对坐标的曲面积分

对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质有向曲面：通常我们遇到的曲面都是双侧的.例如由方程z=z(x,y)表示的曲面分为上侧与下侧.设n=(cosa,cosp,cosy)为曲面上的法向量，在曲面的上侧cosy>0,在曲面的下侧cosy<0.闭曲面有内侧与外侧之分.类似地，如果曲面的方程为y=y(z,x),则曲面分为左侧与右侧，在曲面的右侧cosp>0,在曲面的左侧cosp<0.如果曲面的方程为x=x(y,z),则曲面分为前侧与后侧，在曲面的前侧cosa>0,在曲面的后侧cosa<0.设刀是有向曲面.在刀上取一小块曲WAS,把AS投影到xOy面上得一投影区域，这投影区域的面积记为(Aq).假定AS上各点处的法向量与z轴的夹角y的余弦cosy有相同的符xy号(即cosy都是正的或都是负的).我们规定AS在xOy面上的投影(AS)为xy”(Aq) cosy>0(AS)=(Aq) cosy<0xy xy0 cosy三0其中cosy三0也就是(AQ)xy=0的情形.类似地可以定义AS在yOz面及在zOx面上的投影(AS)yz及叫流向曲面一侧的流量：设稳定流动的不可压缩流体的速度场由v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))给出Q是速度场中的一片有向曲面，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)都在工上连续，求在单位时间内流向刀指定侧的流体的质量，即流量①.如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域,且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v,又设n为该平面的单位法向量，那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为VI的斜柱体.当(v仰)=°<与时，这斜柱体的体积为AIvIcosO=Av-n.当(v/n)=2时，显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量①为零，而Av-n=0,故①=Av-n;冗当(v,w)>—时,Av-n<0,这时我们仍把Av-n称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量，它表示流体通过闭区域A实际上流向-n所指一侧，且流向-n所指一侧的流量为-Av--n.因此，不论(v/n)为何值，流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Av-n.把曲面工分成n小块:AS2,--•,ASn(ASi同时也代表第i小块曲面的面积).在工是光滑的和v是连续的前提下，只要AS,的直径很小，我们就可以用AS”任一点(©)处的流速vWn,qwn,s+g,n,©沪R®n,Gk代替as,上其它各点处的流速，以该点©q,G处曲面工的单位法向量ni=cosa.i+cosp,j+cosy,k代替AS.上其它各点处的单位法向量.从而得到通过AS.流向指定侧的流量的近似值为vi-niASi(i=1,2,---,n)于是，通过刀流向指定侧的流量n①v-nASiiii=1=£［P(g,n.,C.)cosa+Q(g,q，匚.)cosP.+R(g,n.,C.)cosy」AS.,iiiiiiiiiiiii.=1但 cosa.-AS~(AS.),cosp.-AS.~(AS.),cosy.-AS~(AS.),...yz...zx...xy因此上式可以写成①〜酋P(g,n.,c.)(AS.)+QE,n.,C.)(AS.)+R(g,n.，匚.)(as.)］；....yz....zx....xy.=1令尢TO取上述和的极限，就得到流量①的精确值.这样的极限还会在其它问题中遇到.抽去它们的具体意义，就得出下列对坐标的曲面积分的概念.提示：把AS.看成是一小块平面，其法线向量为叫则通过AS.流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积.此斜柱体的斜高为叫，高为1卩胆05仇，人叫)=卩叫体积为v.-n.AS..因为n.FCossi+cosp.j+cosyk，v=唯n⑺才免,nq)i+QG，nq)j+R(^.,nq)k，卩严郃.=［戶(£,n.,Ocoss+QCn.,Ocosp+RCn.,OcosylAS.，cosa.-AS-(AS.)，cosp.-AS-(AS.)，cosy.-AS-(AS.)，yzzxxy所以v.-nQs.-PG，n.,SEyz+QG，n.,3(竺)『脏.，n.,3(竺儿•对于刀上的一个小块5显然在At时间内流过Q的是一个弯曲的柱体.它的体积近似于以Q为底，而高为(IVIAt)cos(V,An)=V-nAt的柱体的体积:VnAtAS,这里n=(cosa,cosp,cosy)是q上的单位法向量,AS表示Q的面积.所以单位时间内流向q指定侧的流体的质量近似于V-nAS~(P(x,y,z)cosa+Q(x,y,z)cosp+R(x,y,z)cosy)AS.如果把曲面工分成n小块Q(i=1,2,•••,n),单位时间内流向工指定侧的流体的质量近似于屮£{P(x.,y.,z.)cosa.+Q(x,,y.,z.)cosp.+R(x.,y.,z.)cosy}AS.iiiiiiiiiiii.=1按对面积的曲面积分的定义,卩=B*{P(x,y,z)cosa+Q(x,y,z)cosP+R(x,y,z)cosy}dS=BV・ndS舍去流体这个具体的物理内容,我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念.nlim工R(g,q.，匚,)(AS.)ixy定义设z为光滑的有向曲面，函数R(x,y,z)在z上有界.把z任意分成n块小曲面AS.XAS.同时也代表第.小块曲面的面积).在xOy面上的投影为(AS.)xy,(.q,匚nlim工R(g,q.，匚,)(AS.)ixy九tO.=]y的曲面积分:，记作JJR(x,y,z)dxdy=lim工R(g.,q,匚.)(AS.)ixy总存在，y的曲面积分:，记作JJR(x,y,z)dxdy=lim工R(g.,q,匚.)(AS.)ixy九to.=]类似地有JJP(x,y,z)dydz=lim工P(g.,q,匚.)(AS.)iiiiyzz XtO.=1JJq(x,y,z)dzdx=S严.,q人円)其中R(x,y,z)叫做被积函数,z叫做积分曲面.定义设z是空间内一个光滑的曲面,n=(cosa,cosp,cosy)是其上的单位法向量,V(x,y,

3z)=(P(x，们定义y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))是确在Z上的向量场.如果下列各式右端的积分存在，我JJP(x,y,z)dydz=JJP(x,y,z)cosadS,JJQ(x,y,z)dzdx=JJQ(x,y,z)cos卩dS,JJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z)cosydS.并称JJP(x,y,z)dydz为P在曲面工上对坐标y、z的曲面积分，J!Q(x,y,z)dzdx为Q在曲面工上对坐标z、x的曲面积分，JJR(x,y,z)dxdy为R在曲面工上对坐标y、z的曲面积分.其中P、Q、R叫做被积函数,Z叫做积分曲面.以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分.对坐标的曲面积分的存在性：对坐标的曲面积分的简记形式:在应用上出现较多的是JJP(x,y,z)dydz+JJQ(x,y,z)dzdx+JJR(x,y,z)dxdyzzz=JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy.z流向Z指定侧的流量①可表示为①=JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy.z一个规定：如果Z是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在Z上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和.对坐标的曲面积分的性质：对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质.例如⑴如果把z分成z1和爲，贝yJJPdydz+Qdzdx+Rdxdyz=JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy+JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy.z1zz1⑵设工是有向曲面，-工表示与刀取相反侧的有向曲面，贝yJJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=-JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy.-z z这是因为如果n=(cosa,cosp,cosy)是Z的单位法向量，贝J-E上的单位法向量是-n=(-cosa,-cosp,-cosy).JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=-JJ{P(x,y,z)cosa+Q(x,y,z)cosP+R(x,y,z)cosy}dS=-JJPdydz+Qdzdx+Rdxdyz二、对坐标的曲面积分的计算法将曲面积分化为二重积分：设积分曲面Z由方程z=z(x,y)给出的,Z在xOy面上的投影区域为D,函数z=z(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，被积函数R(x,y,z)在Z上连续，则xy xy有JJR(x,y,z)dxdy=±JJR[x,y,z(x,y)]dxdy,

zDxy其中当Z取上侧时，积分前取“+”；当Z取下侧时，积分前取“-”这是因为,按对坐标的曲面积分的定义,有—t …ixyJJR(x,y,z)dxdy=lim为R(Jq•，匚i)(ASi)—t …ixyz当Z取上侧时,cosy〉0,所以(AS.)=(Aq.).TOC\o"1-5"\h\zixy ixy又因(£,q,◎是z上的一点，故©=z(£,q).从而有为R(g.,q,匚.)(AS.) ,z(g.,q.)](AG.).... .xy .. .. .xyi=1 i=l令尢TO取上式两端的极限，就得到JJR(x,y,z)dxdy=JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.zDxy同理当刀取下侧时，有JJR(x,y,z)dxdy=一JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.为 Dxy

—.=1 …ixy因为当刀取上侧时,cospO,(AS.)xy=(Aa)xy.当(£,q,◎空时,孑進,q).从而有JJR(x,y,z)dxdy=lim昱R(Jq,匚.)(AS—.=1 …ixy=limXR[g.,q,z(g.,q)](Aq.)=JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.—o — — .xyi=1 Dxy同理当Z取下侧时，有JJR(x,y,z)dxdy=一JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.zDxy11TOC\o"1-5"\h\z这是因为n=(cosa,cosp,cosy)=±— {—z,—z,1},cosy=^ ,J1+z2+z2 xy J1+z2+z2xy xydS=J1+z2+z2dxdy,xyJJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z)cosydS=±JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.z z Dxy类似地，如果Z由x=x(y,z)给出，则有JJP(x,y,z)dydz=±JJP[x(y,z),y,z]dydz.ZDyz如果Z由y=y(z,x)给出,则有,z]dzdx.JJQ(x,y,z)dzdx=±JJ,z]dzdx.zx应注意的问题：应注意符号的确定.例1.计算曲面积分JJx2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中z是长方体O的整个表面的Z外侧,O=((x,y,z)IO<x<a,0<y<b,0<z<c).解：把o的上下面分别记为z1和z2；前后面分别记为z3和z4；左右面分别记为z5和Z6.Z］：z=c(0<x<a,0<y<b)的上侧；Z2：z=0(0<x<a,0<y<b)的下侧；

刀3：x=a(0<y<b,0<z<c)的前侧;

力4：x=0(0<y<b,0<z<c)的后侧;刀5：y=0(0<x<a,0<z<c)的左侧.

力6：y=b(0<x<a,0<z<c)的右侧;除工3、%外，其余四片曲面在yOz面上的投影为零，因此JJx2dydz=JJy2dydz+JJx2dyd=JJa2dydz-ffOdydz=aibc.s3 s3 s4 DyzDyz类似地可得JJy2dzdx=b2ac，JJz2dxdy=c2ab.ss于是所求曲面积分为(a+b+c)abc.其中s是球面x2+其中s是球面x2+y2+z2=l外侧在x>0,y>0的部分.s解把有向曲面s分成以下两部分：S1:Z=J1-x2-y2(x>0,y>0)的上侧，s2:z=-Jl-X2-y2(x>0,y>0)的下侧.S,和S2在xOy面上的投影区域都是D:x2+y2<1(x>0,y>0).1 2 xy于是JJxyzdxdy=JJxyzdxdy+JJxyzdxdys2s1Dxy1-xs2s1Dxy1-x2-y2)dxdyDxy215.=2JJxyJl-x2-y2dxdy=2J2d0J1r2sin0cosO\；'1-r2215.Dxy三、两类曲面积分之间的联系设积分曲面s由方程z=z(x,y)给出的，S在xOy面上的投影区域为D,函数z=z(x,y)xy在Dxy上具有一阶连续偏导数，被积函数R(x,y,z)在S上连续.如果S取上侧，则有JJR(x,y,z)dxdy=JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.sDxy

另一方面，因上述有向曲面刀的法向量的方向余弦为TOC\o"1-5"\h\z-z 。一z 1cosa=tx^=,cosB=y^=,cosy= ,J1+z2+z2 1+z2+z2' J1+z2+z25xy 'xy xy故由对面积的曲面积分计算公式有JJR(x,y,z)cosydS=JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.zDxy由此可见，有JJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z)cosydS.如果z取下侧，则有JJR(x,y,z)dxdy=一JJR[x,y,z(x,y)]dxdy.zDxy但这时cosy= 一1 ,因此仍有J1+z2+z2xyJJR(x,y,z)dxdy=JJR(x,y,z)cosydS,zz类似地可推得JJP(x,y,z)dydz=JJP(x,y,z)cosadS,JJQ(x,y,z)dzdx=JJP(x,y,z)cosBdS.zz综合起来有zzzz综合起来有zz其中cosa、cosB、cosy是有向曲面Z上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式：JJA・dS=JJAndS或JJA・dS=JJAdSnz z z z其中A=(P,Q,R),n=(cosa,cosB,cosy)是有向曲面Z上点(x,y,z)处的单位法向量,dS=ndS=(dydz,dzdx,dxdy)