平面向量题型三 三角形“四心”与向量结合

平面向量题型三三角形“四心”与向量结合平面向量题型三三角形“四心”与向量结合/NUMPAGES9平面向量题型三三角形“四心”与向量结合平面向量题型三三角形“四心”与向量结合题型三三角形“四心”与向量结合(一)平面向量与三角形内心1、O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定通过的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心2、已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：，则P是三角形的（

）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心3、在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过△ABC的：（）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心(二)平面向量与三角形垂心“垂心定理”H是△ABC所在平面内任一点，点H是△ABC的垂心.证明：由,同理，.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（证略））4、已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：，则P点为三角形的（

）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心5、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的（ ）（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 （C）三条中线的交点 （D）三条高的交点6、在同一个平面上有及一点Ｏ满足关系式：＋＝＋＝＋，则Ｏ为的（

）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心(三)平面向量与三角形重心“重心定理”G是△ABC所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.证明图中连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.证明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（证略））7、已知O是平面上一

定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：，则P的轨迹一定通过△ABC的（

）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心8、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足=(++2),则点P一定为三角形ABC的（）A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB边的中点(四)平面向量与三角形外心9、若为内一点，，则是的（

）A．内心

B．外心

C．垂心

D．重心10、的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=(五)平面向量与三角形四心11、已知向量，，满足条件++=0，||=||=||=1，求证△P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题）12、在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。13、若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证.14、设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证15已知点、、在三角形所在平面内，且==,,则==则点、、依次是三角形的（A）重心、外心、垂心（B）重心、外心、内心（C）外心、重心、垂心（D）外心、重心、内心题型三三角形“四心”与向量结合答案1、解析：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.4、解析:由.即则所以P为的垂心.故选D.8、取AB边的中点M，则，由=(++2)可得3，∴，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.9、解析：由向量模的定义知到的三顶点距离相等。故是的外心

，选B。10、111证明由已知+=-，两边平方得·=，同理·=·=，∴||=||=||=，从而△P1P2P3是正三角形.反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有++=0且||=||=||.即O是△ABC所在平面内一点，++=0且||=||=||点O是正△P1P2P3的中心.12【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：由题设可设,AB(xAB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF即，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：213证明若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.∴，.又垂心为H，，，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四边形AHCD为平行四边形，∴，故.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.14证明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理由此可得.三角形“四心”与向量结合总结1．O是的重心;若O是的重心，则故;为的重心.2．O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，则故