的奇偶性可得y=在(﹣∞,0)上也是严格增函数,从而y=f(x)在R上是严格增函数,由x1+x2>0,即可证明f(x1)+f(x2)>0;(3)由(1)知,y=f(x)是R上的奇函数,故原方程可化为,把原方程有两个不等正根转化为关于a的不等式组求解.【解答】解:(1)f(0)=log2(1+0)=0.当x>0时,﹣x<0,有f(﹣x)=,即f(﹣x)=﹣f(x).当x<0时,﹣x>0,有f(﹣x)=,即f(﹣x)=﹣f(x).综上,函数f(x)是R上的奇函数;证明:(2)∵函数y=log2x是(0,+∞)上的严格增函数,函数u=1+x在R上也是严格增函数,故函数y=log2(1+x)在[0,+∞)上是严格增函数.由(1)知,函数y=f(x)在R上为奇函数,由奇函数的单调性可知,y=在(﹣∞,0)上也是严格增函数,从而y=f(x)在R上是严格增函数.由x1+x2>0,得x1>﹣x2,∴f(x1)>f(﹣x2)=﹣f(x2),即f(x1)+f(x2)>0;解:(3)由(1)知,y=f(x)是R上的奇函数,故原方程可化为.令f(x)=t,则当x>0时,t=f(x)=log2(1+x)>0,且f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,于是,原方程有两个不等正根等价于:关于t的方程有两个不等的正根.即⇔⇔<a<1或a>3.因此,实数a的取值范围是(,1)∪(3,+∞).【点评】本题考查函数奇偶性的判定及应用,考查函数的单调性,考查函数零点与方程根的关系,考查化归与转化思想,是中档题.25.设a是正常数,函数满足f(﹣1)+f(1)=0.(1)求a的值,并判断函数y=f(x)的奇偶性;(2)是否存在一个正整数M,使得M>f(x)对于任意恒成立?若存在,求出M的最小值,若不存在,请说明理由.【分析】(1)先由f(﹣1)+f(1)=0求解出a的值,进而求得函数f(x),再利用函数奇偶性的定义判断其奇偶性即可;(2)先由题设和函数单调性的定义推导出函数f(x)在的单调性,然后利用其单调性求得f(x)的最大值,再由M>f(x)对于任意恒成立求得M的取值范围,进而求得M的最小值即可.【解答】解:(1)由f(﹣1)+f(1)=0得:log2(﹣a)+log2(+a)=log2(2﹣a2)=0,解得:a=±1,∵a>0,∴a=1,f(x)=log2(+x),x∈R,又f(﹣x)=log2(﹣x)=﹣log2=﹣log2(+x)=﹣f(x),∴f(x)为奇函数;(2)由(1)知:f(x)=log2(+x),
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