2020-2021学年新疆乌鲁木齐二十中高二（下）期末数学试卷（文科）

第1页（共1页）2020-2021学年新疆乌鲁木齐二十中高二（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）点M的直角坐标为（﹣1，），则点M的极坐标为（）A． B． C． D．2．（4分）在极坐标系中，点到直线的距离为（）A．2 B．1 C． D．3．（4分）若将曲线x2+y2＝1上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，得到曲线C，则曲线C的方程为（）A． B． C． D．4．（4分）在极坐标系中，与点（ρ，π﹣θ）关于极点对称的点的一个坐标是（）A．（ρ，﹣θ） B．（ρ，﹣π﹣θ） C．（ρ，π﹣θ） D．（ρ，π+θ）5．（4分）若直线（t为参数）与直线y＝kx﹣1平行，则常数k＝（）A．﹣3 B． C． D．36．（4分）将参数方程（θ为参数）化为普通方程为（）A．y＝x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝x﹣1（1≤x≤2） D．y＝x+1（0≤y≤1）7．（4分）若椭圆的参数方程为（φ为参数），则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．8．（4分）已知a，b∈R，满足ab＜0，a+b＞0，a＞b，则（）A． B． C．a2＞b2 D．a＜|b|9．（4分）如果a＞b，那么（）A．ac＞bc B．ac2＜bc2 C．ac＝bc D．b﹣a＜010．（4分）已知x，y＞0且x+y＝1，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）在极坐标系中，点P（2，﹣）到圆ρ＝﹣2cosθ的圆心的距离为12．（5分）在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为．13．（5分）已知a＞0，b＞0，a+4b＝4，则+的最小值为．14．（5分）已知关于x的不等式|x﹣1|+|2x+m|≤|2x﹣3|在x∈[0，1]上有解，则实数m的取值范围为．三．解答题（共5小题，每小题8分，共40分）15．（8分）已知平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的普通方程以及C2的极坐标方程；（2）若C1与C2交于A，B两点，点M（1，0），求|MA|+|MB|的值．16．（8分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．17．（8分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．18．（8分）已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x+2|．（1）求不等式f（x）＞7的解集；（2）若方程f（x）＝3﹣4a有实数解，求实数a的取值范围．19．（8分）已知函数f（x）＝|3x+1|﹣3|x﹣2|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≤2x+|x﹣2|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤14m﹣3m2﹣1恒成立，求实数m的取值范围．

2020-2021学年新疆乌鲁木齐二十中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）点M的直角坐标为（﹣1，），则点M的极坐标为（）A． B． C． D．【分析】直接利用直角坐标和极坐标之间的转换求出结果．【解答】解：点M的直角坐标为（﹣1，），根据转换为极坐标为（2，）．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：直角坐标和极坐标之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2．（4分）在极坐标系中，点到直线的距离为（）A．2 B．1 C． D．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解：点A（3，）根据转换为直角坐标为（），直线根据转换为直角坐标方程为，利用点到直线的距离公式d＝．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3．（4分）若将曲线x2+y2＝1上的点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的，得到曲线C，则曲线C的方程为（）A． B． C． D．【分析】直接利用伸缩变换的应用求出结果．【解答】解：A设曲线x2+y2＝1上的点为（x，y），曲线C上的点为（x'，y'），则，得，代入曲线x2+y2＝1，得，即曲线C的方程是．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4．（4分）在极坐标系中，与点（ρ，π﹣θ）关于极点对称的点的一个坐标是（）A．（ρ，﹣θ） B．（ρ，﹣π﹣θ） C．（ρ，π﹣θ） D．（ρ，π+θ）【分析】把点（ρ，π﹣θ）绕极点顺时针旋转π弧度，即可得到点（ρ，π﹣θ）关于极点对称的点，从而得到结果．【解答】解：把点（ρ，π﹣θ）绕极点顺时针旋转π弧度，即可得到点（ρ，π﹣θ）关于极点对称的点，故所求坐标为（ρ，﹣θ）．故选：A．【点评】本题主要考查用极坐标刻画点的位置，属于基础题．5．（4分）若直线（t为参数）与直线y＝kx﹣1平行，则常数k＝（）A．﹣3 B． C． D．3【分析】首先把直线的参数方程转换为直角坐标方程，进一步利用直线平行的充要条件的应用求出结果．【解答】解：直线（t为参数）转换为直角坐标方程为3x+y﹣5＝0，由于该直线与直线y＝kx﹣1平行，故k＝﹣3．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，直线平行的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（4分）将参数方程（θ为参数）化为普通方程为（）A．y＝x﹣1 B．y＝x+1 C．y＝x﹣1（1≤x≤2） D．y＝x+1（0≤y≤1）【分析】直接利用转换关系，把参数方程转化内普通方程．【解答】解：参数方程（θ为参数）化为普通方程为y＝x﹣1，由于0≤sin2θ≤1，故：1≤x≤2，故普通方程为y＝x﹣1（1≤x≤2）．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和普通方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（4分）若椭圆的参数方程为（φ为参数），则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【分析】由椭圆的参数方程，消去参数φ可得椭圆的普通方程，从而求出a，c，利用离心率公式即可求得结果．【解答】解：根据题意，椭圆的参数方程为（φ为参数），消去参数φ可得其普通方程为，则a2＝4，b2＝3，则c2＝1，故a＝2，c＝1，则该椭圆的离心率．故选：A．【点评】本题考查参数方程化为普通方程的方法，涉及椭圆离心率的计算，属于基础题．8．（4分）已知a，b∈R，满足ab＜0，a+b＞0，a＞b，则（）A． B． C．a2＞b2 D．a＜|b|【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：由ab＜0，a+b＞0，a＞b，可得a＞0＞b，|a|＞|b|，所以＞0＞，故A错误；由ab＜0，可得＜0，＜0，则＜0，故B错误；由|a|＞|b|，可得a2＞b2，a＞|b|，故C正确，D错误．故选：C．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．9．（4分）如果a＞b，那么（）A．ac＞bc B．ac2＜bc2 C．ac＝bc D．b﹣a＜0【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案．【解答】解：对于A，由a＞b，当c＜0时，ac＜bc，故A错误；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误；对于C，c≠0时，ac≠bc，故C错误；对于D，由a＞b，可得b﹣a＜0，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题．10．（4分）已知x，y＞0且x+y＝1，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由已知结合1的代换，利用基本不等式即可直接求解．【解答】解：x，y＞0且x+y＝1，则＝1+＝1+＝3+＝5，当且仅当且x+y＝1，即x＝y＝时取等号，此时p取得最小值5．故选：C．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用1的代换配凑基本不等式的应用条件，属于基础题．二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）在极坐标系中，点P（2，﹣）到圆ρ＝﹣2cosθ的圆心的距离为【分析】先求出点P的直角坐标，圆ρ＝﹣2cosθ的直角坐标方程，然后利用两点间的距离公式求出距离．【解答】解：点P（2，﹣）的直角坐标为，圆ρ＝﹣2cosθ的直角坐标方程为（x+1）2+y2＝1，∴圆心（﹣1，0）到的距离．故答案为：．【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化和两点间的距离公式，考查了转化思想，属基础题．12．（5分）在极坐标系中，直线被圆ρ＝4截得的弦长为．【分析】直接利用转换关系，把极坐标方程转换为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式和垂径定理的应用求出结果．【解答】解：根据，把直线转换为直角坐标方程y﹣x﹣2＝0，整理得：x﹣y﹣2＝0．圆ρ＝4转换为直角坐标方程为x2+y2＝16，所以圆心（0，0）到直线x﹣y﹣2＝0的距离d＝，所以弦长l＝2．故答案为：2．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13．（5分）已知a＞0，b＞0，a+4b＝4，则+的最小值为16．【分析】利用“1”的代换，结合基本不等式转化求解即可．【解答】解：因为，，当且仅当a＝1，b＝时，等号成立．所以．故答案为：16．【点评】本题考查均值不等式的应用，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）已知关于x的不等式|x﹣1|+|2x+m|≤|2x﹣3|在x∈[0，1]上有解，则实数m的取值范围为[﹣3，2]．【分析】已知条件转化为|2x+m|≤2﹣x，即﹣x﹣2≤m≤2﹣3x，即可求解实数m的取值范围．【解答】解：当x∈[0，1]时，由|x﹣1|+|2x+m|≤|2x﹣3|得1﹣x+|2x+m|≤3﹣2x，即|2x+m|≤2﹣x，故x﹣2≤2x+m≤2﹣x，得﹣x﹣2≤m≤2﹣3x，又由题意知：（﹣x﹣2）min≤m≤（2﹣3x）max，即﹣3≤m≤2，故m的范围为[﹣3，2]．【点评】本题主要考查了解绝对值不等式，利用绝对值不等式的几何意义解决问题；考查运算求解能力，属于基础题．三．解答题（共5小题，每小题8分，共40分）15．（8分）已知平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（θ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的普通方程以及C2的极坐标方程；（2）若C1与C2交于A，B两点，点M（1，0），求|MA|+|MB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得曲线C1的普通方程为x+y﹣1＝0，曲线C2的参数方程为，整理得：（x﹣2）2+y2＝4，即x2+y2﹣4x＝0，根据整理得p2＝4ρcosθ，故曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（2）曲线C1的参数方程可化为（t为参数），代入x2+y2﹣4x＝0中，可得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣3，故．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16．（8分）已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【分析】（1）根据题意，由直线过点P的坐标以及倾斜角，结合直线参数方程的定义可得答案；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，可得关于t的方程，由根与系数的关系可得t1t2的值，结合t的实际意义即可得答案．【解答】解：（1）因为直线l经过点P（1，1），倾斜角所以直线l的参数方程为，即（t为参数）（2）将直线l的参数方程代入圆的方程得：，即，则t1t2＝﹣2，所以|t1t2|＝2，即P到A，B两点的距离之积为2．【点评】本题考查直线的参数方程以及应用，关键是根据题意求出直线的参数方程．17．（8分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【分析】（Ⅰ）把两边同时乘以ρ，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入可得圆C的直角坐标方程．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2﹣3t+4＝0，根据直线l的参数方程中参数的几何意义可得|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2，再利用一元二次方程根与系数的关系求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由得x2+y2﹣2y＝0即x2+＝5．（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得+＝5，即t2﹣3t+4＝0．由于Δ＝﹣4×4＝2＞0，故可设t1、t2是上述方程的两实根，所以．直线l过点P（3，），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2＝3．【点评】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．18．（8分）已知函数f（x）＝|x﹣3|+|x+2|．（1）求不等式f（x）＞7的解集；（2）若方程f（x）＝3﹣4a有实数解，求实数a的取值范围．【分析】（1）去绝对值写出分段函数解析式，转化为关于x的不等式组求解；（2）利用绝对值的三角不等式求出f（x）的值域，再由方程f（x）＝3﹣4a有实数解，转化为关于a的不等式求解．【解答】解：（1）依题意，f（x）＝|x﹣3|+|x+2|＝．∴f（x）＞7⇔或，解得：x＜﹣3或x＞