结构动力学第五章二自由度系统

第五章二自由度系统§5-1两自由度系统运动微分方程移项得：采用矩阵符号，上面的方程可写成紧凑的格式：式中：、和分别为原结构的质量阵、阻尼阵和刚度阵，而和分别为外激励向量和位移向量。

对前面图示系统，有§5-2无阻尼系统的自由振动对无阻尼系统的自由振动，其运动微分方程为：令x1(t)＝Ｘ1Sin(ωt+φ)，x2(t)＝Ｘ2Sin(ωt+φ)代入微分方程，并消去Sin(ωt+φ)，得或写为更一般的形式：要使{Ｘ}有非零解，则其系数行列式必须等于零，即此式称为特征方程。若[M]、[K]为n阶矩阵，则特征方程展开后，可得ω2的n次方程。对于两自由度系统，上式成为：可求出ω2的2个根：或两自由度系统具有两个固有频率ω1与ω2，说明系统具有两种可能的同步运动，每个同步运动对应一个固有频率，即解有下列两个形式：从数学上讲，可正可负，但从物理意义来看，必定为正，否则系统不是振动运动，且的平方根也为正，因为负频率是没有意义的。为正也可从上式中看出。频率ω1：频率ω2：将ω1、ω2分别代入式(*)，可得X11、X21、X12、X22的幅值比：系统的运动在一般情况下是这两个同步运动的叠加：四个积分常数X11、X12、φ1和φ2由初始条件确定。

上式等号右边的两个向量{u}1与{u}2均是由两个无量纲的元素组成，可以确定系统的振动型态，称为系统的模态向量或振型，且分别称为第一主振型和第二主振型，它们只与系统特性有关，而与初始条件无关。{u}1与ω1称为第一模态，{u}2与ω2称为第二模态。结构振动分析中求模态向量{u}i与固有频率ωi进而利用叠加原理求系统相应，又称为模态分析。而于是

可以证明，振幅比μ1>0，μ2<0，说明当系统以频率ω1振动时，M1与M2的运动相同，以频率ω2振动时，M1与M2的运动相反。一般情况下，两自由度系统自由振动是两个自然模态振动的叠加，即是两个不同频率的简谐运动的叠加，其结果一般不再是简谐运动。两自由度系统有阻尼强迫振动运动微分方程为：代入上式，得：§5-3两度系统的强迫振动动力吸振器[Z(ω)]称为阻抗矩阵，其元素称为机械阻抗。对于两自由度系统所以式中利用了对称关系Z12＝Z21。现考虑图示无阻尼情况，系统运动微分方程为：得特征矩阵方程为：可解得：

可以看出，若k2＝ω2m2，则Ｘ1＝0，即主质量的振动消失。因此可以适当选取k2和m2

，就能达到吸振的效果(或称反共振)，此时有：Ｘ2=-F1/k2x2(t)=-F1/k2Sinωt可以看到，(附加的)系统m2―k2产生一个力k2x2(t)=-F1Sinωt与激励力相抵消。这就是动力吸振的基本原理，m2―k2为动力吸振器。

然而，虽然加上吸振器可减小物体振动，但却使原来的一个自由度系统变成了两个自由度系统，从而有两个固有频率，只要激励频率与其中一个固有频率相等时，系统就要发生共振。这在激励频率变化范围较大时，吸振器是起不到减振效果的。此外，可采用阻尼吸振器进行减振，这里不再介绍。图示系统，取质心c位移x1和刚杆转角θ为广义坐标，则有：§5-4广义坐标与坐标耦合此方程称为弹性耦合或静力耦合，因为把x1和θ联系起来的是弹簧力。

若刚性杆在铅垂方向平动时，取刚性杆在铅垂方向平动时弹簧k1和k2的合力作用点o的位移x2和刚杆转角θ为广义坐标，利用动静法（达朗贝尔原理）有：点o是当刚性杆在铅垂方向平动时，弹簧k1和k2的合力作用点，即满足：此方程称为惯性耦合或动力耦合（式中e为质心c到点o的距离）。若取刚杆的一个端点位移x3和刚杆转角θ为广义坐标，则质量阵和刚度阵都不是对角阵，此时既是静力耦合又是动力耦合。可见，凡刚度矩阵为对角阵，则静力解耦；凡质量矩阵为对角阵，则动力解耦。显然，方程的解耦与否与坐标的选取有关，那么是否存在全部解耦的坐标？前已给出系统的运动：§5-5解耦与主坐标这实际上是两组坐标之间的变换关系（上节的例子从静力耦合变为动力耦合，也是坐标变换），变换矩阵为：考虑到y1(t)只包含ω1的简谐波，y2(t)只包含ω2的简谐波，可以想象，若用坐标y1与y2来描述系统的运动，则其运动微分方程必定是解耦的[注]，我们称y1与y2为主坐标。[注]解耦的微分方程的解为简谐运动：反过来，只包含ω1的简谐波的运动微分方程必定为解耦形式：[注毕]利用主坐标变换，我们将可得到：或写成矩阵形式：主坐标解y1与y2求出后，即可利用{x}＝[U]{y}求出系统的物理坐标解。（用第二节的例子说明此过程）《例1》求图示系统固有频率和振型。解：或令x1(t)＝Ｘ1Sin(ωt+φ)，x2(t)＝Ｘ2Sin(ωt+φ)代入微分方程，并消去Sin(ωt+φ)，得第一振型：将ω1和ω2分别代入式（*）得（只需代入其中一个式子）：要使{Ｘ}有非零解，则其系数行列式必须等于零，即可以求得：第二振型：《例2》求图示工系统固必有频率镜和振型满。解：叛运动瞒微分弃方程永为特征炒方程台：可以求来得：‘拍’现鸣象：系统座响应衫为：当初始条件为其中一物有初位移θ0，另一物处于平衡位置，即得：由(4贸)和(2)并考违虑ω1和θ0不等握于零激，得同样，哑由(3)和(1)并考虑ω2和θ0不等楼于零吸，得系统响芦应为：当Δω很小时，此运动可看作频率为