人教A版选择性必修第三册第六章第10课时“杨辉三角”与二项式系数的性质作业

第10课时“杨辉三角〞与二项式系数的性质1．(多项选择)(a＋b)n的绽开式中第5项的二项式系数最大，那么n的值可以为(BCD)A．10B．9C．8D．7解析：由于(a＋b)n的绽开式中第5项的二项式系数Ceq\o\al(4,n)最大，所以n＝7或n＝8或n＝9，应选BCD.2．(多项选择)关于(x－eq\f(1,x))6的绽开式，以下结论正确的选项是(BC)A．全部项的二项式系数和为32B．全部项的系数和为0C．常数项为－20D．二项式系数最大的项为第3项解析：二项式(x－eq\f(1,x))6绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－r(－eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－2r.令6－2r＝0，解得r＝3，那么常数项为T4＝Ceq\o\al(3,6)(－1)3＝－20，故C正确；二项式系数最大的项为第4项，故D错误；二项式系数和Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(6,6)＝26＝64.令x＝1，得全部项的系数和为0，故A错误，B正确；应选BC.3．(x－2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，那么a8＝(B)A．27B．－27C．324D．－324解析：(x－2)9＝[(x＋1)－3]9，那么其绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)(x＋1)r(－3)9－r，当r＝8时，T9＝Ceq\o\al(8,9)(x＋1)8(－3)1＝－27(x＋1)8，所以a8＝－27.应选B.4．设m为正整数，(x＋y)2m绽开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1绽开式的二项式系数的最大值为b.假设13a＝7b，那么m等于(B)A．5B．6C．7D．8解析：由二项式系数的性质知，二项式(x＋y)2m的绽开式中二项式系数的最大值有一项，即Ceq\o\al(m,2m)＝a，二项式(x＋y)2m＋1的绽开式中二项式系数的最大值有两项，即Ceq\o\al(m,2m＋1)＝Ceq\o\al(m＋1,2m＋1)＝b，因此13Ceq\o\al(m,2m)＝7Ceq\o\al(m,2m＋1)，所以13·eq\f(〔2m〕！,m！m！)＝7·eq\f(〔2m＋1〕！,m！〔m＋1〕！)，所以m＝6.5．(x＋eq\f(m,x))n绽开式的二项式系数之和为256.(1)求n；(2)假设绽开式中常数项为eq\f(35,8)，求m的值；(3)假设(x＋m)n的绽开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值状况．解析：(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.(2)设常数项为第r＋1项，那么Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－r(eq\f(m,x))r＝Ceq\o\al(r,8)mrx8－2r，故8－2r＝0，即r＝4，那么Ceq\o\al(4,8)m4＝eq\f(35,8)，解得m＝±eq\f(1,2).(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(r,8)mr≥Ceq\o\al(r－1,8)mr－1，,Ceq\o\al(r,8)mr≥Ceq\o\al(r＋1,8)mr＋1，))化简可得eq\f(8m－1,m＋1)≤r≤eq\f(9m,m＋1).由于只有第6项和第7项系数最大，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4<\f(8m－1,m＋1)≤5，,6≤\f(9m,m＋1)<7，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)<m≤2，,2≤m<\f(7,2)，))所以m只能等于2.6．(eq\r(x)＋eq\f(3,\r(3,x)))n绽开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和的比值是64，那么绽开式中有理项的项数是(C)A．4B．3C．2D．1解析：在(eq\r(x)＋eq\f(3,\r(3,x)))n中，令x＝1，得到其各项系数的和为(1＋3)n＝4n，其各项二项式系数的和为2n，依题意eq\f(4n,2n)＝2n＝64，n＝6.所以(eq\r(x)＋eq\f(3,\r(3,x)))n绽开式的通项公式为Ceq\o\al(r,6)·(xeq\s\up6(\f(1,2)))6－r·(3x－eq\f(1,3))r＝3r·Ceq\o\al(r,6)·x3－eq\f(5,6)r，要使3－eq\f(5,6)r为整数，那么r＝0或6，所以有理项共有两项．应选C.7．设a∈Z，且0≤a<13，假设512018＋a能被13整除，那么a＝(D)A．0B．1C．11D．12解析：512018＝(52－1)2018＝Ceq\o\al(0,2018)522018＋Ceq\o\al(1,2018)522017·(－1)＋Ceq\o\al(2,2018)522016·(－1)2＋…＋Ceq\o\al(2017,2018)52·(－1)2017＋Ceq\o\al(2018,2018)(－1)2018.由于52能被13整除，所以绽开式的第一项至倒数其次项均能被13整除，只余下最终一项1，所以要使512018＋a能被13整除，a的值应为12，应选D.8．早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作?释锁算数?中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表．(ax－1)6的绽开式中x3的系数为－160，那么实数a＝2；绽开式中各项系数之和为1.(用数字作答)解析：由于(ax－1)6绽开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·a6－r·x6－r·(－1)r，令6－r＝3，解得r＝3，故(ax－1)6的绽开式中x3的系数为Ceq\o\al(3,6)·a3·(－1)3＝－160，解得a＝2，故(ax－1)6＝(2x－1)6的绽开式中各项系数之和为(2－1)6＝1.9．设(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2021x2021(x∈R)．(1)求a1＋a2＋…＋a2021的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2021的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2021|的值．解析：(1)令x＝0，得a0＝1.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2021＝(－1)2021＝－1.①所以a1＋a2＋…＋a2021＝－2.(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＝32021.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2021)＝－1－32021，所以a1＋a3＋…＋a2021＝－eq\f(1＋32021,2).(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a2021|＝a0－a1＋a2－…－a2021＝32021(令x＝－1)．10．m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的绽开式中x的系数为7.(1)试求f(x)中的x2的系数的最小值；(2)对于使f(x)的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数．解析：(1)依据题意得Ceq\o\al(1,m)＋Ceq\o\al(1,n)＝7，即m＋n＝7，①f(x)中的x2的系数为Ceq\o\al(2,m)＋Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(m〔m－1〕,2)＋eq\f(n〔n－1〕,2)＝eq\f(n2＋m2－m－n,2).将①变形为n＝7－m代入上式得x2的系