第五讲多元函数的微分学课程加持续

第五讲多元函数的微分学本题型包括如下几个方面的问1、用定义求偏导数和全抽象函数(选择题具体分块函数在分界点2、初等函数的偏导数和3、求抽象4、由方程所确定的隐函数的偏导数和全微分5、含抽象函数的方程所确定的隐函数的偏导数和全6、由方程组所确定的隐函数的偏导 fx,

f

x,y0fx0,y0

fx,

fx0,

yfx0,y0 2、若zfx0xy0yfx0y0AxByofxy在点x0y0AxBy称为zfxy在点x0y0的全微分记为dz，即dzAxByfxx0,y0Afyx0,y0B3zfxy在点x0y0的可微的充分必要条件z[fx(x0,y0)xfy(x0,y0)

0函数zfxy在x0y0全书三，P109[例

f(x,x2极限存在但不连续(C)偏导数存在但不可微

连续但偏导数不存在可微

答案2(2012-1)f(xy)在(00)处连续,若极限limfxy存在,f(xy)在(00)处可微

x若极限limfxy存在,f(xy)在(00)

x2f(xy)在(00)处可微,则极限limfxy

xf(xy)在(00)处可微,则极限limfxy

x2答案全书一，P133[例6]；全书二，P143[例2 x2 23zfx,y

，则在(0,0)zfx,

x2y2 （D）可微答案全书一，P134[例7]；全书二，P143[例(x2y2)4、fx,y)

x2

,x2y2

x2y2fx,y的两个一阶偏导数在点(0,0处都不连续fx,y在点(0,0处可微全书三，P109[例例5 函数f(x,y) |xy|在点（0，0）是否连续？偏导数是否存在？是否可微全书一，P138[例1]；全书二，P148[例x2例6、设f(x,y) 2x3 求f(0,0),fx21 【解】f(0,0)df(x, (2x) 2

f(0,0)df(0,

(3

3

全书一，P138[例2]；全书二，P148[例xzy7fx,yzxzy

，则df(1,1,1) 【解f(1,1,1)df

(

1.

f(1,1,1)df(1,

(1

1

f(1,1,1)df(1,1,

0

全书三，P111[例 例8、设f(x,y)x2 y2x

2fy，求xxy解：f x

2xarctan

y x 1yx2x2

( y)x

y x2y1(y2y2xarctanyx2 2

11

x yx y(x)

1(y)x

x2 y全书三，P111[例x2y2x2y2

2u 2u 2u求x2y2全书一，P139[例4]；全书二，P149[例 10设z(1

y2)xy， 【解一】z(1x2y2)xyexyln(1x2y2z

y(1x2y2)xy[ln(1x2y2)

2x2 ].1x22x(1x2y2)xy[ln(1x2y2)

1x2y2]全书二，P153[例

2 2f例11、设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足

2 2又g(x,y) (x2y2

【解gyfxf

gxfyf 2g

y22

2 22 2gx22

2

y22ff

2

2

(x2

y2

2

(x2

y2

2

x2

y2 全书三，P113[例 例12、设uf ),f有二阶连续偏导数，

2u 分析：由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法全书一，P140[例5]；全书二，P149[例13若函数zfx,y满足2zfy(x,1x1,fx,y)等

2fx,1)x

y2(x1)yy2(x1)y

y2(x1)yy2(x1)y2答案全书三，P116[例14、设ufx,yxyz，函数zzx,yfgxuyz z

zg(xyzt)dtz解：

vxyzt, g(xyzt)dt

g(v)dvzxy xyzxy

g(v)dv

xyz 两边对x求偏导 g(z)z yg(xy)exyzy(zx yg(xy) yzexy z xg(xy)xzexy g(z)xyexy g(z)xyexy u f fy(zxz),u f fx(z yz

xuyu xfyf 全书一，P141[例7]；全书二，P150[例7]；全书三，P120[例15、已知(axy3y2cosx)dx(1bysinx3x2y2为某一函数fx,y) bycosx6xy2比较系数a2b

2ycos全书一，P142[例12]；全书二，P153[例15]；全书三，P118[例2u 2u 2u例16、设函数uf(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式 0a，b的值，使等式在变换xay,xby

2u0

多元函数的极值与最会求二元函数的极值会用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值会求简单多元函数的最大值和最小值会解决简单的应用问题考题形1、二元函数的极抽象函具体函显函数zfx,y隐函数Fx,yz)0zfx,y3）函数未知，根据已知先求出z f(x,y)2、多元函数的条件极值(最值日乘数3、有界闭区域上多元连续函数的最4、实际问设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内且有一阶及二阶连续偏导数，又f′x(x0,y0)=0,f′y(x0,y0)=0，令Afxx(x0,y0),Bfxy(x0,y0),Cfyy(x0,y0则（1）B2-AC>0时，(x0,y0)不是极值（2）B2-AC<0时，(x0,y0)为极值且当A<0时,(x0,y0)为极大值点,A>0时，(x0,y0)为极小值(3)B2-AC=0时，(x0,y0)是否为极值点待定2 日乘数zfx,y在条件x,y0下的可能极值点，先令Fx,yfx,yx, ，解方程组Fxfxx,yxx,yFfx,yx,y0x,y Fx,y则其x，y就是可能极值点的坐标。3、有界闭区域上连续函数的最zfxy在有界闭区域D上连续，边界曲线为x,y全书二,P163[例4]；全书三,P122[例1.已知函f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且

f(x,y)

1,x0, (x2y2 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. 点(0,0)是f(x,y)的极大值点

点(0,0)是f(x,y)的极小值点

根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点全书一,P150[例2]；全书二,P162[例2]；全书三,P125[例例2、设f(x,y)有二阶连续偏导数 g(x,y)f(exy,x2y2),(x1)2y2f(x,y)1x(x1)2y2证明g(x, 在(0,0)取得极值,判断此极值是极大值还是极小值,并求出此极值全书二,P162[例3.zx4y4x22xyy2全书三,P123[例4.z=z(x,y)x26xy10y22yzz218z=z(x,y的极值点与极值【解x26xy10y22yzz2180两边分x,y求偏导2x6y2yz2zz 6x20y2z2yz2zz z

x3y x3令z

得3x10yz

zx

x将上式代入x26xy10y22yzz2180,可得y

或y2x6y22x6y2yz2zz 2z z 2z6x20y2z2yz2zz06x20y2z2yz2zz0 2z 62x2yxy2x 2z 方程②y 2z z 2z 202y2y2yy22y 2zy2 2A

1 B 2

2

5 C C

(9,3,3)

xy

(9,3,3)

y2

(9,3,3) B2AC10A10点(9，3)处取极小值为z(93) 同理，点(-9，-3)z(93)全书一,P149[例极大值为全书三,P123[例6.已知函fx,yfxy(x,y4xy,fx(x,04x,f(0yylnfx,y的极值全书一,P152[例5]；全书二,P164[例6]；全书三,P125[例7求函数ux2y2z2zx2y2xyz4下的最大和最小值解：Fx,yz)x2y2z2(zx2y2xyz4)F(x,y,z)2y2y

x2,x Fz(x,y,z)2z

y2,yF(x,y,z)zx2y2

z z (2)2(2)282 121222 全书三,P124[例8、x22xy3y28y0xy8解：椭圆上任意一点P(xy到直xy