河南省洛阳市第七中学高三数学理模拟试题含解析

河南省洛阳市第七中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，则下列判断正确的是（

）A.函数f(x)是奇函数，且在R上是增函数B.函数f(x)是偶函数，且在R上是增函数C.函数f(x)是奇函数，且在R上是减函数D.函数f(x)是偶函数，且在R上是减函数参考答案：A【分析】求出的定义域，判断的奇偶性和单调性，进而可得解.【详解】的定义域为R，且；∴是奇函数；又和都是R上的增函数；是R上的增函数．故选：A．【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题．2.设分别是椭圆的左、右焦点，与直线相切的交椭圆于点E，E恰好是直线EF1与的切点，则椭圆的离心率为A.

B.

C.

D.

参考答案：C因为直线与圆相切，所以圆的半径为。因为E，E恰好是直线EF1与的切点，所以三角形为直角三角形，所以。所以根据勾股定理得，即，整理得，所以，。得到，即，所以椭圆的离心率为，选C.3.若函数，又，且的最小值为，则正数的值是（）A．

B．

C．

D．参考答案：B4.将函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,若对任意的均有成立,则m的最小值为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】直接应用正弦函数的平移变换和伸缩变换的规律性质，求出函数的解析式，对任意的均有，说明函数在时，取得最大值，得出的表达式，结合已知选出正确答案.【详解】因为函数的图象向左平移个单位长度,所以得到函数，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,所以，对任意的均有成立，所以在时，取得最大值，所以有而，所以的最小值为.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象变换规律、函数图象的性质，考查了函数最大值的概念，正确求出变换后的函数解析式是解题的关键.5.函数的图象大致是（

）参考答案：D略6.若定义在R上的函数满足且时，，则方程的根的个数是A.4 B.5C.6 D.7参考答案：A【分析】由题意作出函数与的图象，两图象的交点个数即为方程的根的个数.【详解】因为函数满足，所以函数是周期为的周期函数.又时，，所以函数的图象如图所示.再作出的图象，易得两图象有个交点，所以方程有个零点．故应选A．【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.7.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：8.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝x3

B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1

D．y＝2－|x|参考答案：BA选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在上是减函数；D选项中，y＝2－|x|是偶函数，但在上是减函数．故选B.9.已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：A【考点】数列与函数的综合．【分析】首先根据题意求出函数的导数为f′（x）=，再结合当x=b时函数取到极大值c，进而求出b与c的数值，再利用等比数列的性质得到答案．【解答】解：由题意可得：函数y=ln（x+2）﹣x，所以f′（x）=．因为当x=b时函数取到极大值c，所以有且ln（b+2）﹣b=c，解得：b=﹣1，c=1．即bc=﹣1．因为实数a，b，c，d成等比数列，所以ad=bc=﹣1．故选A．10.已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；直线的截距式方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，可得|AB|=．圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=r=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a2+b2=2．∴+=（+）（2a2+b2）=（2+2++）≥（4+2）=4，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴+的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题:“”的否定是

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．参考答案：命题:“”的否定是.【点睛】对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.

12.不等式对任意恒成立,则实数的最大值为

参考答案：213.在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知a=4，B=，S△ABC=6，则b=．参考答案：

【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理可求b的值．【解答】解：∵a=4，B=，S△ABC=6=acsinB=，∴解得：c=6，∴由余弦定理可得：b===．故答案为：．14.二项式的展开式中常数项等于

．

参考答案：答案：-2015.函数的定义域为．参考答案：（﹣∞，2）∪（2，3）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＜3且x≠2，故函数的定义域是（﹣∞，2）∪（2，3），故答案为：（﹣∞，2）∪（2，3）．16.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1200人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有________学生．参考答案：4440

略17.已知函数，若，则=

.参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知椭圆过点，离心率，若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系，并证明。参考答案：(Ⅰ)由已知得，，方程为···········3分(Ⅱ)设，则（1）当直线的斜率存在时，设方程为

联立得：有

①

由以为直径的圆经过坐标原点O可得：·整理得：

②将①式代入②式得：,

···········6分

又点到直线的距离··········8分所以

··········10分(2)当直线的斜率不存在时，设方程为（）

联立椭圆方程得：代入得到即，综上：的面积是定值，又的面积

，所以二者相等.

·········

12分略19.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为．（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求面积的最大值．参考答案：（1）；（2）【详解】试题分析：（1）设出P的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（＞0），M的极坐标为（）由题设知|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程因此的直角坐标方程为.（2）设点B的极坐标为（）.由题设知|OA|=2，，于是△OAB面积当时，S取得最大值.所以△OAB面积的最大值为.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点。（1）求证：平面平面；（2）若平面平面ABCD，且，求二面角的大小.参考答案：解:（Ⅰ）

（1分）由题意可得：，所以（6分）（Ⅱ）数列为等差数列，，，（8分）（10分），略21.如果学生的成绩大于或等于60分，则输出“及格”，否则输出“不及格”.用程序框图表示这一算法过程.参考答案：22.(本小题满分12分)设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g()的大小关系；(3)是否存在x0>0，使得|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，最小值为g(x)=g(1)＝1.（2）(2)g()＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g()＝2lnx－x＋，则，当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()，当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，因此，h(x)在(