【100所名校】江苏省南通市海安县2020届高三上学期期中质量监测数学试题

县一填题本题14小题每小5分共70分请将案写答卷应位上1.已知全集＝，，，，8}，集合＝{0，6}，则A_______．2.已知复数z满足（虚数单位复的_______．3.已知某民营车企生产A，BC三种号的新能源汽车，库存台数依次为1，210，150，安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数_______4.设实数x，y满，x＋的最小值_______5.有红心14和桃5这张扑克牌从中随机抽取两张抽的牌均为红心的概率_______6.运行如图所示的流程图，则输的结果_______7.在平面直角坐标系中已知双曲线的焦点重合，则p的为______

的右焦点与抛物线8.已知函数象如图所示，则

（＞，＞，＜＜）上部分图的值为．9.如图，在棱长为2的正体—D中O为底的心，则三棱锥O—BC的积_．10.设等比数列得

的公比为（q＜n项为若在，且，的为______．

，使

11.已知AB为的直径，点C，圆上两点（在AB两AC＝，＝，AB＝，12.已知函数

的值为．为奇函数，则不等式

的解集_．13.已知正数，，满足14.设命题p在[1，2]使得

，且z≤，＝，其中a，

的取值范围是_______．R无论ab取何时，命题都是真命题，则c的最值为_______．二解题本题小题，共90，在题指区内答解时写文说明证过程演步）15.已知a，，别是ABC的三个内角A，B，的对，若平向量且∥．（）cosA的；（）tanB＝，角C的小．

，，，，16.如图在棱锥P—ABCD中底是菱形∠ABC60°PA＝ACPB＝PD＝ACE是PD的中，求证：（）∥面ACE；（）面PAC⊥平面ABCD．

17.如图，已知AB为圆E：（＞＞）长轴，过坐标原点O且斜角为°直线交圆于C，两，且D轴的射影D'恰为椭圆E的长轴OB的中点．（）椭圆E的心率；（）AB＝，过第四象限的直线l与圆E和CD为直的圆均相切，求直线l的方程．18.某群体的人均通勤时间，是单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中

（）成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

（单位：分钟公群体的均通勤时间不受影响恒为分，试根据上述分析结果回答下列问题：（）在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（）该地上班族的人均通勤间

的表达式；讨论

的单调性，并说明其实际意义．19.已知函数，（）函数的极值点；（）知T(，)为函数

，

，．的公共点，且函数，

在点T处切线相同，求的；（）函数

在0，)上的零点个数为2，求a取值范围．

20.如果数列，，，（≥3，）足：①＜＜…＜；存在实数，，，…，和d，使得≤＜≤＜≤＜…≤＜，且对任意≤≤m﹣（

有，么称数列，，…，是Q数（）断数列1，，，是是“Q数说明理由；（知k均常数k＞证任意给定的不小于3的整数m列（＝，m）都是“Q数列（）数列（＝，2，…，）Q数列m的有可能值．县一填题本题14小题每小5分共70分请将案写答卷应位上1.已知全集＝，，，，8}，集合＝{0，6}，∁A＝_______【答案】，【解析】【分析】根据集合的补集的概念得到结果即.【详解】在全集U中找出集合A中有的元素就是答案，所以∁A＝，8}故答案为：，【点睛】这个题目考查了集合的补集的运算，较为简.2.已知复数z满足【答案】【解析】

（为数单位复的_______

【分析】根据复数的除法运算得到【详解】＝

，再由模长公式得到结果.，所以，复数z的模：故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长等，考查了推理能力与计算能力，属于基础复问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘运算，复数的模长的计算3.已知某民营车企生产A，BC三种号的新能源汽车，库存台数依次为1，210，150，安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数_______．【答案】【解析】【分析】根据分层抽样的比例计算得到结.【详解】抽取的比例为：

，所以，抽取B型号数为：＝故答案为：【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．4.设实数x，y满

，则x＋的小值_______【答案】【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，由图像得到目标函数经过时取得最.【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示，当目标函数z＝x+y经点B（1,1）时，x+y有最小值为1+1＝2，

故答案为：【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可域．(2)考虑目标函数的几何意义，目标函数进行变形．常见的类型有截距型（和距离型（型(3)确定最优解：根据目标函数类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标数即可求出最大值或最小值。

型率型（

型）5.有红心1桃5这张扑克牌中机抽取两张到牌均为红心的概率是_______【答案】【解析】【分析】五张扑克牌中随机抽取两张，有10种,抽均为红心的有6种，根据古典概型的公式得到答.【详解】五张扑克牌中随机抽取两张，有1314、1523、、25、34、35、共10种抽到2张均为红心的有：、、、232434共种，所以，所求的概率为：故答案为：.【点睛】这个题目考查了古典概型的公式的应用，对于古典概型，要求事件总数是可数的，满条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即.6.运行如图所示的流程图，则输的结果_______

【答案】【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当

,则行运算;继续行:;继续运行;当7.在平面直角坐标系中已知双曲线为______．【答案】【解析】【分析】

时,应填答案。的右焦点与抛物线

的焦点重合，则p的值根据双曲线的几何意义得到双曲线与抛物线的共同焦点为（，0以【详解】双曲线中，＝，b＝，＝，双曲线与抛物线的共同焦点为（，

，.所以，

，故答案为：【点睛】这个题目考查了抛物线和双曲线的几何意义，较为简.一和抛物线有关的小题，很时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。8.已知函数（＞000＜在上的部分图象如图所示则

的值为______．

【答案】【解析】【分析】根据图像先得到解析式为：，将代入得到函数值【详解】由图可知：＝，＝－（）＝＝，以，图象经过（3,0以，，因为，所以，，解析式为：，＝－故答案为：.

，

，【点睛】已知函数

的图象求解析式(1)

.(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的殊点求9.如图棱长为的方体ABCDABC中为底面ABCD的中心棱锥O—BC的体为_______．

【答案】【解析】【分析】求出棱锥的底面面积，求出棱锥的高，即可求解棱锥的体积．【详解】连接，为几何体是正方体BO⊥CC故BO⊥平面A，OB是锥高则三棱锥O﹣A的体为：故答案为：【点睛】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状，利用正方体的性质是解题的关键10.设等比数列

的公比为（＜＜n项为．存在，得，且，则的为_______．【答案】【解析】【分析】根据等比数列公式得到

，解出方程即可，再由等比数列的前项和式得到结果即.【详解】由

，得：

，即，因为0<q＜，以，可解得：

，又，所以，，即＝所以，＝故答案为：【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性

11.已知AB为的直径，点C，为上两点（在AB两AC＝，AD＝，AB＝3，则_______．

的值为【答案】【解析】【分析】结合直角三角形可求cos∠DAB，sinDAB，理求∠CABsinCAB，然结合两角和的余弦公式可求cos∠DAC再根据向量的数量积的运算可得，【详解】连结，为AB为直，所以，C＝D＝90º所以，＝，＝，

可求．，cos∠＝cos（CAB+∠）＝

，＝××

＝，－××＝－【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义的简单应用，解题的关键是把图形中的问题转化相应向量的数量积．对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结.12.已知函数【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到参数值，

为奇函数，则不等式

的解集_______．【详解】依题意，有：＝

，即再由对数不等式的解法得到结.，

所以当k＝时，

，即：，以k＝±，没有意义，舍去，所以，k＝－，不等式

即为：＜＝所以，＜

＜，由由

＞，：＜1或x＞，＜，＜，＞，x＜＞，综上可得：＜1或x＞，以，解集为∞1）∪，＋∞）【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。13.已知正数，，满【答案】【解析】【分析】

，且z≤x，则P

的取值范围是．将方程变形为

，将不等式变形为：

，因式分解得到

故，即【详解】

，令t＝，

，化为：

，再由函数的单调性得到函数的最.，又z≤x所以，即所以，

，去分母，合并同类项，得：，即，，即，令t＝，

，

，P＝＝

＝

，令

，＝，：

，(

)(,1)t

－↘

0+↗所以，当

时，P有最值为：

＝，，

，即有大值，所以，的值范围是【点睛】这个题目考查的是多元不等式的最值得求解，对于含有多个变量的式子要求其范围，用的方法有多元化一元，利用线性规划解决最值问题，或者利用不等式解决问也考查了利用导数研究函的单调性和最值的问题14.设命题p在[1，2]使得，中a，

R无论ab取何时，命题都是真命题，则c的最值为_______．【答案】【解析】【分析】记,则,又因为三式做和与做差得到，而得到c小等于M的小值即可【详解】记，∵∴

∴，的大值为.故答案为：【点睛】这个题目考查了二次函数的性质以及绝对值不等式的应用，和不等式同向相加的性质题目较二解题本题小题，共90，在题指区内答解时写文说明证过程演步）15.已知a，，别是ABC的三个内角A，B，的对，若平向量且∥．（）cosA的；（）tanB＝，角C的小．

，，，，【答案）（）【解析】【分析】（1）据向量共线的坐标表示和正弦定理得到，化简后得到结果（2）由（1）知代入求值即.

，所以

，由两角和差公式得到，进而得到正切值，【详解）因为

，所以

.由正弦定理

得，

，即

，所以在

中，

.，所以

.从而，

.因为，以（）（），

，从而.

.所以.

所以.从而，因为，以.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难在与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依.解角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现

及、

时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、角的正余弦公式进行解答16.如图在棱锥P—ABCD中底是菱形∠ABC60°PA＝ACPB＝PD＝ACE是PD的中，求证：（）∥面ACE；（）面PAC⊥平面ABCD．【答案）见解析2）见解析【解析】【分析】（）结交AC于O连OE根据底面图像的特点得到为BD的点又E是PD的点，故OEPB，进而得到线面平行）根据底是菱形，ABC=60，所以

为正三角形，通过边长关系得到PB=AB=PA，从而PA⊥AB同理可证PA⊥AD进而得到⊥平面ABCD，再由面面垂直的判得到平面PAC⊥平面ABCD.

【详解）连结，AC于，连OE.因为底面ABCD是菱形，所以点O为BD的中.又E是PD的点，故OE∥PB.又因为OE

平面，平ACE.（）为底面是形，∠ABC=60°，所以

为正三角形，从而AB=AC.又PB=AC，=AC，所以PB=AB=PA.从而，⊥同理可证⊥，又因为ABAD=A，且，所以PA⊥平面ABCD.

平面ABCD，因为PA

平面，平面PAC⊥平面ABCD.【点睛】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使两个面的法向量互相垂直即可17.如图，已知AB为圆E：（＞＞）长轴，过坐标原点O且倾角为°的直线交椭圆E于C，两点且D在x轴上的射影D'恰为椭E的长轴OB的点．（）椭圆E的心率；（）AB＝，过第四象限直线l与圆E和以CD为径的圆均相切，求直线的程．【答案）（）

【解析】【分析】(1)CD的程为y-x因为D在轴上射影恰恰为椭圆E的长轴OB的点，所以，代入椭圆方程得到

进而得到离心率）因为AB8所以2a=，即a=4.（），

从而得到圆和椭圆的方程，直线l与CD为径的圆相切，所以，，联立直线和椭圆E的方程组，并消去y整得，化简得，

，因为直线l与椭圆E相，所以，解出参数值即可【详解）因为直线过点O倾斜角为°，所以CD的方为y-x.因为D在x轴的射影恰为圆的长轴OB的中点，所以.代入椭圆E：

得，.所以椭圆E的心率.（）为AB=8，所以2a=8，即a=4.（）知，

.从而椭圆E：设直线l的程：

，以CD为直的圆：.

.因为直线l与CD为直径的圆切，所以，即.①联立直线l和圆E的程组，消去y整得：

.因为直线l与圆E相，所以

.化简得，由①②得，，

.②，所以直线l的程为.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是次的，圆

锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．18.某群体的人均通勤时间，是单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中

（）成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为

（单位：分钟公群体的均通勤时间不受影响恒为分，试根据上述分析结果回答下列问题：（）在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（）该地上班族的人均通勤间

的表达式；讨论

的单调性，并说明其实际意义．【答案】(1)

时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时;(2)见析【解析】【分析】（）题意知求出f（）40时取值范围即可；（）段求出g（）的解析式判断（）的单调性，再说明其实际意义．【详解）由题意知，当，

时，即解得∴（）当

或

，，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；时，；时，；∴；当当

时，时，

单调递减；单调递增；

说明该地上班族中有于

的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于

的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为

时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．19.已知函数，（）函数的极值点；（）知T(，)为函数

，

，．的公共点，且函数，

在点T处切线相同，求的；（）函数【答案）

在0，)上的零点个数为2，求a取值范围．(2)a=e.（）>e.【解析】【分析】(1)对函数求导得到导函数的点和在零点两侧的单调性而得到极值点（y为数，的公共点，且函数，

在点处切线相同，所以

且，立两式消参得到，从而求出点而到数（3）设函数

，.则，令性证明a>e时2个点即可

得，，

函数单调故不可能有2个点，结合函数单调【详解）因为

，所以.令当

得，=-1，时，；

时，，所以函数

的极小值点为x=-1，不存在极大值.（）题意.因为点T（，y）函数

，

的公共点，且函数，

在点T处的线相同所以由②得，

且，，代入①得，

，显然，所以

.

因为

满足该方程，且函数

为单调增函数，所以，e.（）函数则令得，

.

，.，当

时，

，所以

为（0，）单调增函数，至1零点，不符，舍去；当a>0时，

得，

，由（）知，

为（-1，+）单调增函数，所

在（0，）有唯一解，记为，即

的根为.当

时，

，单调递减

；当

时，

，

单调递增因为函数

的零点个数为2.下证：>e时函数因为，

在（0，+）的零点个数为，，根据

的单调性结合零点存在性定理知，函数

在（，x）存在一个零点，x，）上存在一个零点，故函数

在（0，）的零点个数为2.所以a>e.【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P处切线，则表明P点切点，只需求出函数在点P处的数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写