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文档简介
第10课时“杨辉三角〞与二项式系数的性质1.(多项选择)(a+b)n的绽开式中第5项的二项式系数最大,那么n的值可以为(BCD)A.10B.9C.8D.7解析:由于(a+b)n的绽开式中第5项的二项式系数Ceq\o\al(4,n)最大,所以n=7或n=8或n=9,应选BCD.2.(多项选择)关于(x-eq\f(1,x))6的绽开式,以下结论正确的选项是(BC)A.全部项的二项式系数和为32B.全部项的系数和为0C.常数项为-20D.二项式系数最大的项为第3项解析:二项式(x-eq\f(1,x))6绽开式的通项为Tr+1=Ceq\o\al(r,6)x6-r(-eq\f(1,x))r=Ceq\o\al(r,6)(-1)rx6-2r.令6-2r=0,解得r=3,那么常数项为T4=Ceq\o\al(3,6)(-1)3=-20,故C正确;二项式系数最大的项为第4项,故D错误;二项式系数和Ceq\o\al(0,6)+Ceq\o\al(1,6)+Ceq\o\al(2,6)+Ceq\o\al(3,6)+Ceq\o\al(4,6)+Ceq\o\al(5,6)+Ceq\o\al(6,6)=26=64.令x=1,得全部项的系数和为0,故A错误,B正确;应选BC.3.(x-2)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,那么a8=(B)A.27B.-27C.324D.-324解析:(x-2)9=[(x+1)-3]9,那么其绽开式的通项为Tr+1=Ceq\o\al(r,9)(x+1)r(-3)9-r,当r=8时,T9=Ceq\o\al(8,9)(x+1)8(-3)1=-27(x+1)8,所以a8=-27.应选B.4.设m为正整数,(x+y)2m绽开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1绽开式的二项式系数的最大值为b.假设13a=7b,那么m等于(B)A.5B.6C.7D.8解析:由二项式系数的性质知,二项式(x+y)2m的绽开式中二项式系数的最大值有一项,即Ceq\o\al(m,2m)=a,二项式(x+y)2m+1的绽开式中二项式系数的最大值有两项,即Ceq\o\al(m,2m+1)=Ceq\o\al(m+1,2m+1)=b,因此13Ceq\o\al(m,2m)=7Ceq\o\al(m,2m+1),所以13·eq\f(〔2m〕!,m!m!)=7·eq\f(〔2m+1〕!,m!〔m+1〕!),所以m=6.5.(x+eq\f(m,x))n绽开式的二项式系数之和为256.(1)求n;(2)假设绽开式中常数项为eq\f(35,8),求m的值;(3)假设(x+m)n的绽开式中系数最大项只有第6项和第7项,求m的取值状况.解析:(1)二项式系数之和为2n=256,可得n=8.(2)设常数项为第r+1项,那么Tr+1=Ceq\o\al(r,8)x8-r(eq\f(m,x))r=Ceq\o\al(r,8)mrx8-2r,故8-2r=0,即r=4,那么Ceq\o\al(4,8)m4=eq\f(35,8),解得m=±eq\f(1,2).(3)易知m>0,设第r+1项系数最大.那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(r,8)mr≥Ceq\o\al(r-1,8)mr-1,,Ceq\o\al(r,8)mr≥Ceq\o\al(r+1,8)mr+1,))化简可得eq\f(8m-1,m+1)≤r≤eq\f(9m,m+1).由于只有第6项和第7项系数最大,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4<\f(8m-1,m+1)≤5,,6≤\f(9m,m+1)<7,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)<m≤2,,2≤m<\f(7,2),))所以m只能等于2.6.(eq\r(x)+eq\f(3,\r(3,x)))n绽开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和的比值是64,那么绽开式中有理项的项数是(C)A.4B.3C.2D.1解析:在(eq\r(x)+eq\f(3,\r(3,x)))n中,令x=1,得到其各项系数的和为(1+3)n=4n,其各项二项式系数的和为2n,依题意eq\f(4n,2n)=2n=64,n=6.所以(eq\r(x)+eq\f(3,\r(3,x)))n绽开式的通项公式为Ceq\o\al(r,6)·(xeq\s\up6(\f(1,2)))6-r·(3x-eq\f(1,3))r=3r·Ceq\o\al(r,6)·x3-eq\f(5,6)r,要使3-eq\f(5,6)r为整数,那么r=0或6,所以有理项共有两项.应选C.7.设a∈Z,且0≤a<13,假设512018+a能被13整除,那么a=(D)A.0B.1C.11D.12解析:512018=(52-1)2018=Ceq\o\al(0,2018)522018+Ceq\o\al(1,2018)522017·(-1)+Ceq\o\al(2,2018)522016·(-1)2+…+Ceq\o\al(2017,2018)52·(-1)2017+Ceq\o\al(2018,2018)(-1)2018.由于52能被13整除,所以绽开式的第一项至倒数其次项均能被13整除,只余下最终一项1,所以要使512018+a能被13整除,a的值应为12,应选D.8.早在11世纪中叶,我国宋代数学家贾宪在其著作?释锁算数?中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表.(ax-1)6的绽开式中x3的系数为-160,那么实数a=2;绽开式中各项系数之和为1.(用数字作答)解析:由于(ax-1)6绽开式的通项公式为Tr+1=Ceq\o\al(r,6)·a6-r·x6-r·(-1)r,令6-r=3,解得r=3,故(ax-1)6的绽开式中x3的系数为Ceq\o\al(3,6)·a3·(-1)3=-160,解得a=2,故(ax-1)6=(2x-1)6的绽开式中各项系数之和为(2-1)6=1.9.设(1-2x)2021=a0+a1x+a2x2+…+a2021x2021(x∈R).(1)求a1+a2+…+a2021的值;(2)求a1+a3+a5+…+a2021的值;(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2021|的值.解析:(1)令x=0,得a0=1.令x=1,得a0+a1+a2+…+a2021=(-1)2021=-1.①所以a1+a2+…+a2021=-2.(2)令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a2021=32021.②①-②得2(a1+a3+…+a2021)=-1-32021,所以a1+a3+…+a2021=-eq\f(1+32021,2).(3)|a0|+|a1|+…+|a2021|=a0-a1+a2-…-a2021=32021(令x=-1).10.m,n是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的绽开式中x的系数为7.(1)试求f(x)中的x2的系数的最小值;(2)对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数.解析:(1)依据题意得Ceq\o\al(1,m)+Ceq\o\al(1,n)=7,即m+n=7,①f(x)中的x2的系数为Ceq\o\al(2,m)+Ceq\o\al(2,n)=eq\f(m〔m-1〕,2)+eq\f(n〔n-1〕,2)=eq\f(n2+m2-m-n,2).将①变形为n=7-m代入上式得x2的系
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