贵州省遵义市抄乐中学高二数学理月考试卷含解析

贵州省遵义市抄乐中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为s甲2，s乙2，则（）A．＞，s甲2＞s乙2 B．＞，s甲2＜s乙2C．＜，s甲2＞s乙2 D．＜，s甲2＜s乙2参考答案：C【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．【分析】由茎叶图知甲的成绩位于茎叶图左上方，乙的成绩位于茎叶图的右下方，甲的成绩较分散，乙的成绩相对集中，由此能求出结果．【解答】解：∵某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如图所示，甲、乙的平均数分别为为、，方差分别为s甲2，s乙2，由茎叶图知甲的成绩位于茎叶图左上方，乙的成绩位于茎叶图的右下方，甲的成绩较分散，乙的成绩相对集中，∴＜，s甲2＞s乙2．故选：C．2.圆x2+y2﹣2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A．相离 B．外切 C．相交 D．内切参考答案：C【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题．【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】解：把圆x2+y2﹣2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，x2+（y+2）2=4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R=2和r=1，∵圆心之间的距离d=，R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜d＜R+r，则两圆的位置关系是相交．故选C【点评】圆与圆的位置关系有五种，分别是：当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离（其中d表示两圆心间的距离，R，r分别表示两圆的半径）．3.用反证法证明命题：“，，，且，则中至少有一个负数”时的假设为（

）A．中至少有一个正数

B．全为正数C．全都大于等于0

D．中至多有一个负数参考答案：C试题分析：反证法证明时首先假设所要证明的结论反面成立，本题中需假设：全都大于等于0考点：反证法4.正四棱柱中,,则与平面所成角的正弦值等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A5.将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种

B．18种

C．36种

D．54种参考答案：B略6.不等式的解集是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D略7.定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为()A．α>β>γ

B．β>α>γ

C．γ>α>β

D．β>γ>α参考答案：C略8.已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A． B．C．3 D．4参考答案：C【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意易得线段AB的方程为，（x≥0，y≥0），由基本不等式可得．【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及直线的截距式方程，属基础题．9.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9[23.5,27.5)18[27.5,31.5)11[31.5,35.5)12[35.5,39.5)7[39.5,43.5)3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占()A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.已知数列的前项和，而，通过计算，猜想=（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正态总体的概率密度函数为（），则总体的平均数和标准差分别是

.参考答案：，12.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=90°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2||=a+b，由余弦定理可得||2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得||的取值范围，从而得到本题答案【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2||=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，||2=a2+b2﹣2abcos90°=a2+b2，配方得，||2=（a+b）2﹣2ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到||≥（a+b）．∴≤，即的最大值为．故答案为：【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．13.双曲线具有光学性质：“从双曲线的一个焦点发出的光线经过双

曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点．”由此可得如下结论：如右图，过双曲线右支上的点的切线平分.现过原点作的平行线交于，则等于

。参考答案：14.已知曲线在点（1,1）处的切线与曲线相切,则a=

．参考答案：8试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．15.在直角坐标系内，点实施变换后，对应点为，给出以下命题：①圆上任意一点实施变换后，对应点的轨迹仍是圆；②若直线上每一点实施变换后，对应点的轨迹方程仍是则；③椭圆上每一点实施变换后，对应点的轨迹仍是离心率不变的椭圆；④曲线：上每一点实施变换后，对应点的轨迹是曲线，是曲线上的任意一点，是曲线上的任意一点，则的最小值为.以上正确命题的序号是

（写出全部正确命题的序号）.参考答案：①③④16.已知数列是递减数列，且对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是

参考答案：17.已知，，则的值为_______________.参考答案：【分析】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得，再由两角差的余弦函数的公式，即可求解．【详解】由，即，则，又由，所以，又由．【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及正弦的倍角公式和两角差的余弦公式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有------①

------②由①+②得------③令有代入③得．（Ⅰ）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;（Ⅱ）若的三个内角满足,试判断的形状．参考答案：解：解法一：（Ⅰ）因为，①

，

②…………2分①-②得.

③

…………3分令有，代入③得.

……………6分（Ⅱ）由二倍角公式,可化为

,

………8分

即.

………9分设的三个内角A,B,C所对的边分别为，由正弦定理可得

………11分根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.

………12分解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为，

………8分因为A,B,C为的内角，所以，所以.又因为，所以,所以.从而.

………10分又因为,所以，即.所以为直角三角形.

………12分19.如图，平面平面，四边形为矩形，．点为的中点，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若二面角的余弦值为时，求的值．

参考答案：

略20.（本小题14分）如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，过与轴垂直的直线交椭圆于点，且(1)求椭圆的标准方程(2)已知点，问是否存在直线与椭圆交于不同的两点，且的垂直平分线恰好过点？若存在，求出直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）连接，在中，，由椭圆定义可知，，又，从而，椭圆的标准方程为（2）由题意可知，若的垂直平分线恰好过点，则有，当与轴垂直时，不满足；当与轴不垂直时，设的方程为，由，消得

……7分，①式

……8分令，的中点为，则，，

……10分即，

……11分化简得，

……12分结合①式得，即，解之得：，综上所述，存在满足条件的直线，且其斜率的取值范围为.……14分21.已知函数f（x）=x3﹣2ax2﹣3x．（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程；（2）对一切x∈（0，+∞），af′（x）+4a2x≥lnx﹣3a﹣1恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a＞0时，试讨论f（x）在（﹣1，1）内的极值点的个数．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程；（Ⅱ）由题意：2ax2+1≥lnx，即，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围；（Ⅲ）分类讨论，利用极值的定义，即可讨论f（x）在（﹣1，1）内的极值点的个数．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，所以f′（x）=2x2﹣3又f（3）=9，f′（3）=15所以曲线y=f（x）在点（3，f（3））的切线方程为15x﹣y﹣36=0…（Ⅱ）由题意：2ax2+1≥lnx，即设，则当时，g'（x）＞0；当时，g′（x）＜0所以当时，g（x）取得最大值故实数a的取值范围为．…（Ⅲ）f′（x）=2x2﹣4ax﹣3，，①当时，∵∴存在x0∈（﹣1，1），使得f′（x0）=0因为f′（x）=2x2﹣4ax﹣3开口向上，所以在（﹣1，x0）内f′（x）＞0，在（x0，1）内f′（x）＜0即f（x）在（﹣1，x0）内是增函数，f（x）在（x0，1）内是减函数故时，f（x）在（﹣1，1）内有且只有一个极值点，且是极大值点．…②当时，因又因为f′（x）=2x2﹣4ax﹣3开口向上所以在（﹣1，1）内f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，1）内为减函数，故没有极值点…综上可知：当，f（x）在（﹣1，1）内的极值点的个数为1；当时，f（x）在（﹣1，1）内的极值点的个数为0．…22.设等差数列{an}第10项为24，第25项为﹣21．（1）求这个数列的通项公式；（2）设Sn为其前n项和，求使Sn取最大值时的n值．参考答