结构力学讲义一二

第七章力法§7—1超静定结构概述

1.超静定结构的基本特征

静力特征

几何特征静定结构超静定结构反力及内力可由静力平衡条件唯一确定反力及内力不能完全由静力平衡条件确定，还须考虑变形协调条件。（未知力数>独立的平衡方程数）几何不变有多余约束几何不变无多余约束2．多余未知力（赘zhui余力、冗rong力） 多余联系（约束）中产生的力，所谓‘多余’——仅就保持几何不变性而言3.超静定结构的类型梁 桁架拱刚架组合结构？区别：组合结构——刚架、桁架4．求解超静定结构的三个方面条件:(1)平衡条件——各部分受力状态满足平衡方程(2)几何条件（变形或位移条件、协调条件、相容条件） ——位移满足支承约束和变形连续(3)物理条件——变形或位移－－力之间的物理关系5．求解方法两种基本方法：力法——以多余未知力为基本未知量；

位移法——以结点位移为基本未知量 其他方法：力矩分配法——以位移法为理论基础的渐近解法矩阵位移法——适于计算机的矩阵表示的位移法混合法——力法与位移法的联合应用 。。。。。。§7－2超静定次数的确定

1．超静定次数（n）超静定次数n=多余约束数（几何构造分析）（变原结构成静定结构所需撤除的约束）补充方程数目：（静力分析）多余未知力数=未知力数—独立的平衡方程数如图：2．确定超静定次数——解除多余约束→→静定结构解除方式：（1）去除一根支杆或切断一根链杆——相当去除一个约束。（2）去除一个铰支座或去除一个单铰——相当去除二个约束。（3）去除一个固定端或切断一个梁式杆——相当去除三个约束。（4）变刚结为铰结∕链杆——相当去除一∕二个约束图7－4图7－5

（5）几何不变 ——必要约束不能拆（否则几何可变）（6）无多余约束 —— 内部：闭和框架有3个多余约束 外部（7）解除多余约束后的静定结构不是唯一的。注意：计算自由度：n=-w封闭无铰框架，n＝3

每增加一个铰减少一个约束，即少一次超静定地基作为开口刚片

【例】图7－6§7—3力法的基本概念力法——计算超静定结构最基本的方法（柔度法）1、基本思路超静定结构内力计算→→静定结构的内力/位移计算

力法中的三个基本概念：（以超静定梁为例）超静定梁：n＝1（1）基本未知量——多余约束力X1关键地位的多余未知力（2）基本体系基本结构：撤去多余约束的静定结构作用：荷载X1—FRB由被动力→主动力

——受力（变形）与原结构相同（3）基本方程——变形条件基本体系沿X1方向的位移△1——与原结构相同。△1=0

△11

——X1产生的位移

△1P

——荷载产生位移叠加原理△1=△11+△1P=0其中△11=δ11X1∴基本方程

δ11X1+△1P=0

X1=－△1P/δ11力法的计算：【例】一次超静定梁。（1）选择基本体系， 确定基本未知量x1（2）计算位移系数（基本体系的位移）MP——荷载作用 M1——x1=1作用（3）力法方程求解

（4）叠加原理 M=MP+X1M1

M→FS→FN（简单的可直接求）

或：基本体系——（作用q、x1）平衡条件求解静定结构计算步骤：1、超静定次数n→基本未知量x1→基本体系；2、基本结构分别作用：

荷载→MP x1＝1→M13、位移系数：

Δ1P

δ114、基本（力法）方程→解x15、叠加法→M=MP+x1M1x1【例】超静定刚架【解】§7－4力法的典型方程（1）取基本体系——F，X1，X2，X3（2）变形条件Δ1=0Δ2=0Δ3=0

以三次超静定刚架为例（3）考虑基本体系在各力单独作用时的位移：（图） △1=△11+△12+△13+△1P△2=△21+△22+△23+△2P△3=△31+△32+△33+△3P荷载F：△1P，△2P，△3PX1=1——δ11，δ21，δ31

X1：△11=δ11X1、△21=δ21X1、△31=δ31X1X2=1——δ12，δ22，δ32

X2：△12=δ12X2、△22=δ22X2、△32=δ32X2X3=1——δ13，δ23，δ33，

X3：△13=δ13X3、△23=δ23X3、△33=δ33X3由叠黄加原若理得豪各力将的共悬同作亲用△1=δ11X1+δ12X2+δ13X3+△1P△2=δ21X1+δ22X2+δ23X3+△2P△3=δ31X1+δ32X2+δ33X3+△3P（4）力法畜基本方示程物理艺意义币：（p13片1）基本结辉构在全部虹多余未知力和荷载的共朱同作戴用下器，在去丹掉各璃多余叨联系昆处沿各多余少未知力梢方向的样位移，应与原结援构相应却的位移团相等。推广到n次超物静定颗结构基本未茧知量X1，X2……Xn则力法简典型方茂程（正落则方程慢）——规则过的形登式——具有挑代表底性、四反映头共性悬的形胀式矩阵陶形式ïïîïïíì=D+d++d+d=D+d++d+d=D+d++d+d00022112222212111212111nPnnnnnPnnPnnxxxxxxxxxL…………柔度博矩阵[δ]=柔度渴系数变：主系昼数δii>0副系数δij（i≠滚j）——正、秀负、齐零δij=δji——对称歇矩阵（7-叠3）解方卵程由叠加护原理典型方仓程——系数和波自由项——用单经位荷史载法忠计算结构的刚度越小，位移（瓜影响）蜜系数就越大，——又称为柔度系坊数；力法典当型方程滚是表示位移条卸件，因此槽称之体为结弊构的柔度方领程；力法睡亦称柔度刘法。对不同量具体结愚构，所需计疏算的项嘉是不同利的：（剪力特项一般毫均略去赛）梁、刚挺架——只计M一项唇；桁架——只有N一项杨；组合结贫构——（梁屯式杆扔）只蝴计M一项；（狱链杆逝）只乎有N一项；§7－5力法细的计箱算步舱骤和械示例以二次倾超静定祝刚架为聚例（1）取基著本体系——（F）X1，X2（2）力弯法基讽本方昨程两个铸未知讯量的锯方程敌，对蜡应的2阶柔妄度矩改阵，其录逆矩阵简已单，用泊矩阵运索算求解野简便：矩阵运糊算——解方程（p13解3）由以待上计钻算可唯以看偷出：典型方坡程中每个尊系数赶和自俩由项设均含药有1/EI，可以核消去卡。——在载荷缓作用波下，超静定祸结构的内力只与剂各杆容的刚度相对污值有关，而与其刚度绝对值无关。（3）最后擦结果（a）基渔本体锁系作村用已知力F，X1，X2——静定结助构的内颗力计算写，——奥M，FS，FN。-3P贺a/8滚84P京a/脾11（b）叠加运原理M司=洗MP+X1M1+X2M2由M→FS→FNMA=Pa多/2+玻4P/舌11(洋-a)物+(-夺3P/匹88)搭(-a虚)=1司5Pa暗/88MC=0+帝0+(润-3P病/88驾)(-余a)=改3Pa鼓/88MAC中=(3倡Pa/秃88+浙15P谈a/8三8)/副2-P叶a/4朴=-1当3Pa略/88讨论今：1、基本结凯构选择不是辩唯一的，但必须炭是静定或的——几何不直变，无遮多余约沟束2、基本未兼知量与描撤除的量约束相对蚀应（方技向；皮数目材）【例】)(b)(a1x)(c1x2x3x4xn确=少43、基本誉方程的鹊物理意损义第i个方程:δi1x1+δi2x2+…蜻+δiixi+…+δinxn+ΔiP=0Xj（j=宏1,凉2,俩…,约n）－基本企未知怠量——多余湿未知协力δij——位移吗（柔劣度）耍系数，Xj=1在Xi方向引邪起的位溉移ΔiP——自由项荷载在Xi方向引催起的位吐移右端＝0——原结某构在Xi方向上伴的实际淡位移。4.解题暂步骤蛛：（p13贪4）（1）确定超醉静定次准数，确定破基本倾体系——基本未哪知量Xi（2）作MP——荷载肠单独询作用拆；Mi——xi＝1单独县作用（3）求位基移系兽数△iP、δij（4）代入嫁力法俭方程——求解xi（5）结果战：M=栗MP+ΣxiMi（M→FS→FN）例：力者法计算循桁架图示桁移架，各杆EA相同往，求各奖杆轴舒力。A)(allBCDEFll【解】①n＝1，x1A)(bBCDEFx1基本体唐系,FNP、FN1②P2P-0PNA)(bBCDEFP2011=x1NA)(cBCDE22-0022-③求系扯数)414.1(2EAPl-=DP12)22(2lEAP

-=å=DlEANNiPP122-0A)(cBCDE022-FN1F2F-0FNPA)(bBCDE0F21å=dlEAFN1211③求系侧数)414.2()12(EAl+=22-0A)(cBCDE022-1FN11]12)22[(122llEA

+-=.2d11④力法方昏程解xP1111dD-=(0.钟586丹)⑤1FN1xFNPFN+=F)2(-=2)12(EAl+2EAPl-=-)414P.0(--FF)1(-2F)2(-2)586P.0(FFNx1A)(dBCDEFF2F)2(-=222-0A)(cBCDE022-FN1F2F-0FNPA)(bBCDE0F212.力法解首超静定结构举例例7-汇1.求解蹈图示疫两端能固支弊梁。解：午取简呢支梁辟为基嗓本体战系力法井典型术方程糖为：基本体指系EI由于所以又由于于是有图FP单位刑和荷笨载弯迟矩图为：两端嘉固支尘梁在痕竖向塑荷载好作用羞下没打有水蒸平反尺力典型顶方程案改写巡寿为图乘求纯得位移祖系数为代入并软求解可用得叠加贯法作M图：力法典型方程为：【例7－2】求超孝静定傅桁架名的内喇力EA为常探数基本靠体系——基本未以知量（拉）各杆最绑后内力端由叠加法洒得到：由计弄算知筑，(p拥13毙8)在荷载焰作用呈下，劫超静先定桁贤架的执内力与杆件别的绝对撕刚度EA无关偏，只与牙各杆宗刚度源比值——相对舍刚度有关X1=0薪.1挤72扩PN03=0丹.1从72叶*0锅.7汁07种P+丸(-泽0.夸70外7P呀)=-0庙.58帅5P基本况体系问题爪：若用拆除上弦杆的次静定忍结构杠作为勉基本役结构喘，本题应钳如何椅考虑晋？力法方缎程的实牲质为：3、象4两袖结点纠的相峰对位雄移Δ34(以x1的方向况为正）)等于所窃拆除杆惊的拉（外压）变导形Δl34”力法捧典型饶方程骑为：Δl34Δ34x1x1（拉）与前解线法完全目相同原δ11＝解：允取基张本体头系如患图(b首)典型方程：例8-3颈.求解科图示载加劲阀梁。有、园无下雁部链龄杆时——梁内腹最大而弯矩命之比华：梁的受缠力与两被跨连刮续梁译相同耕。A→0梁受串力有底利令梁骡内正刷、负慰弯矩跑最大阔值相造等可腹得：46.82-46.8252.3552.351.66m13.713.7如何求A？截面A在0～∞取m2之间熄变化汪，梁中挂点弯钞矩M在80～－20kN-瘦m之间兆变化课堂教摧学系统暴（河海即大学）§5－4力法举倦例力法计驶算基本询步骤1、连续直梁2、刚架3、排架4、桁猜架5、组帽合结李构6、支搜座移档动7、温度朝变化§7－6对称活性的挂利用1、简化姥计算目跪标：尽可能胡多的δij=δji＝0→联立方知程解耦减少未淘知量数蹦目→减少方周程措施：利用点对称旋性，合理选冈择——基本体闻系，基蝴本未知曲量。力法服典型狗方程2．对拔称性对称掩结构台：几何形讽式——对称（形状队、尺寸吓及支座掉约束）刚度——对称（材料丽、截面——E、A、I等）对称轴——平分对猛称结构促的中线对称摊基本肉体系存：基扎本未昼知量对称力——X1、X2反对称且力——X3对称粱结构例的荷协载对称荷赖载——绕对称他轴对折首（翻转180康°），两部分芝荷载重跨合——作用点显、作用帆线重合馅，大小穷相等、查方向相胡同弯矩芦图——对称反对称用荷载——绕对升称轴故对折妄（翻洒转180筹°），两部窝分荷怖载相静反——作用点疾、作用麻线重合踪蝶，大小崭相等，呈方向相决反弯矩图——反对称对称歼结构任意批荷载掌＝对抬称荷伍载+反对称满荷载（*倾仅在结点叹荷载作用坡下——能简红化计逝算）＝＋2P截面垂棚直于对括称轴：M、FN—对称筑力，FS—反对碰称力*截佛面与盯对称盯轴重它合：FN—对称力，M、FS—反对称法力*对固称轴位上的棕荷载吃：FY—对称焦力，M、FX—反对贺称力对称结午构：荷载——内力缓变形丛（关伍系）对称荷抛载——内力变夹形对称(M、N图对筑称，FS图反吓对称)反对称逗荷载—内力注与变聋形反束对称(M、N图反团对称游，FS图对寄称）说明：FS——符号艘规定恭意义逐上的反置对称草力[例]简支伤梁，鸽作用匪均布我荷载悠。（图焰示）+－q（M）（FS）3．简脖化计若算（1）选取脆对称的较基本体鲜系基本栋未知估量——对称哨未知纠力反对称赔未知力M1、M2(对称)；M3（反殖对称峡）高阶联提立方程释组——降阶（2）利用尝荷载——内力的妨对称性者。对称政荷载——反对称思未知力浮（基本摘未知量含）=0只需等计算胖对称丢未知趴力n=3，对冲称基害本体腊系：反对称沟未知力——x3=0对称朽未知然力——x1、x2反对称呼荷载——对称完未知僵力（掩基本绣未知喂量）=0只需车计算膛反对爬称未爆知力n=3，对懂称基科本体互系：对称未槽知力——x1=栽0，x2=趴0反对称康未知力——x3（3）广炒义未司知力——未知挑力分撞组（图7-填22）对称朝位置的向一对未锋知力一般荷教载——未知力尤无对称嫌性组合呈未知誓力——广义徒未知虎力的刘组合荷（图7-2伤3）（类似倚荷载分称解）Y1=(阳X1+X2)/芒2，Y2=(肆X1-X2)/2（4）非弟对称趋荷载左可以骑分解成对称荷赔载+反对称艇荷载一般剃情况寒分解逝意义记不大铲。（绞图7-城24）特殊情谦况（结点集换中荷载）——可以简欣化计算比较寄：题7－7—扁—题7－16、——例7－5（p14盈3）*题7－20、21无弯矩芒状态判陈别：只承骂受结点退荷载的刚咸架结饲构，在不计辉轴向太变形的情股况下旦，当所有刚结点崭变为铰叠结点时，a、仍粱为几车何不捧变体怠系，b、几何省可变，冬但使其妙成为不沃变所附误加的链垃杆均为逃零杆（即偿无结告点线奋位移抽，则床也无叉角位肚移时略）各杆创弯矩骑为零——无弯印矩状杂态当所有刚结点胆变为铰新结点时，a、仍为几释何不变侧体系，b、几何话可变把，但盏使其跑成为迟不变窃所附窄加的吹链杆确均为呢零杆[证]力法造计算日，取荡铰接娘基本饶体系敏可证交。0*（5）选沉取适饼当的镜基本掌体系——简支印梁，使：M图易画圣、图乘片方便(a)（题7-殃3）(n健=1肿)(b去)（题7-4）(n救=1弯)(c)（题7-纲22）(n剧=告2偿)（6）取一棍半结构苏计算对称统结构译：对称郊荷载姑作用——内力、找变形——对称反对称颗荷载作睁用——内力透、变庭形——反对称a．奇砍数跨对称荷虏载（图a）变形对撑称：θc=0，ΔH=0内力齐对称掠：FSC＝0——取半跨疏（图b）反对必称荷帜载（图c）变形洞反对随称：ΔV＝0内力反哄对称扛：MC＝0，FNC＝0——取半跨蜜（图d）B．偶数渔跨对称拣荷载疤（图a）变形锣对称侍：C点θ甘=0，ΔH=安0，柱子（睬忽略轴茎向变形未）→ΔV=0内力挽对称败：CD柱M=0，FS=0，FN≠0——取半万跨（盈图b）反对称排荷载（图c）变形反奋对称（C点）ΔV=0，（忽略练轴向变锅形）内力省反对面称（CD柱）M、FS≠0，FN=0——取半初跨（图d）设想：奇数现跨→偶数跨（图e→爸f）【例7－6】试计刚算图忍示园挂环内县力。EI＝常售数。【解】三次超咐静定结塘构。由于结嘱构、载党荷对称择性，取四茂分之部一分晕析。如图(b马)，仅为扣一次超监静定。基本挎结构程如图(c凡),多余贪未知截力为弯矩x1取极坐葱标系湿，单位弯户矩和载荷弯妈矩分别炼为：§7缎—7超静定旅结构位宪移的计姜算基本投思路猫：利用付基本姥体系象（静握定结毫构）→求原结街构的位葡移。受力/变形完锁全相同，唯一玩区别锯是多症余未饭知力笛：在原结思构——被动臭力在基铅本体罢系——主动棚力例：镜图7－1a结构分才析，结骄果图7－11惹d单位荷泰载法任取基央本体系计算党超静赤定结淋构位惑移的削步骤拳：（p1酿50）（1）计算岩超静定工结构，侮求解内初力——实际（产位移）岂状态（2）任取申一种隙基本须结构，设单窑位力——虚设纲力状羡态（3）单最位荷泛载法——位移公蒙式或图硬乘法求缎位移§7的—1缺0支座位释移时超吓静定结摆构的计轧算非荷载挠因素：支座移抬动，温尺度改变辽，材料手收缩，畜制造误颤差等。超静定世结构的凝一个重唱要特点烧：（与静刘定结构姜的重要最区别）——非荷载翼因素可堡以产生立内力——自内愈力1、静定捞结构板，支座脏移动趁产生裙位移沈，但不引起只内力超静定宴结构，支座招移动臣产生剧变形揭和位蓝移，狗但也引起状内力2、力法分岔析超静定宫结构支谊座移动躲产生内超力，原理题与荷利载作赴用的螺计算驴相同若，唯一区贝别仅在于阿典型方广程中的自由安项不央同。典型方朋程1．支座颜移动时地的计算[例]*等截把面梁AB，已知比支座位焦移，求字自内力[解]n疫=伟1，设x1（MA）——基本体幸系变形条裳件△1=φ△1—原结构景在x1方向的冬位移由叠加溪原理得x1与Δ的共同涨作用力法方慕程△11+△1c=△1δ11x1+△1c=φ基本体航系：x1＝1→M1图，RB△1c=-ΣR∙镰c=-吸(-1仿/l∙Δ)=Δ/lRB【解Ⅱ】取不同危基本体嫌系δ11x1+△1c=△△1=0θx1X1＝12a2/l22、支座帆位移计蝇算的特灿点：（1）力法方俗程δ11x1+△1c=△1对应不吉同基本豆体系，葬各项值谢（结果鬼）不同疤，但物肌理意义闲相同右端牲项△1与对禁应x1的原催结构番支座咐约束奖相对说应（诵可为蚁零，土可不驼为零泥）自由项△1c是基本柔体系上毕的支座图移动产虹生的对关应x1方向的裙位移（摸＋、0、－）（2）内力全部由多余未陆知力引起边。（3）内力与EI的绝从对值有关承。基本体刑系解：典型方才程：例7－9.求作图堆示连续傲梁的弯迈矩图。EI区=常数取基碧本体妄系一活，？MB＝ql2/8(若q＝10k泊N/m，l＝4mMB=2相0k楚N-傻m)与【例7－3】相同：(c)？基本体狱系二力法庆方程δ11x1+△1P=0B铰左纷右截锄面相锐对转扁角：Δ1＝0δ11和△1P考虑单弹性站支座浇影响笑：§7－9温度栏改变校时超恢静定淡结构凶的计矛算1、静定裂结构黑，温度修变化蠢产生叼变形黎和位蹲移，特但不绑引起劲内力超静狂定结铺构，温度变武化产生领变形和鞋位移，镜但也引赢起内力2、力法爽分析超静轨定结棋构温衫度变和化产熟生内民力，原理与桌荷载作融用的计缘瑞算相同超。基本结业构是静与定的，把温度变弃化不产许生内力最后晴内力伏完全总由多耻余未晋知力庸引起些。基本帖结构妹由于三温度云变化河引起扯的xi方向桌的位超移温度内躁力的计易算【例7-磁7】至t1=3谦5,经t2=2演5,励α，EI，h＝l/1陶0为常数浪。