结构动力学章

结构动力学结构力学土木工程与力学学院2010年3月（Ⅱ）授课内容13.2单自由度体系的自由振动13.6一般多自由度体系的自由振动13.1动力计算的特点和动力自由度

13.5两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动

13.7多自由度体系在任意荷载下的强迫振动13.8计算频率的近似法

13.3单自由度体系的强迫振动

13.4两个自由度体系的自由振动

13.1.1动力计算的特点13.1动力计算的特点和动力自由度

13.1.2动力荷载的分类

13.1.3动力计算的自由度13.1.1动力计算的特点

结构动力学：研究结构在动力荷载作用下的动力反应。（1）地震现场录像（2）地震振动台实验录像例如地震荷载：动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变化。（1）Tacoma大桥风毁录像（2）南浦大桥风洞实验录像例如风荷载：13.1.1动力计算的特点荷载的变化周期是结构自振周期5倍以上，则可看成静荷载。用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型铝质模型的自由振动记录有机玻璃模型的自由振动记录用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型有机玻璃模型的自由振动记录铝质模型的自由振动记录动力计算与静力计算的区别：加速度：可否忽略动力计算的内容：1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型2）荷载的变化规律及其动力反应

（自由振动）

（受迫振动）1）牛顿运动定律2）惯性力

√动静法（达朗伯原理）特点：考虑惯性力，形式上瞬间的动平衡！建立微分方程，13.1.1动力计算的特点

？？如何考虑13.1.2动力荷载的分类1）周期荷载2）冲击荷载3）随机荷载P(t)tPt简谐荷载P(t)ttrPP(t)ttrPP(t)tPP(t)t爆炸荷载1爆炸荷载2突加荷载地震波一般周期荷载结构动力学的研究内容和任务：第二类问题：反应分析（结构动力计算）第一类问题：参数（或称系统）识别输入（动力荷载）结构（系统）13.1.2动力荷载的分类输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）输出（动力反应）第三类问题：荷载识别输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第四类问题：控制问题输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）13.1.2动力荷载的分类

求解结构的动力特性；剖析结构动力反应规律，提出结构在动力反应的分析方法；为结构设计提供可靠的依据。本课程主要任务是：

安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最大内力，作为强度设计的依据；舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不超过规范的许可值)。13.1.2动力荷载的分类可靠性设计依据：建筑抗震设计原则结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。”13.1.3动力计算的自由度确定全部质量的位置，所需独立几何参数的个数。

动力自由度：这是因为：惯性力取决于质量分布及其运动方向。mE、A、I、R体系振动自由度为？无限自由度(忽略)三个自由度忽略轴向变形忽略转动惯量自由度为？单自由度m例：简支梁：13.1.3动力计算的自由度集中质量法：将分布质量集中到某些位置。无限

有限例1：2EIEIEIy(a)单自由度y1y2(b)两个自由度例2：θ(t)(c)三个自由度(d)无限自由度13.1.3动力计算的自由度例3：u(t)v(t)例4：确定体系的振动自由度时，一般忽略梁和刚架的轴向变形，和集中质量的惯性矩的影响集中质量法几点注意：

1）体系动力自由度数不一定等于质量数。一个质点两个DOF两个质点一个DOF两个质点三个DOF

2）体系动力自由度与其超静定次数无关。

3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度。m1m2yxxx13.1.3动力计算的自由度改变水平振动时的计算体系3个自由度4个自由度m1m2m32个自由度自由度与质量数

不一定相等y1y2y1y3y2y3y4y1y213.2.1单自由度体系自由振动微分方程建立13.2单自由度体系的自由振动

13.2.2单自由度体系自由振动微分方程解答13.2.3结构的自振周期和自振频率13.2.4阻尼对自由振动的影响一、自由起振动（体屡系在失振动犯过程灰中没马有动厉荷载膝的作厦用，赠只有帆惯性穗力）1.自由振雕动产生鲁原因——体系葡在初诵始时栗刻（t=0）受到凝外界肠的干昏扰。静平衡位置m获得初位移ym获得初速度2.研究康单自贯由度膀体系极的自痰由振贱动重皂要性（1）它柱代表电了许做多实歪际工棕程问俗题，苦如水专塔、虎单层秀厂房饲等。（2）它翼是分秩析多耗自由比度体祖系的开基础些，包络含了穷许多恳基本洲概念妖。自由振恩动反映击了体系狐的固有恭动力特漂性——自振频圾率和振驱型13有.2缺.1单自考由度炒体系劈燕自由磁振动柔微分咽方程逮建立13.述2.1单自洪由度旺体系蕉自由胖振动期微分白方程哥建立以一悬部臂柱为项对象：自由振烟动初始位纱移初始速看度同时公作用y(t)kmym模型2隔离滨体理解两模型中“k”含义mky模型1“弹簧－乞小车”ky建立自幻玉由振动激的微分牺方程:两种矿方法酸：1）刚度法—力的平衡2）柔度法—位移协调

1δ建立寸方程1）刚益度法侨：以质宅量为宅隔离塑体模型2模型1刚度系数k柔度系数δ

概念理解

kyy13罢.2姓.1单自由灶度体系哲自由振必动微分追方程建家立建立自称由振动米的微分即方程:两种乒方法阀：1）刚度法—力的平衡2）柔度法—位移协调

建立库方程2）柔度辱法：M点位移ykyky13.拨2.1单自由往度体系启自由振睬动微分崭方程建画立惯性力建立方拴程1）刚语度法点：mky以质下量为垫隔离粮体13.赠2.1单自啄由度挑体系水自由晚振动告微分针方程对建立建立重方程2）柔度还法：mky以梁洋为对埋象建搁立位飘移方库程ky13.暮2.1单自由棕度体系罗自由振烂动微分体方程建姥立（1）刚椒度法——研究作弓用于被没隔离的蚂质量上但的力，事建立平衡示方程拉，需雕要用苹到刚籍度系丛数。▲方法扬小结（2）柔英度法——研究结美构上质溪点的位桂移，建退立位移丹协调方桐程，需要用披到柔度证系数。刚度帝法柔度映法（3）方法违选择谁较炭简单耐？谁较容易求得。取决于结构的柔度系数刚度系数超静定结构，查表（形常数）静定结构，图乘法求δ顺利搞求解辞刚（雀柔）烟度系象数是锈自由直振动铺分析押的关贸键！原方痕程：通解为谈：由初始条闹件：解为迎：T0y(t)ty0-y0T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T0y(t)t13.偿2.2单自耀由度新体系喘自由爹振动铁微分萌方程纪解答化成单纷项三角六函数的烈形式:解又伴可表徒达为李：将其巧展开报：相比筑较得刊：则：振添幅T0y(t)t自由振梅动总位桶移：初始相悬位角13.舌2.2单自由刑度体系钓自由振屡动微分蒜方程解吴答13始.2其.3结构的寇自振周批期和自婚振频率由式:可知时间经

后，质量完成了一个振动周期。用T表示周愚期，周期函柴数的条执件:y(t+笨T)=y(t)1)自振周烫期计算剖公式：2)自振迈频率斩计算叠公式坝：秒内的振动次数用

表示圆频率：用

表示频率：每秒钟内的振动次数泛美大图厦，60层钢结抄构，南什北方向启的基本锤固有周炉期为2.9浆0秒，大坝洞，40膀0英尺高像的混凝稍土重力司坝的基辟本固有筐周期由世强迫振锋动试验米测得在倚蓄水为310英尺和34闲5英尺艘十分秤别为0.制28拘8秒和0.责30童6秒，金门大贵桥，金门薄大桥今桥墩聚跨距128络0.2米全桥室总长273俘7.4米的悬索桥舞，其横纤向振动旧的基本锅基本固忙有周期躬为18.洪20秒，残竖向库振动翅的基展本基用本固涂有周锦期为10她.9脑0秒，纵梳向振动搂的基本穷基本固威有周期锹为3.8命1秒，欧扭转急振动迈的基霞本基岂本固摧有周结期为4.4馒3秒[例13.抖1]求图宵示梁仙结构哀的自安振周尊期和壳自振匀频率自。mEIl/2l/2l/4解：为欺求柔度值系数，笔在质点上加单量位力1（图乘载法）[思考]比较图称示结构梁的自振啦频率l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm(a)(b女)(c灭)(a誓)<维(b钉)<崇(c形)13鼻.2昏.3结构啊的自扛振周爽期和骂自振县频率[例13铺.2田]图示机通器与基吃础总重躁量W=用60蛾kN，基础跪下土壤的莲抗压刚驼度系数套为cz=0.轰6N/乐cm3，基础茄底面积A=2男0m2。试害求机爷器连仇同基痒础作崭竖向答振动递时振究频率塔。W解:让振鱼动质仅量向阶下单橡位位战移需施加肤的力为洞：k=czA=允0.哨6×凉103×2喇0=12惊×103kN捕/m自振频计率为：13为.2援.3结构出的自巡寿振周改期和墨自振屡频率[例13.辫3]如图抽所示原简支新梁，钢将一择重为W的物体以从高h处自由炭释放，乘落到梁宫的中点哄处，求恭该系统艰的振动迟规律。hyyystW解:自由落定体后，贞梁以一友定的初速度婶上下作蹦自由振脑动，其振域动平鞭衡位井置为yst。设：其中尾：初始条累件：13葱.2钢.3结构宅的自猾振周鞋期和醋自振耀频率1.例如设:

则则振动景规律为号：具体例剩子比较:13.精2.3结构屈的自钩振周废期和饱自振暗频率h13孝.2总.3结构的鞠自振周斑期和自篇振频率2.如图所晚示简支安梁，将碰一重为W的物体谢将物体移无初速扫地放置砌在梁中董点，求咽该系统剩的振动种规律。比较结剂果可知虽，h＝10赠cm时的振呆幅位移响是h＝0的7倍则振嘉动规找律为充：[1]求图示郑结构的滔自振频粮率。LL/2EIk作业LEIEIEILmm[2]列出图灶示结构处的运动擦方程。k2mL/2L/3L/2m思考题P28毁6页13-宜1，13-铺2，13-脱4，13缘瑞-5，13-缠6，13-顷7作业[例13.溜4]求图示匠结构的悟自振频唱率。LL/2EIkL/瓣2kP=1M1图解：画M1图；由M1图求得；由求得。3/213.茅2.3结构的倦自振周北期和自貌振频率[例13.乞5]求图示扛结构的挖频率。解1：是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于结构对称，可取半刚架计算。LEIEIEILmmM图L/2P=1/22L/2EIEIEI13.2.3结构的自振周期和自振频率P=1[例13.枕6]列出梁图示取结构眼的运哲动方肢程。k2mL/2L/3L/2m1k2解：是单自由度体系。以建立位移方程。P=1k121/裕2P=1k124/3k121/L13.妙2.3结构队的自吗振周绒期和匪自振验频率M=113.漆2.4阻尼对植自由振耍动的影奇响mky1)不考虑挂阻尼0y(t)tmky=0c2)考虑多阻尼阻尼是尘客观存狠在的振幅球随时伍间减默小，道这表剃明在幅振动惧过程包中要染产生弃能量炕的损毯耗，外称为阻尼。（1）产滨生阻闹尼的北原因1)结构凯与支匀承之纪间的壳外摩符擦2)材料面之间裂的内眠摩擦3)周围心介质酷的阻支力（2）阻尼笼力的确合定1)与质点细速度成逃正比2)与质壶点速隐度平馋方成担正比3)与质点霜速度无贵关粘滞阻蜜尼y(t)mykykmc有阻攀尼模火型建立督动平酸衡方浮程标准化送得:其中:——称为阻污尼比二阶常此微分方改程可变央为：设特解讽为：特征醋方程避为：解为：（1）令：则代意数方顿程解显：讨论:13得.2朱.4阻尼童对自赴由振廉动的竭影响讨论:小阻尼压、临界得阻尼、时过阻尼的自由毕振动则微分票方程通河解为：也可:tyykyk+1tkT1)是一种属衰减振针动2)对自畏振频级率的溜影响当ξ<0.围2,则0.芦96观<ωr/ω<1在工程由结构问岩题中0.恼01抛<ξ<0叔.1此时氏，阻闪尼的喉影响粉可以担忽略流。讨论:实部初始条件虚部13的.2拉.4阻尼对钢自由振创动的影茫响讨论:阻尼金对自狠由振民动的赢影响1)是一种蜓衰减振尊动讨论:阻尼对校固有振夏动蘋率龙的影响阻尼秆对自催由振浆动衰减旁速率偶的影枯响如图右2)对自振联频率的革影响当ξ<0骨.2翼,则0.碧96绳<ωr/ω<1在工程裹结构问裳题中0.0蚊1<ξ<0迟.1此时迟，阻杜尼的骄影响率可以贫忽略安。具有慰四种粱阻尼衰水平使体系积的自酱由振偏动3)对振幅皮的影响

振幅为

随时间衰减相邻两个振幅的比。13酿.2含.4阻尼糊对自蠢由振串动的提影响4)阻尼比养的测定对数递猫减率：13幅.2莫.4阻尼对案自由振挽动的影您响对数衰减率与阻尼比之间的精确和近似关系4)阻尼皱比的遇测定对数递湖减率：设yk和yk+截n相隔n个周胳期，龟则：13沟.2截.4阻尼对英自由振末动的影防响自由振动的振幅减少50%所需要的循环次数4)阻尼轰比的创测定对数递织减率：设yk和yk+走n相隔n个周诊期，猪则：13译.2族.4阻尼对汗自由振轨动的影童响体系自由振动的加速度记录（2）解为：则微分怠方程通翁解为：再由劫初始怪条件齿得：tyy0θ0（临界菌阻尼）（重根略）

这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。13.宜2.4阻尼对扬自由振嘉动的影鼻响临界阻尼常数为：临界阻尼比为：[例13.喷7]图示贱屋盖裕系统坊加一币水平例力P=落9.丘8k厘N，测得加侧移y0=0辽.5牲cm，然后突鲜然卸载事使结构既发生水题平自由阿振动。等再测得图周期T=恢1.柳5s及一个周淘期后钳的侧套移y1=0.钥4cm。求所结构僻的阻醋尼比ξ和阻尼逃系数c。解：mEI=∞9.8kN（3）(超阻尼）体系不出现振动，很少遇到，不予讨论。13.欣2.4阻尼对居自由振抵动的影翼响[例13.副8]已知顽结构拥的振油动周结期为T=0仆.3s，ξ=须0.红1，y0=1mm,试求墙振幅意衰减励到初坑始位粮移的5%时（y=姓0.渔00冤5m政m)以下拾所需安的时爪间（捞以整降周计械算）俭。解1：即经过5周后，屿振幅就威减到了5%以下。解2：13兽.2锹.4阻尼佳对自蚁由振吧动的葡影响13栽.3碍.1单自臣由度皇体系桶强迫淡振动半微分蛇方程债的建桶立13烧.3单自由疗度体系视的强迫鼠振动13.牢3.2简谐览荷载互作用骗下结惭构的篮动力肯反应13犯.3颂.3一般荷买载作用四下结构仗的动力姐反应13.比3.4阻尼对立受简谐鸡荷载强燃迫振动仍的影响13.箱3.5有阻筑尼时漫的杜泼哈梅马积分强迫故振动议：结构元在动找力荷禾载作巾用下我的振尽动13渠.3距.1单自由津度体系帖强迫振溜动微分袭方程的岩建立以一悬西臂柱为派例：mky模型1y(t)kmym模型2隔离接体1）柔度气法：以柱降子为败对象2）刚诸度法撇：以质晒点为伴对象等效弹簧－小车ky建立方劫程13.脖3.2简谐蛮荷载亩作用宴下结投构的疼动力搏反应

简谐荷载：解的形式：

运动方程：齐次解：特解：由初始条件确定。其中：是一个二阶常系数非齐次微分方程方程通解：13粒.3滚.2简谐荷成载作用应下结构招的动力虫反应方程全解：由初始条件确定，若：其中：方程通解：按结构的自振频率振动，由于阻尼的存在是过渡阶段。按动力荷载的频率振动，是平稳的振动阶段。

平稳阶段：

动力系数：1023123共振静位移最大动位移13.犹3.2简谐荷洁载作用迷下结构朽的动力淡反应[例13.9]

如图所示刚梁，截面为I32b工字钢，I=11626cm4，I=726.7cm3，E＝2.1×108kPa。在跨中有电动机，重量Q=40kN，转速n＝400r/min，由于具有偏心，转动时产生离心力P=20kN，其竖向分量为，忽略梁本身的质量，试求钢梁在该荷载的动力系数和最大正应力。Psinθt2.5m2.5mEIQ1)自振频率：解:2)荷载欧频率寺：3)动力倡系数千：13.们3.2简谐凯荷载价作用往下结筐构的难动力俭反应θtP=4)跨中渴截面捉最大密正应飞力：13.宗3.2简谐除荷载侵作用趴下结刷构的甚动力纪反应解释：惯性建力与闷简谐术力同疗时达较到最保大惯性力守与简谐贯力的最搂大值为声：[例13打.1塌0]前提同欲例13姐.2，当机接器运转枯产生P0sin乎θt，P0=20礼kN，转掘速为400轰r/m笛in，求振构幅及地剥基最大籍压力。解:由[例13.患2]已求出k=材12报×1居03kN仙/mWP0sinθt1)荷载频率:2)动力系数：3)竖向振动振幅:4)地基最大压力：13旺.3激.2简谐荷立载作用异下结构欠的动力像反应在共振区[例13蚀.1订1]求图示圈结构的戒运动方练程。13败.3央.2简谐荷冰载作用桶下结构肢的动力问反应2L2LEIEImL解：竞以梁荡为对踢象建截立位蚕移方努程1221LL21L13赴.3侮.2简谐荷霉载作用赌下结构辣的动力锄反应2L2LEIEImL12其中：13上.3冬.3一般荷蒙载作用妈下结构仿的动力及反应

基本思路：视为一系列瞬时冲量连续作用下响应的总和Δttτt't't0t瞬时蕉冲量tP(t)tτ(Du涂ha仓me亿l积分)初始位移y0和初始速度v0不为零t时刻τ的微分罩冲量对t瞬时(t>暖τ)引起的精动力反侨应微分冲纤量13默.3编.3一般蚊荷载璃作用豪下结稿构的挣动力置反应一般动荷载的动力反应:杜哈课梅积稿分初始位移y0和初始速度v0为零（1）突加扇荷载P(t)tPoysty(t)ωt0π2π3π质点乎围绕惧静力李平衡位置教作简剩谐振法动ystyst举例馆说明13.坏3.3一般艰荷载遮作用抢下结乞构的关动力普反应动力系数：（2）短玩时荷晋载P(t)tPou1）方法旁一：13.强3.3一般庄荷载昏作用音下结纪构的森动力颠反应阶段Ⅰ(0﹤t﹤u)同突膝加荷蜓载：直接采用

Duhamel

积分

阶段Ⅱ

(t>u)：P(t)tPou

阶段Ⅱ

(t>u)：体系以作自由振动。2）方法二：利用突加荷载结论，分段讨论。13抓.3孝.3一般荷荣载作用款下结构雨的动力杜反应阶段Ⅰ(0﹤t﹤u)同突川加荷泛载：3）方法三：由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPu1)当0<ｔ<u2)当ｔ>u13.充3.3一般连荷载川作用呈下结领构的恐动力枪反应P(t)tPuy(t)ωt0π2π3π讨论椅主要勿针对u展开ystT/21）当u>T/2，最大动位移驾发生饼在阶品段Ⅰ2）当0<u<T/2，最大蜘动位移期发生隆在阶唐段Ⅱβ1/611/22动力系贯数反应皮谱β(T,μ)13.鹿3.3一般荷完载作用言下结构抗的动力孝反应最大动反应的求解：（3）线悟性渐址增荷原载P(t)tP0tr对于电这种驴线性醋渐增系荷载销，其蛛动力雀反应尾与升惊载时影间tr的长短有很煎大的关煎系。13.届3.3一般欺荷载元作用版下结鸟构的救动力士反应P(t)tP0tr01.02.03.04.01.41.21.01.61.82.0β动力系督数反应芽谱β(T,要tr)讨论敬：β与tr的关系13洋.3劝.3一般闯荷载钥作用勇下结枕构的白动力热反应13.非3.3一般羡荷载帐作用唐下结遭构的拔动力声反应[例13伶.1拉2]有一洽重物Q灯=2斧kN从20c酸m高处惕落到剩梁的狮中点弱，求尘梁的谱最大爽弯矩搜。已盾知梁鄙的自圆重为W=哑20k悉N，I=3阀6×1吊04cm4,E=34陪×10域2kN宪/cm2。20c猎mQ3m3mW’解：悉结构浩在瞬涉时冲圾量作兼用下窄的运动涨方程针：重物与装地面接剂触时的锡速度为获：冲量为柿：1）求盒冲量勿：结构的最大朝位移慰：其中：13.升3.3一般跟荷载蝇作用就下结冲构的参动力必反应20涛cmQ3m3mW’2）求频早率：等效静久荷载：将梁就的重县量一忆半作帮用在幼梁的执中间驳，一陷半作枯用在浑梁的抬两边奶。跨中最大弯般矩：跨中最大位移衔：13呢.3灰.3一般荷店载作用慈下结构肾的动力莲反应[例13.遮13]关于yst的讨似论。1）质点围作竖研向自攻由振企动时莫的yst

由质点的重量引起2）质点族作竖么向强穴迫振穿动时瞒的yst。简谐觉荷载

由简谐力的F引起13.您3.3一般钟荷载盒作用于下结品构的暑动力卡反应

yst由荷载的P0引起的2）质点恋作竖涛向强庄迫振虚动时其的yst突加荷芒载同样排短期柳荷载杯、线颤性渐揉增荷涝载食，运伴动方东程中捆的yst均由扑荷载沉的P0引起的耻。3）质点梅作竖雨向强河迫竖惜向振样动时静的总位退移竖向总位移=质点重碧量引起收的静位新移+外荷转载引仔起的倾动位辫移外荷剪载引廊起动絮位移群的最谦大值（荷载微不作用蔬在质点醒上）（荷赴载作吨用在验质点置上）13.兴3.4阻尼对章受简谐烂荷载强达迫振动恒的影响计算简常图:建立平杜衡方程：简谐荷革载：方程的炒解：齐次解（）＋特解（）振幅：y(t)kmym隔离体设特膛解：动力系数：相位角：4.03.02.01.00β1.02.03.0ξ=0ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0动力系数反应谱1）当或时，可以不考虑阻尼的影响静荷载位移为02）当时，阻尼作用明显共振：共振醉区13渐.3哨.4阻尼离对受遣简谐场荷载尽强迫萝振动面的影惰响解:由[例13肠.2泡]已求良出1)荷载魄频率:2)动力奋系数涉：3)竖向折振动喘振幅:4)地基最挖大压力笋：[例13.14]

当机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min,考虑阻尼的影响,求振幅及地基最大压力。WP0sinθt在共振区13储.3剪.4阻尼眨对受勤简谐站荷载齿强迫赔振动天的影崭响13御.3胶.5有阻尼刮时的杜赌哈梅积役分由冲量引起的振动位移：时刻τ的微分者冲量对t瞬时(t>睡τ)引起享的动璃力反鞋应：P(t)tτt微分冲态量有阻尼巾杜哈梅垦积分地震宅作用有阻健尼的场平稳竹振动:有阻尼的瞬时振动（自由振动）：初位移：初速度:13.伟4.1两个自结由度体络系自由洽振动微辨分方程肺的建立13泊.4两个脂自由旱度体衰系的秤自由季振动13.脖4.2频率错方程燃和自目振频进率13蹲.4蜂.3主振裙型及岗主振激型的译正交值性13饮.4贤.4两个刻自由很度体五系自豆由振暴动方采程的钻一般托解13旅.4作.1两个忆自由架度体狼系自括由振拌动方程程建枕立（1）因英结构聋特征逼必须输简化诞为多友自由光度体嫩系多层获房屋居、不等高势排架等（2）为润满足拜计算爬精度厦的要租求烟囱狮、高耸暮建筑音物等基本方仙法刚度法锤：柔度掀法：按结构毅的位移肚协调条宴件建立诱运动方忧程按质曲量的杏力平胜衡条稿件建跃立运折动方饿程（1）柔勿度法y1y2（m1m211d1212建立塑方程系：13菠.4你.1两个自晚由度体池系自由吸振动方井程建立柔度系数：注意柔度系数物理意义（2）刚案度法质量隔滨离体m2m1列平耗衡方室程：12如何哄确定强？13.郊4.1两个自雷由度体庙系自由杠振动方骑程建立y1y2（m1m2弹性力惯性力刚度哗系数:k12k11k21112k12k22112得到南运动啦方程黎：注意物理意义13歪.4帝.1两个孙自由便度体些系自拜由振牧动方贱程建悬立13汉.4办.2频率坏方程特和自改振频菌率设各披质点伴按相达同频弯率和菜初相吊角作聋简谐炭振动咬，即榴：（1）柔度让法微分多方程蹄：（2）求得：（1）把（1）式认、（2）式桐代入停微分领方程贯：13执.4闷.2频率方罪程和自拴振频率齐次线泊性方程浮组:非零解频率方鸽程关于λ的二次砌代数方霉程得：系数行列式应等于零方程两读正根为:自振铃频率13.任4.2频率纪方程亡和自泼振频锅率第一频率（基频）第二频率（2）刚迫度法微分方兆程：设解为羞：13佳.4陈.2频率籍方程惠和自杂振频简率（1）（2）把（1）式、伪（2）式代妨入微分甚方程：可求衬得：频率方子程：齐次象线性丧方程剃组：自振频伍率：13.姻4.2频率弓方程摸和自鼓振频猫率非零解较小的第一频率（基频），为第二频率。13.朋4.3主振敌型及康主振贿型的际正交言性（1）主振速型Y1(1)Y2(1)m1m2(柔度钓法)1）当第一主振型若：13.也4.3主振型麻及主振顾型的正骑交性m1m2（1）主黑振型(柔度法)2）当第二主振型若：Y1(2)Y2(2)则，铺用刚绩度系俗数表狡示的前主振弹型为咳：平衡方寻程：（2）主振型(刚度法)13.轰4.3主振惩型及扭主振末型的恭正交乔性两种方法是等价的（3）主怀振型指的正暖交性13.双4.3主振靠型及皆主振课型的拥正交般性m1m2运动方历程：按振动时：位移与加速度同时达到最大，因此可以看作是最大惯性力产生的静位移。作自由振动时，体系上承受的是惯性力。准备1：13巡寿.4扰.3主振型批及主振们型的正亡交性准备2：功的互等定理。1212在梁矛上先溪作用P1,再作用P2,整个过污程中体仆系做的汉功为：在梁倒上先斤作用P2,再作用P1,整个剃过程句中体镜系做夜的功博为：

1号力在2号力引起的位移上做的功功的步互等燃定理2号力在1号力引起的位移上做的功（3）主垮振型采的正棚交性用功的河互等定落理来证羞明。第一主拖振型第二主妥振型功的陆互等赚定理整理肚得：第一芽正交蜜关系虚功1虚功2Y1(1)Y2(1)m1m2m1m213.粱4.3主振嚷型及拦主振孟型的跃正交意性Y1(2)Y2(2)如何债解释叮正交汪性？利用歼第一混正交脑关系1)同乘虚功1＝02)同乘虚功2＝0这表矮明体午系在侨振动怜过程艺中，耍各主含振型吓的能塌量不弄会转无移到牌其他悄主振仗型上启，也转不会凡引起筋其他技主振愈型的翻振动育。因称此，摧各主右振型标能单倾独存竟在而导不相批互干向扰。13.典4.3主振型旅及主振世型的正常交性[例13.想15]求简昨支梁例的自输振频辱率和欧主振诵型，枝并验责证主振型悠的正堤交性素。l/3l/3l/3P=1P=1解：1）求柔度系数2）代入肺方程3）自振陶频率12mmEI13驴.4牲.3主振班型及精主振阻型的共正交猴性l/3l/3l/3mm4）主受振型第一主疏振型第二主债振型5）验证专主振型继的正交偶性故满足看正交性翁条件13浇.4素.3主振型友及主振剃型的正构交性利用对响称性另茧解：若结构老本身和桥质量分波布都是崖对称的禽，则主对称就是反对称。故可取半边结构计算。l/3l/3l/312mmEIl/31l/91解：1）简炸化2）图乘3）自振妹频率对称反对称13.肝4.3主振罚型及耕主振快型的奇正交熔性[例13湖.1细6]求图践示刚萄架的食自振送频率备和主触振型捏，并孙验证搞主振型的料正交性粪。m2m1k2k1解：1）求志刚度背系数k22k12k11=k1+k2,乎k21=矩-k2k22=k2,栏k12=-铁k2k21k112）频率抛方程13籍.4岩.3主振型漏及主振停型的正弟交性11m2m1k2k1m2m1k2k1若：m1=m2=m，k1=k2=k3)主振粉型第一胶主振希型第二客主振蒜型Y2(1)=1匀.6脸18Y1(1糊)=1Y2(2)=－0.具61挺8Y1(1)=113.屡4.3主振泥型及此主振该型的声正交基性若：m1=nm2，k1=nk2讨论2）主振运型取n=901）频乔率方桥程3）验证臭主振型帝的正交鼓性13.联4.3主振型撇及主振想型的正渣交性称为“鞭梢效厦应”13.命4.4两个蠢自由岂度体月系自称由振辉动方荡程的敲一般艇解结构夕位移径形状根保持依不变读的振观动形节式主振弯型:=常数设膝解实际乳上是萝像一胶个单叼自由吉度体箱系在输振动特殊形铁式Y1Y2条孩件初始逼位移盼和初材始速弹度应须与此耻主振次型相与对应实际巧上，饭初始颈时刻板的y0或v0通常不林能完全与某一春振型相牵对应。一般屡解第一主振型第二主振型13坡.5炎.1柔度法13音.5两个自榨由度体轨系在简鼓谐荷载慨下的强呼迫振动13.弹5.2刚度苦法13累.5疼.1柔度法简谐罢荷载市作用叛下的谢无阻滚尼受征迫振盈动柔度法（1）建漠立振慨动微辣分方沸程Py1y2tPqsintPqsin位移墨方程（2）动刊位移殃的解景答及脾讨论齐次解跌（）摄＋特解竿（）设特倘解：方程的猜解：其中：讨倡论1)当时静荷版载作取用2)当时来不帜及反敏应3)当时且不全为零时共振13.趟5.1柔度矮法振幅：（3）动躁内力为幅值共的计位算由Y1、Y2值可求骡得位移伴和惯性看力位移：惯性营力：外荷速载：惯性力逝幅值PI1I212叠加息公式动内耻力有谈正负疾号，谱叠加翼要注展意！13境.5栽.1柔度腔法位移、惯性力和荷载同时达到幅值，动内力也同时达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，按静力法求解[例13治.1尸7]求图崇示结悼构质板点1和2点的屠动位钱移幅聚值和坡动弯矩幅值乳图。已塌知：l/4l/2l/412m1m2EItPqsin

I1=1

I2=1解：1）求仇柔度底系数2）求拔频率自振泉频率荷载频山率13.弱5.1柔度元法3）计算4）位叠移、询惯性鸟力幅驴值13.紫5.1柔度今法5）求侨质点1、2处弯作矩幅断值P0.6808P120.6051P120.3530Pl0.2185Pl6）质点1在两伴自由拌度体细系中没有统延一的动嫩力系数13.百5.1柔度耻法13炸.5败.2刚度法m1m2（1）建立面微分方胀程（2）设顽特解—只考悄虑平悦稳振饮动（3）求D1，D2和D3（4）求渐位移毅幅值Y1=D1/D0Y2=D2/D0有关搬动内力计算爱，同柔带度法－静力纺法[例13.棕18]二层膨刚架妻，求冈其动杜力反帆应谱食。m2m1k2k1解：1）求刚耀度系数k11=k1+k2,搂k21=愿-k2,k22=k2,优k12=宁-k22）求位督移幅值P0P013透.5酱.2刚度龙法m2m1k2k113.咬5.2刚度法3）讨梨论：考察m1=m2=m，k1=k2=k的情废况方程D0＝0的根3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0可见府在两篮个自皂由度刺体系斤中，滔在两顺种情每况下临可能何出现究共振罪。两质点贴的位移动力系酷数不同13.唉5.2刚度顷法如图示身对称结歪构在对刊称荷载陵作用下御，讨论创其共振嘴情况。l/3l/3l/312mmEItPqsin1）刚陷度系拜数2）第劫二主刮振型3）计贼算当θ=ω2，D0=0，且有不共振均不13.咏5.2刚度法tPqsin就[例13.扑18]，进氏一步支分析鉴动力拔系数拖。kkyst水1yst释2=P/赔k1）静荷载类作用下yst1=yst2=P/慰k2）动荷载头作用下mmkkY2Y1θ2mY1θ2mY2Qst1=P3）位移爷动力搜系数4）剪力霞动力系撤数在多自痰由度体茫系中，走没有一若个统一捞的动力量系数13群.5洞.2刚度劝法P仍就[例13质.1竟8]，对册结构罪进行剑控制顾。m2m1k2k12）位移冒幅值1）刚度惭系数k11=k1+k2,理k21=期-k2k22=k2,k12=-k2k2P0一层镜楼面刃不振帝动这说阁明在合右图写结构恢上，肾适当寄加以m2－k2系统可快以控制m1的振动秒。m2k23）设计吸能振器根据m2的容许怠振幅Y2Pk213捷.5拖.2刚度法m1k1[例13灰.1宽9]如图示搭梁中点字放一电甚动机。葬重250爆0N，电动孤机使梁恨中点产陆生的静羽位移为1cm，转迹速为300资r/m菊in，产生穗的动荷畜载幅值P=1他kN，1）需加智动力吸社振器吗撇？2）设危计吸第振器(容许场位移昂为1cm院)。k2m2解：1）求频逐率2）设宿计吸趣振器（频率穴比在共避振区内灭）吸振蚊器刚宾度吸振傍器质缘瑞量Q13.泡5.2刚度示法PsinθtθtP吸振器进频率13革.6一般辽多自洲由度卷体系饱的自闪由振不动13搞.6驾.1柔度旷法13.拍6.2刚度吵法13.课6.3主振枣型的窑正交锡性13避.6妙.1柔度法yiyj质体动荣位移是问由n个惯性低力引起症的。基本思狮路:位移卫方程腾：13胁.6喘.1柔度驶法yiyj柔度赴系数野物理旱意义封：写成矩岭阵形式奥：运动方杠程：设解为块：振动猴方程:主振客型:将其家展开发，得羞：频率愉方程:n个主振探型基频13.匪6.1柔度下法要有输非零瓣解，简得：关于的n次方程代入涂得:[例13.严20]如图产所示命三层葛刚架验，横斧梁刚沃度为究无穷消大，朽用柔度翼法求励其自掉振频岔率和现主振份型。解：1）求柔压度系数P=1P=113.范6.1柔度法P=1m2mmkk/3k/5柔度雾矩阵:质量矩披阵:2）求字频率由频率惨方程:展开式蜜为：方程三顺个根为:三个烈频率软为:13.熟6.1柔度鹿法3）求主养振型由振翅型方仆程:13.只6.1柔度境法标准化1由于是谁奇次方捧程组只有步两个况独立饶方程10.5690.163振动模立态：11.2270.92413.3422.76第一主爹振型第二主词振型第三廊主振级型13岗.6壶.1柔度法13嫁.6宴.2刚度法取质点岂为隔离无体，列召力的平利衡方程弦。基本惹思路:m1mimnynyiy1yiyny1（1）惯性崖力作用（2）取挖质量珍为隔艇离体（3）结构员弹性力理解kij的物理型意义mim1mnk11=2kmmmkkk1231k21=-kk31=0k12=-k1231k22=2kk32=-kk13=0123k23=-kk33=k1y2y3y113数.6肝.2刚度惭法Ki的求信解：运动灵方程饱：写成矩征阵形式备：13.适6.2刚度法设解第为：Y—振动磨方程何：频率掘方程利：主振型甜：13.浆6.2刚度法写成侨矩阵牲形式览：或缩写火成：同柔贫度法瓶，可务得出n个自振掠频率代入得悄：[例13.孔21]按刚度王法求解[例13.还20]。k31=0k21=-k/3k12=-k/3k13=0k23=-k/5k33=k/5k11=4k/3k22=8k/15m2mmkk/3k/5k32=-k/51112）求刚度远矩阵:解：

1）求质量矩阵:

13限.6服.2刚度法3）求频熊率由频摔率方铅程：展开式为:方程淹三个何根为侄：三个频查率为:13.敬6.2刚度法4）求主摆振型由振烧型方骂程：标准嘱化：13.慕6.2刚度法由振炎型通务式：13.锡6.2刚度旱法对两恩个自灿由度宁体系扮，我补们已钱经证死明过楚第一自正交讲关系粒：13.腐6.2主振型远的正交艳性写成抬矩阵混形式:第一命正交可关系可缩哀写成:推广至n个自朱由度季体系:设，对应的振型为设，对应的振型为则有:多自由坟度体系第一正俩交关系上述关张系也可堡用另外夕方法导虚出。13闯.6钥.2主振挠型的皮正交沃性用前乘（1）式：推导如率下:方程:用前乘（2）式：把（4）式两带边转置:设:设:将（3）式（5）式:由于棕一般:多自禁由度筛体系第一伴正交舱关系注:由于对称13腰.6泛.2主振型蒙的正交围性结果戒与前嗽面介棉绍的镰方法嘴完全疤相同多自由备度体系第二话正交它关系对于l=k时，鹿定义奏：—广义刚牵度—广义党质量用前乘（1）式：均为一个数把（7）式锡代入卸（3）式:如:[例13.笼22]验算[例13.希21]主振季型的较正交欺性。解：1）三桂个主掀振型雀为2）验算抄第一正社交性同理社：m2mmkk/3k/513叉.6悉.2主振型铅的正交晶性[例13载.2欺2]验算[例13铅.2没1]主振型虑的正交停性。三个主萝振型为内：3）验算勒第二正煮交性m2mmkk/3k/513部.6闸.2主振赴型的仍正交穴性13估.7多自疫由度密体系极在任遣意荷亏载作罩用下缎的强习迫振镰动13职.7袋.1主振汤型矩吃阵与陕正则蝴坐标13饿.7钥.2振型券叠加蠢法13.哥7.1主振星型矩捆阵与水正则步坐标（1）主振获型矩阵12341234第四振型1234第三振型1234第二振型第一省振型主振型矩阵13.既7.1主振蝴型矩少阵与别正则旨坐标（2）正学则坐江标任意卷一个赠质点衔的位驱移y都可按随主振型腔来组合贵：可缩写茎成：—质点位移列阵—主振型矩阵—正则坐标—坐标岛转换捉公式自然坐标广义坐标？13.虽7.1主振谋型矩示阵与菊正则泉坐标方程：也可写眼成：前乘狭：13.科7.1主振遍型矩机阵与岔正则拥坐标由主振型正交性0000展开阴：方程听：因此得素：广义细质量干：质点呢位移撒：广义坐标：主振裤型矩捞阵:13挠.7屯.1正则坐撑标与主泥振型矩萄阵13倡.7英.1正则坐厨标与主殃振型矩忆阵非对角线上的数都等于零广义欠质量曲矩阵广义刚哥度矩阵13驳.7颤.1正则坐母标与主即振型矩败阵同理:其中:（1）多羡自由水度体举系的爷强迫论振动13.掩7.2振型叠樱加法yiynm1mimny1运动瞒方程愉：矩阵形谱式：“耦合兵”缩写虚成：（2）利用猪正则坐颗标使方兆程解耦原方纪程：新方程:广义质昼量矩阵广义刚凑度矩阵13顷.7款.2振型袜叠加押法再前乘广义荷载列阵质点的魄位移:振型叠档加法n个独立圈方程13溜.7醉.2振型能叠加盲法新方看程:一般荷载:简谐荷载:13抗.7槐.2振型叠炉加法按振型慌叠加法仅计算动围力反应懒的步骤:求惯性昨力，把高惯性力欺和干扰挑力共同兆作用于母结构；求结构戴的动内占力或总叉内力。求振型：、；求广义质量和荷载：、求广义坐标：求质点的运动方程:计算刚度系数或柔度系数，形成、或，然后计算结构的自振频率:、；13盆.7黄.2振型叠沙加法解：由[例13.15]求得：[例13.23]在[例13.15]的1号质点上作用简谐力用振型叠加法求结构最大动弯矩图。l/3l/3l/312mmEItPqsin（1）求广遵义质量13站.7体.2振型绵叠加惨法（2）求广惧义荷载（3）求息广义酒坐标（4）求质饭点的运伙动方程13舟.7泻.2振型叠准加法（5）求追质点杠动位郊移和最惯性怨力的睡最大拥值（6）求梁辅最大动割弯矩把简摸谐力圾、惯点性力的最及大值欧作用挎于梁罗上，按静力恐求解。13采.7疗.2振型叠稍加法（7）比缘瑞较第仰一振繁型与光第二录振型鸣对质胸点位组移的息影响质点1：质点2：结论们：在实际尿工程中扶，对于伶多自由枣度体系寇，可根朴据精度慕要求计县算到某在个振型逆即可。注意：此题计剩算的是大动弯矩酸，若要侄求结构些的总弯鸟矩，还均需加上拖由质点码重量产是生的静都弯矩。13.养9计算菊频率掌的近象似法13.眉9.1能量勇法求虫第一量频率汤－瑞盼利法13精.9偷.2集中奥质量收法13.梯9.3矩阵屋迭代鞭法13.宿9.4结构的魄地震分吓析13字.9干.1能量圆法求若第一唱频率守－瑞砖利法当不考置虑阻尼共自由振杰动时，均振动体背系在任烂何时刻滤的动能（T）和恢应变肚能（U）之着和应障等于誉常数起。瑞利镰法的脱出发蜻点:能量守开恒定律以梁的熄自由振多动为例:设:动能:最大前动能:梁的薯自由间振动13叉.9搭.1能量察法求拨第一纱频率她－瑞责利法应变能:最大双应变距能:如梁上筐还有集昨中质量miYi为集中质量mi处位移幅值假设堆位移典幅值暴函数Y(x)必须注仅意以下烦几点：所设堂位移都幅值从函数喊应与败实际街振型散形状婚大致说接近;结构比较排容易软出现屡的变斧形形链式;曲率小咸，拐点臭少。必须满足运动边界条件：几何边界条件自然边界条件Rayleigh法主要用于求ω1的近似解13府.9唱.1能量法专求第一正频率－点瑞利法由上式戒可见，巡寿要求频愚率必须如先假设躬位移幅巡寿值函数Y(x)。若考虑水平振动，则重力应沿水平方向作用。通常可取结构在某个静荷载q(x)作用下的弹性曲线作为Y(x)的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q(x)所作的功来代替。取自重荷载作用下的曲线Y(x)的近似表达式。13佛.9雁.1能量法神求第一恩频率－榜瑞利法[例13.24]求等截面简支梁的第一自振频率。解：1）假膏设为修抛物回线:代入公英式:13.爪9.1能量霸法求亭第一险频率服－瑞涛利法满足围边界缠条件:2）设精才确曲线:代入公码式:满足削边界款条件:3）梁碗在q作用下似的绕曲焦线:代入公烧式:13第.9锹.1能量谅法求颤第一柄频率涉－瑞嚷利法满足而边界黑条件:与精薄确解斤相比星，各敏种方绣法的割精度粘还是笑相当矩高的敌。[例13捐.2瘦5]求两稠端固浓定梁布的第垦一频李率。解：满足撕边界角条件吓：13震.9嫩.1能量法慰求第一缓频率－哄瑞利法梁在q作用下讯的绕曲捞线:代入公伶式:与精确域值相差0.骑4%。[例13肥.2时6]求图滥示框区架的面第一除频率敢，横拣梁刚怖度为魔无穷逆大。13基.9惯.1能量妥法求提第一喉频率何－瑞列利法解：以各层重量

当作水平力作用在结构上，由此产生的各质点处的位移作为第一振型的近似。则最申大变熔形能修和动掠能:13今.9晴.1能量陪法求歉第一浑频率罢－瑞迎利法各质点处的计算:显然:如的计算:层数13娱.9兴.1能量法慈求第一永频率－刮瑞利法因此:计算眨过程碌列于鼠下表:124.0291.7514280.06430.064157.410.11223.4467.7315360.04410.108259.428.14316.2244.2914950.02960.138228.231.48415.6028.0719170.01470.153242.937.1059.2612.4718720.00670.159150.724.0263.213.2115570.00210.16252.88.52合计1091.4139.37与精沃确值润相差:0馅.6监9%13届.9轮.2集中卫质量药法等效谨原则屡：使集中煤后的重腊力与原赔重力互沉为静力歉等效，腊即两者的合力青相等。具体作匹法：将杆京分为伙若干盏段，醉将每恒段质集量集次中于描其质对心或漂集中畜于两刑端。[例13撒.2兵7]试用亭集中熔质量深法求普简支缩慧梁自掠振频恨率。l/2l/2(－0.7河%）l/3l/3l/3(－0.1获%）(－3.1减%）(－0.0敏5%）(－4.邪8%）(－0.7辛%）对比含分析13叼.9静.2集中御质量牢法解得：解得：l/4l/4l/4l/4解得争：P=1[例13帽.2胜8]求自振陆频率。2lllEI4EI解：2)图乘3)自振频撇率1)简化13.患9.2集中秧质量盾法lP=1按正对堡称性集秒中llEI4EIP=1解：1)简化2)图乘2lllP=1P=1P=113往.9迫.2集中质带量法3)自振频答率4)自振合频率唉汇总13.含9.2集中质总量法13店.9汇.3矩阵脾迭代逆法矩阵迭代法它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率和振型。体系作自由振动时，各质点的位移幅值为：写成矩咸阵形式禽：缩写成：13.吵9.3矩阵迭台代法当一泰个振际型求杂得后计，则瓜可利使用振种型的值正交侍性，侮求出若较高次的频薄率和振渠型。计算步骤：先假定一个振型并代入上式等号的右边，进行求解后即可得到和主振型的第一次近似值；再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到和主振型的第二次近似值；如此下去，直至前后两次的计算结果接近为止。13饥.9限.3矩阵迭迎代法[例13叨.2来9]求自薄振频忘率和鸽主振言型。屠已知烂：m1k3k2k1m2m3解：设第一蜜振型的第二次值13顾.9姨.3矩阵辛迭代翻法第一宫振型的此第三次值把：代人方程再计算同理：第一振型的灶第四次值13墓.9颈.3矩阵错迭代遇法因此第一振型为：第四豪次与已第三摆次的井振型晃已经辅十分平接近侵，计县算就伍可停寄止了叼。求第二钓振型：利用主吸振型的端正交性寻，将求孙得的第悠一振型盾可得到君下式：由：得：13.导9.3矩阵伞迭代燃法将下式展开：得：或：得：13亮.9拢.3矩阵迭净代法得：令：经两财轮迭耀代后宜得：故第二频率为：再由：因此第二振型为：13.越9.3矩阵迭花代法求第书三振挽型：利用主口振型的葬正交性卸，将求释得的第淘一、第挎二振型摧可得：将上经求惩解得折：13假.9婚.3矩阵迭碎代法令：则设第三振型为：求第三提频率：故第三频率为：13查.9袍.4结构除的地桨震分芳析（1）单沿自由隔度体兰系运项动方座建立—强迫振睬