船舶结构力学虚力原理的应用

第十九讲虚力原理的应用对应教材§6-6和§6-6本讲主要内容2023/5/17船舶结构力学讲义-虚力原理1一、虚力原理二、余位能驻值原理三、应力能原理四、单位载荷法五、最小功原理六、小结与练习一、虚力原理2023/5/172原理表述结构在外力作用下保持平衡；结构受到的外力发生虚变化（虚力：不破坏静力平衡和静力边界条件，且使结构变形协调）；外力的虚余功必等于结构的虚余能。公式表述虚余功（外力虚变化用δP表示）：虚余能（虚力对应的虚应力用δσ表示）：虚力原理：船舶结构力学讲义-虚力原理一、虚力原理2023/5/173虚力原理证明 ——以受分布载荷两端自由支持梁为例。必要条件：若结构变形协调，则δW*=δV*。外力虚变化δq，内力虚变化δM和δN。虚力满足静力平衡条件：虚力满足静力边界条件：若结构变形协调，则需符合变形协调条件：梁的挠度连续：梁的几何边界条件：q(x)l,Iδv船舶结构力学讲义-虚力原理一、虚力原理2023/5/174虚力原理证明 ——以受分布载荷两端自由支持梁为例。必要条件：若结构变形协调，则δW*=δV*。根据梁的变形协调条件构造等式：对其中微分项进行积分：带入构造等式并化简：q(x)l,Iδv船舶结构力学讲义-虚力原理命题得证一、虚力原理2023/5/175虚力原理证明 ——以受分布载荷两端自由支持梁为例。充分条件：若δW*=δV*，变形协调和几何边条满足。外力虚变化δq，内力虚变化δM和δN。虚余功为：虚余能为：虚力原理表示为：船舶结构力学讲义-虚力原理q(x)l,Iδv二、余位能驻值原理2023/5/176余位能驻值原理说明余位能驻值原理与位能驻值原理对偶。虚力原理的应用，等效于力法中的变形连续条件。假设外载荷不发生变化，常用于计算结构的支座反力。弹性体稳定平衡时，总余位能将取极小值。余位能驻值原理内容弹性结构的平衡状态对应于总余位能取驻值。总余位能Π*定义：

结构余能V*与反力余位能-U*的和：Π*=V*-U*

反力余位能-U*：船舶结构力学讲义-虚力原理支座处位移支座反力二、余位能驻值原理2023/5/177余位能驻值原理公式令支座反力有虚变化δRi：则支反力所做的虚余功为：根据虚力原理：余位能驻值原理公式：

对比位能驻值原理公式：

对于不能发生位移的支座：

总余位能等于余能：船舶结构力学讲义-虚力原理二、余位能驻值原理2023/5/178余位能驻值原理算例利用余位能驻值原理解静不定桁架。解：长度为l截面为A的拉杆的余能：该桁架杆长如图，截面积均为A，各杆的余能为：利用节点力的平衡条件：桁架的余能为：ΔlPθθ123PTT′T

′船舶结构力学讲义-虚力原理二、余位能驻值原理2023/5/179余位能驻值原理算例利用余位能驻值原理解静不定桁架。解：结构没有发生位移的支座，桁架的总余位能为：根据余位能驻值原理：解得杆的拉力：ΔlPθθ123PTT′T

′船舶结构力学讲义-虚力原理二、余位能驻值原理2023/5/1710余位能驻值原理算例利用余位能驻值原理解静不定桁架。讨论：由余位能驻值原理：得到的公式：分析各项含义：变形协调方程：ΔlPθθ123PTT′T

′船舶结构力学讲义-虚力原理三、应力能原理2023/5/1711应力能原理若发生力的虚变化δPi，余能的变分形式为：

根据虚力原理：

比较两个等式：

得到应力能原理公式：卡氏第二定律若结构仅力Pk变化，其余的力保持不变：对于线性体系，应变能等于余能：V*=V船舶结构力学讲义-虚力原理三、应力能原理2023/5/1712最小余能原理和最小功原理结构余能是外力及多余约束反力的函数。

内约束：使结构位移与支座位移协调的约束。

外约束：使结构位移为零的约束。根据应力能原理，对外约束有：结构余能可分为梁的余能和弹性支座余能：

对内约束X2有：P1P2PnX1Xr船舶结构力学讲义-虚力原理用于计算静不定结构多余约束反力。X2Δ2三、应力能原理2023/5/1713最小余能原理和最小功原理最小余能原理：

稳定平衡的静不定结构；

结构满足外约束为零且内约束处位移协调；

多余约束反力使结构的余能取最小值。最小余能原理公式：最小功原理：

线性体系中结构应变能对约束反力的偏导数等于零。最小功原理公式：船舶结构力学讲义-虚力原理应变能V应使用力的表达式用于计算静不定结构多余约束反力。四、单位载荷法2023/5/1714单位载荷法原理虚力原理表达式为： 假设结构某处有一单位虚力： 单位虚力引起的虚应变为： 单位位移法的公式表述为：单位载荷法可以用来求结构某一点的位移。莫尔积分对于弯曲梁，由单位载荷法可以求得梁上某点的位移：

M为真实外力引起的弯矩；M0为在i处单位外力引起的弯矩。船舶结构力学讲义-虚力原理五、最小功原理的例题2023/5/1715例一：静不定曲杆刚架结构。解：假设曲杆可以用杆的弯曲应变能公式：根据最小功原理：多余约束反力为水平方向力H：设直杆段局部坐标s1

，杆件断面弯矩为：且有：HHR=P/2RPPrds1船舶结构力学讲义-虚力原理五、最小功原理的例题2023/5/1716例一：静不定曲杆刚架结构。解：设曲杆段局部坐标s2，杆件断面弯矩为：且有：对于整个刚架：求得水平力H为：步求杆件断面弯矩M(s1)和M(s2)；最大弯矩为拱形的顶点处：HHR=P/2RPPrds1s2φ船舶结构力学讲义-虚力原理rq五、最小功原理的例题2023/5/1717例二：受均布压力作用的等断面圆环。解：圆环对称，截面无剪力。取半环，该处截面弯矩M0和轴向力T。由静力平衡：圆环任意截面弯矩为：根据最小功原理：故圆环截面无弯矩：TTM0M