复变函数习题及答案解析(东南大学版)

第1章复数与复变函数

1.1复数及复平面

1-1若|z|=l,<y=Z'+—(〃是正整数)，则().

zn

(A)Re(o)=0(B)Im(69)=0(C)arg(ty)=0(D)arg(«y)=n

解由izi=i知L3因此

Z

+z"为实数，故Im（0）=O.选（B）

|z|=l时z"=z"=l/z".

1-2(T；®)"1+)-1-V3i

3n().

(A)(-1)"2(B)(-l)"-'2(C)2(D)-2

解由土色，^-1-V3ii-n

23及W-------；3知,等式中两项皆为1.选（C）

22

1-3|(l+e^)w|=().

nn

(A)Tcosn-(B)2〃sin〃上(C)21(1+cos6»)"/2(D)22(1+sin6>)H/2

22

解11+e'^|2=(1+cos^)2+sin]。=2(1+cos。)

n

故|(1+摩)"|=2"l+cosd)"2.选（C）

nn

本题容易错选（A）项，因为2（1+cos0）=4cos2g得11+e，"|=2cos—.错在cos—应加上绝对值.

22

1-4max||+iz2111z|<1}=().

(A)—(B)\匹(C)叵(D)2

2V42

.n

解由Iz'+iz?|4|z「+|z/<2,而当z=e%时,

z4=6'"=—l,iz2=ie^=-l,|z4+iz21=2,故最大值为2.选(D)

用不等式确定最大值是常用方法.

1-5对任意复数4,Z2,证明不等式

l|Z||-|z21区|Z,±Z2|<|Z||+1z21.

证]IZl-Z2HZl+(-Z2)l-lZ]|+|-Z21=1Z|l+|ZjI

IZ(Hzt+z2-z21<|zt+z2\+\z2\

故IZ||-匕区|Z]+Z2I，同理|z2|-|Z1MZ1+Z2I

即-\zt+z2国Z|I-1Z2国Zt+z2\

也就是||z,|-|z2||<|Z,+Z2|.

证2(代数法)设Z*=x«+iy*(k=l,2)

222

则只要证|z1+z2|<|z,I+2|Z（||z2|+|z21

即只要证xyx2+M丫24Jx：+y：-Jx；+y；（1）

222

只要证（x（x2+yty2）<（x,+y,）（^+y1）

2

此不等式等价于x汶+Xjj,-2xlyix2y2>0

由于4,以皆是实数，上式左边是完全平方式，故此不等式成立，也就是

k+ZzlslzJ+IzzI成立，以下同证1.

证3（三角法）.设4=股呜,Z2=〃e遇,

22

则|Z,+z2『=（八cos仇+r2cos02）+（八sin4+r2sin02）

=外2r2?+2r,r,cos（g-G2）<r"。+2”

2

=（八+r2）=（|Z||+|z2I）

即|Z|+Z21MlzI|+&I成立，以下同证1.

1-6当|z|«l时，求|z"+a|的最大与最小值，”是正整数，a是复常数.

解1（代数法）.由1-5题知.

\\z\n-\z\\^zn+a\^zn\+\a\<l+\a\

我们知道，当|z"|=l，且向量z"与a夹角为0°时右边不等式等号成立.故|z"+a|的最大

值是l+|a|.

对左边不等式，要分情况讨论.

（1）若|a|>l,则|z"+a闫a|-|zTN|a|-L等号当|z|=L且z"与a方向相反时成

立.这时最小值是|a1-1.

（2）若则由|z"+a|20,当z"=—a时等号成立，最小值为0.

总之，不论a为何复数，|z"+l|的最大值是l+|a|；而当|a|>l时,最小值为|a|T.

当|a区1时，最小值为0.

解2（儿何法）.我们仅就|a|〉l加以证明.由|z|《l知|z"区10即z”是闭单位圆上一

点z"+a|表示z"点到-a点的距离彳艮明显（初等儿何）当z"位于如图L2的用的位置时,

z”与-a距离最大，且最大值就是l+|a|；当z"位于牡点时，Iz"+a|最小，最小值为

|ct|—1.

|a|«l的情况请读者自己研究.

1-7若|%|=|z2Hz31，且Z]+《2+q=0证明以4，12，马为顶点的三角形是正三角形.

证1记|Z||=a，则

22222

Iz.I=lz2+z3l=2(|z2|+|Z3|)-|Z2-Z3|I

222

得匕-4『=3。2.同样\z3-zx|=|z1-z2|=3a

即得匕一4|=|Z3-Z2|二|Z「Z3|.命题得证.

证2设“=ae以（k=T,2,3）

因而有a（，可+/%+e泌）=（）,即

cos4+cos02+cosa=sin'+sin02+sin03=0.

不妨设0<4<%<。342].则

2222

（cos^,+cos^2）=cos%,（sin0X+sin02）=sin分

于是2+2（cos4cos02+sin01sin%）=1.

12

即cos（2-^|）=02=§加

22

同理，。3-。2=5），说明Zi，Z2,号在圆周上且工\4，工尽3与Z3Z]的度数均为3肛所以

4,马/3为顶点的三角形是正三角形.

1-8证明复数形式的柯西（Cauchy）不等式：

22

\±akpk\<±\ak\±\pk\.

k=\&=1k=l

证对任意“个复数，由三角不等式.知

①4/区£|%|的|.（见1-5题）.

1=1k=\

再由关于实数的柯西不等式得

IZ%及『《这I%1141）2=11a泮11AI2-

A=1k=\k=\k=\

说明它的几何意义。

1-9若复数z”Z2,号满足等式

Z2-Z|_Z|-z3

Z3—Z]z

z2-3

证明上2—4|=|Z3-Z||=七2—Z3

证由已知等式取模可得

Iz2-Z111z2-Z3HZ|—Z3『⑴

又由已知等式知

⑵-Z］）-（Z3-4）_（qZ3）一（Z2一名3）

"一号马一名3

即亘二4.=43,从而有

Z3-Z|z2-z3

2

Iz,-z211z3-z,HIz2-z31⑵

(1)、(2)两式相比得|za__

IZ]-Z3|Iz2-z31'

故|Z3-Z||=|Z2-Z3I，代入(1)即可得所要证明的结论：

IZ2—Z|1=1Z3-41=1Z2—Z3|.

1-10设实数|r|<l,求下面级数的和.

(1)£/coskB(2)£/sin3

/t=0k=\

解记出=/*=(*0)y=0,1「-)

*11_1-rcos0+\rsin0

于是

1-re'01-rcos^-irsin^1-2rcos<9+r2

k=O

1-rcos3

故(1)£/cos%。=

2

k=0\-2rcos0+r

rsin。

(2)r2sinkd=

2

k=\l-2rcos^+r

1.2复变函数、极限与连续性

一个复函数。=/（z）可以看作是从Z平面到G平面上的一个映射（也可称为变换）.

1-11已知映射。=1,求

Z

（1）圆周|z|=2的像；（2）直线y=x的像；（3）区域X>1的像.

［为半径的圆周.

解（1）|co|=—L_2——，是。面上以原点为圆心,

|z产222

(2)co=——--=-~贝ij”=—,v=——像是直线〃=-v.

x(l+i)2x2x2x

(3)先看直线X=1的像.CO---——-~2,则〃=='■,〃2+—="，是

以勿=■为圆心，!为半径的偏心圆，而由z=0的像是。=°0,在圆外部，因此，x>l的

22

像是圆的内部，BPH2+v2<u.

z/0

1-12设/(Z)Tz2'，则().

a,z=0

(A)(z=0时，/«)连(B)a=—二时，/(z)连续

(1+i)-

(C)a=l时，/(z)连(D)不论a为何值，/(z)在z=0处均不连续

解记2=%+蚀，则z?=/-y?+2L\y.Im2(z)=故当ZHO时

)」(「2)一2町［

/(z)=

(丁+行

考虑a(x,y)=)'1厂一,)?,令〉=日，得

(x~+V)2

u(x,kx)=k?,xT0时极限不同

(17+U/)2

故z-0时，〃(x,y)极限不存在.因此，不论a取何值，/(z)在z=0处不连续.选(D).

相当于用极坐标研究二元函数的极限.

2Z2

1-13求极限：lim^-f--

fz2-l

z(z-l)+2(z-l)

解原极限=lim

ZT1(z—l)(z+l)

lim三匕3

3Z+l2

复函数的极限与实二元函数极限的关系.

即limf(z)与limu(x,y),limv(x,y)两问题是等价的.

Zf4XT*0Xf%

.、fo0

1-14证明定理:设z=x+iy,z()=%。+iy0./(z)=u(x9y)+iv(x,y).则

lim/(z)=〃o+i%

ZTZo

的充要条件是limu(xy)=u及limv(x,y)=v

XfX。x—＞而9Q0

yfo〉f、o

证必要性.由lim/(z)=〃()+i%知，对任意£〉0白K〉0,只要

ZTZo

22

0<1z-z01=y/(x-x0)+(y-y0)<3

便有|u[x,y)-u0+i(v(x,.y)-v0)|<s.

这时|u(x,y)-u01<|M(X,y)-u0+i(v-％)|<£

\v(x,y)-v01<|u(x,y)-u0+i(v(x,y)-%)|<£

即limu(x,y)=u0及limv(x,y)=v0.

X->XQX->XQ

01fo

充分性.对£>0,存在①>0,只要

22

o-<p=|z-z0|=\l(x-x0)+(y-y0)<a

便有—〃O|<£/2(1)

又存在心>0,只要0<夕<心

便有|v(x,y)-%|<£/2(2)

成立.取6=min(4,62)，因此，只要0<O<S,(1)、(2)便成立，由三角不等式

|(H+IV)-(M0+ZV0)|<|U-H0|+|v-v0\<£

成立.即lim/(z)=+zv0.

本问题的逆问题成立吗？

1-15设lim/(z)=a，证明

ZTQ

Z—>q)

证对£>0,存在5>0,只要0<0<3,便有

\\f(z)\-\a\\<\f(z)-a\<£

成立.

即lim|/(z)|=|a|.

本题证明方法与证明二元实函数极限不存在的方法相同。

1-18证明—一)=(三一刍)在(0,0)点的极限不存在.

ZZ

77尸2(-22_

证1设z=则I,〉=_2isin2。,故在z=0点的极限不存

ZZ尸

在.

证2记名=》+"，则三一三=二二$=建三，当z-0时，由lim,不存

zzx*12+y2x2+/，x+y

在，知此函数在z=0极限不存在.

1-16证明/(z)=argz在负实轴上不连续。

证z=O,/(z)无意义，故不连续.

设Im(z)=y,则lim/(z)=兀

-o+

x<0

而limf(z)=-Tt.

yf(r

x<0

因此，在负实轴上任一点x处yf0的极限均不存在，即对任意/<0,lim/(Z)不存在，

ZTX。

故不连续.

用复数指数形式可将这种和变为等比数列之和.而且，往往是一次便求得两个和.

1-17求和

(1)1+cosx+cos2x+■■■+cosnx

(2)sinx+sin2xd—+sin〃x

解l+e&+e2s+…+e向

_1-_1-cos(n-l)x-isin(n+l)x

1-eu1-cosx-isinx

1-cos(n+l)x-isin(n+l)x八.•、

=------------------------(1-cosx+isinx)

2(1-cosx)

_1-cosx+cosnx-cos(n+l)x

2(1-cosx)

+isinx+sinnx-sin(n+l)x

2(1-cosx)

以上实部即木题(1)的结果，虚部是(2)的结果,即

/、，1-cosx+cosnx-cos(n4-l)x

(1)1+cosx+…cosnx=-----------------------—

2(1-cosx)

...^sinx+sinnx-sin(/z+l)x

(2)sinx+sin2xd---Fsinnx=----------------------

2(1-cosx)

注意：%、马是点，而乙2-石,0-口，…是平面向量。

1-18证明三点4、Z3构成正三角形顶点的充分必要条件是

Z：+Z；+Z；=Z|Z2+Z2Z3+&Z].

证必要性.设AZ&Z3是正三角形.则必有

z2一4"Z3—4

*一Z]Z]-z2

这是因为z2-z„z3-Z„Z3-z2的模相等，且夹角相等.

2

即-(Zt-Z2)=(z3-z2)(z3-zi)

即Z：++Z；=ZR2+Z2Z3+Z3Z1

充分性.由Z；+Z；+=Z,Z2+Z2Z3+Z3Z1

2

得(z,-z2)=(z2-Z3)(Z3-ZI)

2

(z2-z3)=(Z1-Z2)(Z3-Z1)

(Z3-ZJ2=(4-Z2)(Z2-Z3)

取模易得\zv-z21=1z2-z31=1Z3-Zi1

即三角形三边相等，为正三角形.

这也是一般二元实函数的重要性质.

1-19证明：若&=/(z)在有界闭集上连续，则必有界.

证设/(2)=〃(%,》)+"(%,').在片上连续,则a(x,y),v(x,y)均在E上连续，从而

F(x,y)=J0+v2连续,因而有界，即存在正数M,使I〃z)|=J-+V2VM成立.

这都是二元实函数在有界闭集上的重要性质.

1-20证明：若。=/(z)在有界闭集E上连续，则|/(z)|在E上能达到其最大值与最

小值.

证如上题.由|/(z)|=，/+巾在E上连续,故能达到最大、最小值.即存在(玉,％)及

(x2,y2)eE,

17(占+iy,)|=Ja：+v；=M

而"(z+wN-+v；=团

使对任意(x,y)eE,皆有不等式

m<|f(x+iy|<M

成立.

第2章解析函数

2.1解析函数的概念及C-R条件

复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间.

2-1/（z）在z（j+iy（）点可导的充分必要条件是（）.

（A）在（%,用）点“,v可导，且满足C-R条件，即包=包,字=一如在a。,），。）成立

dxdydydx

(B)/(z)在(%,%)点的一个邻域内可导

(C)在(%,%)点“，可微，且满足C-R条件

(D)在(与，肾)点”，具有连续的偏导数，且满足C-R条件

解由上题的推导过程知，若/(Z)在4点可导，则“,v在(餐,打)可微，且

dudvdu8v.

-----Cl=-----h

dxdy----------dydx

在(%,%)点成立•

反之，若〃/在(%,光)可微，且满足C-R条件，则

A/*(z)_Aw+iAv

△zAz

w.Ar+u\y+i(匕.Ac+vAy)[\Az|)

x=x----------;---------y---------o-:-------1-----------

AzAz

_u(Ax+iAy)4-i(vAx+viAy)o(|Az|)

~xvr十

AzAz

_(w+ivJAzo(|Az|)

-----v------------1

AzAz

故lim~'Q)+电选(C).

22

2盯i,x+y^0

2-2若〃(x,y)='f+),-5v(x,y)-xy,f(z)=w+iv,则函数/(z)

0,x2+y2=Q

().

(A)仅在原点可导(B)处处不可导(C)除原点外处处可导(D)处处可微

解〃(居)。在原点虽有@=变=0但不可微；而除原点外”,v可微但不满足C-R条

dxdy

件，因此，/(Z)处处不可导.选(B).

7如此简单一个函数却处处连续但不可导！

2-3若/(z)=(/一,2+Qx+hy)+i(cxy+3x+2y)处处解析，则(〃/,c、)=().

(A)(3,2,2)(B)(一2,-3,2)(C)((2,-3,2)(D)(-2,3,2)

解由C・R条件及

■—=2X+Q,=—2y+/?,=cy+3,=cx+2.故c=2,a=2,b=-3.

dxdydxdy

2-3若，(2)=孙2+土2丫则/仁)().

(A)令在直线y=x上可导(B)仅在直线y=-X上可导

(C)仅在(0,0)点解析(D)仅在(0,0)点可导

解22要满足条件，要求

ux=y,uy=2xy,vv=2xy,vv=x,C-R

y2=x2&2xy=-2xy,只有(0,0)点能满足此条件.选(D).

要记住在极坐标下的C-R条件.

△z〜万△生冶+4方’中表示等价(无穷小)的意思(Az->0).这里由于是极坐标

故AM-u(r+Ar,0+A3)-u(r,0y,Av=v(r+^r,0+A0)-v(r,0')而

△z=(r+—re0当A。=0,Az=Are"令Ar=0,Az=re°(sinA^-l+isinA)

〜re%A9(Aef0)“〜”是等价无穷小的等价符号.

2-4导出在极坐标下的C-R条件.

解即z=re"',a=a(r,。)#=v(r,^),/(z)=«(r,^)+iv(r,^),/(z)在(r,。)处可导

的C-R条件，分两种解法.

1.用坐标变换法

du_duxdu-ydu_duydux

dxdrrdOr~'dydrrSOr2

空,~的变化与之一样，故由C-R条件

dxdy

Tduxydudvyxdv

T'f-------、---=------1--;----

drrr~80drrr1dO

fduyxdudvxydv

及一二+—7—=---------+《一

drrr~dOdrrr~dO

5M

a-v-一

⑴得胡

xx(2)-yxar

yx⑵+xx⑴a¥w-包

阴

这便是在极坐标下C-R条件.

2.直接用定义

f(z+△[)-/(z)=w(r+Ar,0+AO)-u(r,。)+iAv

=+iAv

而Az=(r+Ar)ei(^)-Arei^

*飞.一1)+加/2

当Ar->0,A6-0时，Az〜riA雇"+Are"

故r（z）=lim效土曳存在，令A8=0有

3〃

w（r+Ar,。）一"（厂,夕）v(r+Ar,0)-u(r,0)_1du.dv

f'(z)=lim+ilim

Az->0△dAr->0Are^e*drdr

(A6=0)(A6>=0)

令△尸=0,"->0亦有

、〃(r,e+A6)—〃(八夕)v{r,0+\O)-v(r,O}11dv.1du

f⑵=hrm—---------〃+lim?^而一：而)

△")r/AA^->Oe

(加=0)(Ar=0)r\ee

du_1du

比较上面等式得drrdO

dv_1du

而一；而

与解1所得结果一致.

2-5研究下列函数的可导性与解析性

(1)f(z)=x2-iy

(2)/(z)=2/+3i/

(3)f(z)=e'cosy-ielsiny

(4)/(z)=sinxchy+zcosxshy

丝羽仅当％=-』时口条件成立，故此函数在直线

解（1）=22=0;@=0,°=-1.5

dxdydxdx2

x=--上处处可导.而在复平面上处处不解析.

2

（2）包=6/,包=0；变=0,史=9y2,因此，“4）仅在两相交直线2/=3y2上

dxdydxdx

处处可导，在全平面处处不解析.

、。〃rOil.0U.Sv丫.।.._

(3)一=ecosy,—=-eYsiny;一=ersmy,-=ecosy.C-R条件处处成立,

dxdydxdy

且〃/偏导数处处连续，因而处处可微，即/（Z）处处解析.

du.du..dv.dv.

(z44)x——=cosxchy,——=sinxshy;—=—sinxsny,——=cosxchy.

dxdydxdy

处V的偏导数处处连续，且C-R条件成立，故/（z）处处解析.

2-6若“+i>，是区域。内的解析函数，那么，v+i”在。内是否也是解析函数？

解只有当/([)=〃+»在。内为常数时，u+i〃才在。内解析，否则u+i〃不解析.

»八一々川dudvdu5VH.,,&力1.门，i+Su9〃5vdu十日

由C・R条件，一=—,—=----,若u+i〃也解析，则有一=—,—=----.于是

dxdydydxdxdydydx

-=故@=@=0,丫三月为常数，从而〃=a也是常数.

dxdxdydydxdy

结论，若〃+»是。内不为常数值的解析函数，贝h+i〃在。内不解析.

2-7如果/(z)=〃+而是解析函数，证明(?"⑶y+(£"⑶IP="'«)『.

dxdy

证"(z)|=J”？+d,故

duu+wdww..+wv

由C-R条件得f(z)|=-版+义

6Vw2+v2

故WB加・⑸)23"'.+"+小

oxdyu+v

=一+♦="'〃)『.

2-8如果/(z)=〃+in是解析函数，证明

z)2P2

(—+vv)i/a)i2=4ira)i2

dxdy

证"W+d

2

故-^-|/(Z)|=2(»MX+VVJ

dx

件

密『=(1)

l/(z)2("；+1]+uuxx+vv„)

z52

同样获"(Z)|2=2("；+*+%y+VV”)(2)

由条件,知/⑶=

C-Rux+ivy=vy-iuy.

I/'—”":

及％+%=%+%=°

将⑴、(2)两式相加得

(、r+^T)"(z)『=4](⑵|2.

2-9如果/(z)与/(z)均在。内解析，证明/(Z)是常数.

、十、儿”、「I；/、.-c々5vdvdudvdv

证设/(z)=〃+川，则/(z)=w一吐.由C-R条件—=—=----,—=----=一.

dxdydydydxdx

得电=包=0,从而且=包=0,〃=。是实常数，u=,是实常数，/(z)=a+i/?是常数.

dxdydxdy

2-10设/(z)在z点可导(zwO),证明

、r,du.。入廿百

f(z)=-(—+1—),其中z=reiO

zoror

证在极坐标下尸(z)$(*+吟)$(嗝-i：5)

(后面的式子是顺便写出来的)故

、r,du.dv.

/(Z)=-(—+1—)

zoror

、1/DP•du

也可写作f(z)=一(----1——).

zdese

2.2初等函数及其解析性

复变量的指数函数具有周期性.

2-11若e"=e'2，贝ij().

(A)z,=z2(B)&=Z2+2k乃(A为任意整数)

(C)Z]=Z2+ik万(D)Z)=z2-2ik7r

解由于e,的周期为2疝，故有

%1-22=2加疝(取》1=-上,左为任意整数)

得4=%2_2kni.

要注意Lnz与Inz的联系与区别.

2-12关于复数的对数函数，下面公式正确的是().

(A)Ln(z,z2)=Lnzt+Lnz2(B)ln(z,z2)=lnz1+lnz2

(C)Lnz2=2Lnz(D)Ins2=2Inz

解由定义

Ln(z/2)=Ln|z©I+iArg(zR2)

=Ln|z,|+iArgZj+Ln|z21+iArgz2

=Lnzt+Lnz2.

(B)不正确在于Ln(ZiZ2)=Ln|%Z2|+iArg(Z]Z2)

而当arg%+argZ2>兀,或argZ]+arg224一兀时，arg(Z]Z2)arg+argz2>故(B)

不成立.

2-13Ln(—1)和它的主值分别是().

(A)Ln(-l)=(k+；)兀i,(左为整数)主值ln(—l)=O

(B)Ln(-1)=(2女一1)戊主值In(-1)=布

(C)Ln(-l)=(2k-l)7ti,ln(-l)=-7ti

(D)Ln(-l)=lnl+iArg(-l),主值In(-1)=疝

解Ln(-l)=In1+iArg(-l)=i(2n?+1)TT.,取机=k-l(加为整数，女也是整数)得

Ln(—l)=i(2左一1)兀，ln(-l)=7ti.选(B).

注意复变量的三角函数与实变量三角函数的联系与差别.

2-14设k为整数，则方程sinz=O的根是().

(A)z-kTt\(B)z-2kn(C)z=kn(D)z-2kn

_p-»z

解即-------=0,即©2堂=1.设2=1+讨工2纥=€一2丫(00521+15山2%)=1,故

2i

y=0,cos2x=1,x=kit.选(C)

2-15证明对数函数的下列性质.

(1)Lua.)=Ln4+Lnz?(2)Lna=Lnz1一Lnz2

并说明以上性质对于函数Inz未必成立.

证(1)Ln(ZjZ2)=Ln|z,z21+zArg(ZjZ2)

=Ln|Zj|+iArgZ]+Ln|1+iArg^2

=LnZ]+Lnz2

(2)可用(1)的结果：

LnZ1=Ln(--z2)=Ln—+Lnz2.

Z2Z2

故Ln—=LnZ]-Lnz2.

4

以上等式成立的意思是说

Arg*1)与ArgZ]+ArgZz是相同的集合.而对于主值:

ln(ZjZ2)=In|n—I+iarg(ZR2),

InZj=In|%|+iargZ]

InZ2=InIz21+iargz2.

不一定总有argZ]+argz2=arg(z1z2).

/、34/、3

arg(z,)=--7t,argz2=-y,arg(=

5/、

argZj+argz2=--7c^arg(ZjZ2).

故biz】+lnz2一般不一定与InzRz相等，但当)<argZi+argZ2〈万时，公式成立,

如In(-1)=ln(i-i)=i(^+])=ill不成立.

Inz?w21nz这是复函数与实函数不同之处，值得注意。

InVZ=—In＜都是成立的.

2

2-16说明下列等式是否正确.

(1)Lnz2=2Lnz；(2)LnV7=—Lnz

2

解(1)不正确，因为

Lnz2=2In|z|+iArgz?

而2Lnz=2InIzI+2iArgz.

由于2Argz=2argz+4勺肛g是整数)

而Argz?=2argz+2k2冗，(七是整数)

两个集合不相同.

(2)正确argJ7一般有两个值，一个是:argz，另一个是]argz+兀

故LnV7=；InIzI+i(gargz+&乃)

]]i

而—Lnz=-InIzI+—(argz+2兀)

=—In|z|+i(—argz+/nn).①

而=1+i或-1-i.

Ln(l+i)=；ln2+i(；+2叫兀)

②

13

~

Ln(-l-i)=—In2+i(2/n27i~

1兀

=yln2+i[(2ni2-l)7i+-]③

②式对应于①式％=2机，为偶数时的值：③式对应于①式女=2加2T即奇数的值，故它们

是相等的.

反过来，便可以看出(1)不成立的原因.

若Ln(l+i)2=ln2+2iArg(l+i)

=ln2+ig+4bi)④

2

而Ln(l+i)=In2i=ln2+i(-+2k2n)⑤

④式比⑤式中的虚部少了“•半”原因是尚有

Ln(l+i)2=Ln(-l-i)2

而2Ln(l+i)与2Ln(-1-i)是不一样的.

2-17求下列各式的值：

(Dexp[(l+i7r)/4](2)3j(3)(l+i)j(4)ln(l+i)'

-TTTT

解(1)exp[(l+i7c)/4]=e4(cos—+isin—)

44

1-

1iln3i(ln3+i?ff)

(2)3=e=e*=(cosIn3+isinIn3),(k是整数)

(3)(1+iy=eiLn(l+i,=ei|^ln2+，<^)1=/(^)(C0slnV2+isinlnV2)

(4)皿1+讨=—(4+2也)+“11正(左是整数).

4

2-18讨论函数Inz和Lnz的解析性及其导数.

解。=Inz=In|z|+iargz,此函数在z=0点和负实轴上不连续，在z=0时In|z|无

意义；在负实轴y=0上，x<0,当limargz=兀；而lim(argz)=-兀，故不连续；从而Inz

y->0+y-»0-

不可导.而除z=0和负实轴外，反函数z=e0存在，且z'=e"¥0,故

(lnz)r=^-=-

ez

即除原点和负实轴外，Inz处处可导，且

(Inz)(=-

z

对于卜2=1!12+2女疝(女为整数)，对每个固定的k,Lnz也是除原点和负实轴外处处

可导，且

(Lnz)，=(Inz)，=L

z

即Lnz在它每一个单值的分支上(即对每个固定整数k),除原点和负实轴外处处可导,

且(Lnz)，=L

z

2-19研究基函数卬=z"的解析性质，并求其导数.

解W=e“Lm=e"(Ln：+2⑺

因此，z“是多值函数，对应于Lnz的每个单值分支，基函数也是单值的，且Lnz的每个单

值分支上除Z=0和负实轴外处处解析，因而，募函数在每个单值分支(即对每个固定的左),

除原点与负实轴外处处解析，且

(z")'=[ea(lnz+i2^)],=za--=az"T，对每个固定的人均成立.

z

注意豉的两个分支不一样.

2-20求(五)[