常见递推数列通项的九种求解方法

14常见递推数列通项的九种求解方法常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一：（可以求和）累加法例1、在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。解析：上述个等式相加可得：∴评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。【类型一专项练习题】1、已知，（，求。2、已知数列，=2，=+3+2，求。3、已知数列满足，求数列的通项公式。4、已知中，，求。5、已知,,求数列通项公式.6、已知数列满足求通项公式？7、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式8、已知数列满足，求数列的通项公式。9、已知数列满足，，求。10、数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（=1\*ROMANI）求的值；（=2\*ROMANII）求的通项公式．11、设平面内有n条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则；当时，（用表示）．答案:1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.(1)2(2)11.(1)5(2)类型二：（可以求积）累积法例1、在数列中，已知有，()求数列的通项公式。解析：又也满足上式；评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。【类型二专项练习题】已知，()，求。2、已知数列满足，，求。3、已知中，，且，求数列的通项公式.4、已知，，求。5、已知,,求数列通项公式.6、已知数列满足，求通项公式？7、已知数列满足，求数列的通项公式。8、已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项9、设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a-na+an+1·an=0(n=1,2,3,…)，求它的通项公式.10、数列的前n项和为，且，＝，求数列的通项公式.答案：1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.类型三：待定常数法可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。例1在数列中，，当时，有，求数列的通项公式。解析：设，则，于是是以为首项，以3为公比的等比数列。【类型三专项练习题】1、在数列中，，，求数列的通项公式。2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式3、已知数列{a}中，a=1，a=a+1求通项a．4、在数列(不是常数数列)中,且,求数列的通项公式.5、在数列{an}中，求.6、已知数列满足求数列的通项公式.7、设二次方程x-x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用表示a；（2）求证：数列是等比数列；（3）当时，求数列的通项公式8、在数列中，为其前项和，若，，并且，试判断是不是等比数列？答案：1.2.3.4.5.6.7.(1)(3)8.是类型四：可将其转化为（*）的形式，列出方程组,解出还原到（*）式，则数列是以为首项，为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出。例1在数列中，，，且求数列的通项公式。解析：令得方程组解得则数列是以为首项，以2为公比的等比数列评注：在中，若A+B+C=0,则一定可以构造为等比数列。例2已知、,,求解析：令，整理得；两边同除以得，，令，令，得∴，故是以为首项，为公比的等比数列。，即，得【类型四专项练习题】1、已知数列中，,,，求。2、已知a1=1，a2=，=-,求数列｛｝的通项公式.3、已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。4、数列：，，求数列的通项公式。答案：1.2.3.(3)4.类型五：（且）一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。例1设在数列中，，求数列的通项公式。解析：设展开后比较得这时是以3为首项，以为公比的等比数列即，例2在数列中，，求数列的通项公式。解析：，两边同除以得是以=1为首项，2为公差的等差数列。即在数列中，，求数列的通项公式。解析：在中，先取掉，得令，得，即；然后再加上得；两边同除以，得是以为首项，1为公差的等差数列。，评注：若中含有常数，则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。例4已知数列满足，求数列的通项公式。解析：在中取掉待定令，则，；再加上得，，整理得：，令，则令；即；数列是以为首项，为公比的等比数列。，即；整理得类型5专项练习题：1、设数列的前n项和，求数列的通项公式。2、已知数列中，点在直线上，其中令求证：数列是等比数列；求数列的通项；3、已知，，求。4、设数列：，求.5、已知数列满足，求通项6、在数列中，，求通项公式。7、已知数列中，,，求。8、已知数列｛a｝，a=1,n∈N，a=2a＋3n,求通项公式a．9、已知数列满足，求数列的通项公式。10、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式11、已知数列满足,求.12、已知数列满足，，求数列的通项公式。13、已知数列满足，求数列的通项公式。14、已知，，求。15、已知中，，，求.16、已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。答案：1.2.(2)3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(3)类型六：（）倒数法已知，，求。解析：两边取倒数得：，设则；令；展开后得，；；是以为首项，为公比的等比数列。；即，得；评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。【类型六专项练习题】：1、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。2、已知数列{}满足时，，求通项公式。3、已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。4、设数列满足求5、已知数列{}满足a1=1，，求6、在数列中，，求数列的通项公式.7、若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．答案：1.2.3.4.5.6.7.类型七：已知数列前n项和.求与的关系；（2）求通项公式.解析：时，，得；时，；得。（2）在上式中两边同乘以得；是以为首项，2为公差的等差数列；；得。【类型七专项练习题】：1、数列{an}的前N项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn.求数列{an}的通项an。2、已知在正整数数列中，前项和满足，求数列的通项公式.3、已知数列{an}的前n项和为Sn=3n–2,求数列{an}的通项公式.4、设正整数{an}的前n项和Sn=，求数列{an}的通项公式.5、如果数列{an}的前n项的和Sn=,那么这个数列的通项公式?6、已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？答案