微积分3课件1ch93点函数及应用

§ 空间有界闭形体空间有界闭形体一段直线或曲线,一张有界平面或曲面,一个有界立体(包括边界点).Ω的度量也记作Ω.ΩΩ的质量,连续函数f(P),则ΩM M f(P k

(Pkkmax(k的直径““近似点函数将Ω任意分n个小区域i(i1,2n),任意取点Piimax(i的直径),I,使nIlim

(i

记作f(Pd

f(P可积称If(P)在上的点函数积分ff(P)d点函数积分性质定理.有界闭区域Ωf(P)在Ω上可积当f(P)1时有1d d 中值定理.若点函数f(P)在有界闭区域Ω上连续P*f(P)df(P*)

平均值f(P*)1f(P)d点函数积分的

f(P)dbb

af(x)df(P)f(x),x[a,b]二重积分f(P)df(x, f(P)f(x,y),(x,y)

f(P)df(x,y, f(P)f(x,y,z),(x,y,z)V点函数积分的

f(P)df(x, f(P)f(x,y),(x,y)sR

(s)

f(P)df(x,y,z)ds f(P)f(xyz),(xyzsR3(s空间曲线

f(P)df(x,y,z)dS f(Pf(xyzxyzSR3(S空间曲面对称区域上的点函数f(Pf(xy)在R2上连续,1Ω1,Ω2关于Ox轴对 (关于Oy轴对称2f(xydf(x,y)f(x,y),f关于yf(x,y)d f(x,y)f(x,y),f关于yΩ1,Ω2f(x,y)d

2f(x,y)

f(x,y)f(x,f(x,y)f(x,对称区域上的点函数f(Pf(xyz在R3上连续,1Ω1,Ω2关于Oxyf(xy,z)f(x,y fzf(x,y,z)d2f(P)d f(xy,z)f(xyz),fzf(x,y,z)d对称区域上的点函数f(Pf(xyz在R3上连续,1Ω1,Ω2关于Oz2f(x,y,z)d,f(x,y,z)f(x,y,f(x,y,z)d

f(x,y,z)f(x,y,Ω1,Ω2关于原点O2f(x,y,z)d,f(x,y,z)f(x,y,f(x,y,z)d

f(x,y,z)f(x,y,点函数积分的物理应用R3为u(x,yz).M(x,y,z)x(P) y(P) z(P)x ,y ,z x y z若(P)常数

x ,y ,z 点函数积分的物理应用为u(x,yz).M(x,y,z)xx ,yV ,zV x(P)y(P)z(P)MMM若(P)常数,xyz ,yV ,zV 求均匀半球体求均匀半球体Vx2y2z2R2z0的重心例解:利用对称性可知xy V2Vz1VV

z

Rz1

d2

sincosd

R3 121 3 重心：P(0038

Rxx2y2z2a2z0底圆上拼接后的立体的重心恰在球心,求圆柱体的高h.(P190例2)例解:O(0,0,0),zV

zdV h0 0OVzdzdhzdzdO 0h0z(a2z2)dza2zd a2

Dz:x2y2a2z(4 )0h 2

Dz:x2y2x2zx2z1,y2z1z0所围例

1 y 1xy0.z1z

x 1o 1o1V1:01111xz:0x111

P(01x,0z1x

d1zdy01x01

0d

dx

0(1z)dz1z2zdV20zdz1

d 0

20(z

z2)dz131点P处的角速度为vdE1mv212md212 质点P关于轴L的转动惯量:IL

md2 若点密度为u(P),P的物体绕轴L旋转点P到轴L的距离d(P),物体微元d关于轴L的转动惯量：dILd2(P)dMd2(P)(P)dILd2(P)物体Ω关于轴L的转动惯量点函数积分的物理应用若物体为平面区域或曲线R2,为u(P)(x,y).物体关于轴L的转动惯量Ixy2(x,Iyx2(x,IO(x

y)(x,2点函数积分的物理应用若物体为空间有界闭形体R3,为u(x,yz).物体关于轴L的转动惯量Ix(y

z)(x,y,2Iy(x

z)(x,y,2关于OzIz(x关于Oz

y)(x,y,2点函数积分的物理应用若物体为空间有界闭立体VR3 为u(x,yz).物体关于轴L的转动惯量Ix(y

z)(x,y,2VIy(xV

z)(x,y,2VIz(xV

y)(x,y,2L的转动惯量例解:取球心为原点球体:V:x2y2z2a2 LIz(x2y2) 3

(x2y2z2) MM4322

sin

a4d30 0

222 3M

a5

2a2M a3 绕对称轴旋转的转动惯量(P191例x2y2z例解:立体绕Oz轴旋转的转动惯 Iz(x2V

y2) 0 d0rdr

rd 2hr30

(hr) x 1

xy:x2y22

5)

10若物体为空间有界闭形体R3rPu(P(x,yz质点P0(x0y0z0其质量rP物体对质点的引力：FFxFyFz取Ω的微元dΩPd,ddM(P)d,r|P0P

(xx)2(yy)2(zz)2 |dF|km(P)d

dF

1{xx,yy,zz0r 0

0dF|dF|

km(P)d{xx,yy,zz 点函数积分的物理应用物体(xx)2(xx)2(yy)2(zz000

密度(xyz),

质点

,

,,

dF{dF,dF,dF}km(P)d{xx,yy,zz F{Fx,Fy,

rFxkmFy

(P)(xx0)r(P)(yy0)rFzkm

(P)(zz0)r点函数积分的物理应用物体VR3密度(x,yz质点P0x0y0z0质量r|PP0F

(xx)2(y(xx)2(yy)2(zz000 r3

[(xx)2(yy(zz)2]3 FyF

(P)(yy0)d r r(P)(zz0)

V

(P)(yy0)r(P)(zz0)r r

rV点函数积分的物理应用

F{Fx,Fy}物体R2,密度(x,y), 质点P0(x0,y0)质量r|PP0F

(xx)2(yy00(P)(xx0)d(xx)2(yy00

[(xx0)(yy0)]2F

(P)(yy0)d (x,y)(yy0

[(xx0)(yy0)]2求密度为求密度为μVx2y2z2R2M00,0aaR)的单位质量质点的引力例解:r

,F ydV0x2y2(zx2y2(za)2

VzFxz

d dV

aMrrr rrr RF

z dV 3 3V

[x2y2(za)2]

xo k

(za)dz

rdr3

R2zR02z [r2(zaR2zR02z

Dz:xy

R R(za)d

d[r2(z2[r2(za)2]3DDz:x2y2R2zFFxF R(za)dz2yR2zd[r2(z0d (za)2232例RR

R

(z

r2(zr2(zR2zRR

R

(za)(1 )dz R22az2kR22az

R2a2R2a2a R a 4k

F

43

R2k称轴上距上底为a处质量为m的质点的引力.(P191例4)Ozyxa解 质点位于原点Ozyxaz3Fkm dVz3 [x2y2z2]R0R0

d

Rrdr

z 220(r20(r2z2)

0

2z2)1

z2zah2

:x2y2Rxx222kmr[(r2(ah)2)22

(r2a2)1]R2R2R2(aR2