矩阵的特征值和特征向量总结

2023/5/171第三章矩阵的特征值与特征向量§1方阵的特征值与特征向量§2

矩阵的对角化2023/5/172第1节方阵的特征值与特征向量2023/5/173定义3.13.1.1

特征值与特征向量的基本概念

2023/5/174例1解是不是2023/5/175命题1命题2命题3矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的。2023/5/176它有非零解的充分必要条件是即怎样求矩阵A的特征值与特征向量？2023/5/177矩阵的特征方程和特征多项式定义3.2A的特征方程A的特征多项式A的特征矩阵特征方程的根称为A的特征根，也称为A的特征值。2023/5/178求矩阵的特征值与特征向量的步骤求矩阵A的特征方程2.求特征方程的根，即特征值3.对每个特征值解方程组求出该齐次线性方程组的通解，除去0向量便得属于的全部特征向量。2023/5/179例2：求矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为2023/5/1710得基础解系得基础解系2023/5/1711练习:求下列矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为即对应的特征向量可取为2023/5/1712对应的特征向量可取为2023/5/17133.1.2特征值与特征向量的性质

定理1定理2推论若n阶方阵有互不相同的特征值则其对应的特征向量线性无关。2023/5/1714定理32023/5/1715(2)由于2023/5/1716定理4设A是n阶方阵，是的特征值.若为A

的特征值，则2023/5/17172023/5/1718例3设A是一个三阶矩阵，1，2，3是它的三个特征值，试求（1）A的主对角线元素之和（2）解的特征值依次为2023/5/1719例4试证n阶矩阵A是不可逆(奇异)矩阵的充要条件是A中至少有一个特征值为0。证明因为为A的特征值）所以的充分必要条件是至少有一个特征值为零。2023/5/1720第2节矩阵的对角化2023/5/1721定义3.3

设A和B为n阶矩阵,如果存在n阶可逆矩阵P，使得则称A相似于B，或说A和B相似(similar),

记做AB.性质（1）反身性A相似于A（2）对称性A相似于B，可推出B相似于A（3）传递性A相似于B，B相似于C，可推出

A相似于C。3.2.1相似矩阵及其性质

～2023/5/1722容易证明相似矩阵的如下性质：（1）反身性，即（2）对称性，即如果则,（3）传递性，即如果,则,证明证明证明2023/5/1723方阵的迹定义3.4方阵的迹是它的主对角线上的元素和例5tr(A)=2+(-3)+0=-1性质：(1)tr(A+B)=tr(A)+tr(B)(2)tr(AB)=tr(BA)(性质3.1)2023/5/1724性质3.1(2)设

则证明

故2023/5/1725相似矩阵的性质若A和B相似，则A和B有相等的秩。2.方阵A和B有相等的行列式。(性质3.2)证明（1）2023/5/17263.方阵A和B有相等的迹。(性质3.2)4.方阵A和B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。TH5推论如果矩阵A相似于一个对角矩阵，则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值。2023/5/1727易证对角形矩阵则是的全部特征值。2023/5/1728定理3.6n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。充分性3.2.2矩阵的对角化

2023/5/1729必要性设A相似于对角矩阵即存在可逆矩阵B，使得由B可逆便知：都是非零向量，因而都是A的特征向量，且线性无关。2023/5/1730推论如果n阶矩阵A的特征值互不相同则A相似于对角矩阵定理3.7n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重特征值,对应着个线性无关的特征向量.2023/5/1731相似变换若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵2023/5/1732例矩阵能否相似于对角阵?解A的特征方程为得特征值为2023/5/1733对于解方程组解方程组可求得特征向量是对应于的全部特征向量.不存在两个线性无关的特征向量.由定理可知A不能与对角阵相似.因为是二重根,而对应于特征根2023/5/1734将一个方阵A对角化,可以按P88如下步骤进行:2023/5/1735注(1):若A的全部线性无关特征向量个数小于n个,则不能对角化,此时A只能化为若当标准形.2023/5/1736例

用相似变换化下列矩阵为对角阵解:A的特征方程为特征值为对于可求得特征向量对于可求得线性无关的特征向量这三个特征向量线性无关2023/5/17372023/5/1738练一练用相似变换化矩阵为对角形.2023/5/1739应用:利用对角化计算矩阵的幂2023/5/1740设解:A的特征方程为特征值为对应的特征向量为对应的特征向量为例72023/5/1741练习已知

问满足什么条件时，A可对角化？解首先

所以，A的特征值为2（重数为1）和1（重数为2）。2023/5/1742

考虑A的特征值1。对方程组，仅当秩时，才能使基础解系含2个解向量。又故。

所以，当时，