河北省石家庄市第四十九中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

河北省石家庄市第四十九中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=3﹣x B．y=x3 C．y=x﹣1 D．参考答案：C考点： 奇偶性与单调性的综合．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据一次函数的单调性及奇偶性，可判断A的真假；根据幂函数的单调性及奇偶性，可判断B的真假；根据反比例函数的单调性及奇偶性，可判断C的真假；根据指数函数的单调性及奇偶性，可判断D的真假；解答： 解：函数y=3﹣x是非奇非偶函数，但在区间（0，+∞）上为减函数函数y=x3是奇函数，但在区间（0，+∞）上为增函数函数y=x﹣1=奇函数，且在区间（0，+∞）上为减函数函数是非奇非偶函数，但在区间（0，+∞）上为减函数故选C点评： 本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性，其中熟练掌握基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．2.如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点Q到平面PEF的距离 B．直线PE与平面QEF所成的角C．三棱锥P﹣QEF的体积 D．二面角P﹣EF﹣Q的大小参考答案：B【考点】直线与平面所成的角．【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．【解答】解：A中，取B1C1的中点M，∵QEF平面也就是平面PDCM，Q和平面PDCM都是固定的，∴Q到平面PEF为定值；B中，∵P是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PE与平面QEF所成的角不是定值；C中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值．故选：B．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，二面角，棱锥的体积及点到平面的距离，其中两线平行时，一条线的上的点到另一条直线的距离相等，线面平行时直线上到点到平面的距离相等，平面平行时一个平面上的点到另一个平面的距离相等是解答本题的关键．3.函数的图象大致为（

）A

B

C

D参考答案：C4.过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于对称轴的直线交抛物线于M，N两点，则以MN为直径的圆的方程是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.已知双曲线C：的渐近线方程为，且其右焦点为（5,0），则双曲线C的方程为（

）A． B．C． D．参考答案：B考点：双曲线试题解析：因为双曲线C：的渐近线方程为所以又所以解得：故双曲线C的方程为：。故答案为：B6.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是A.

B.

C.

D.参考答案：A7.在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D8.已知定义在上的奇函数满足，且时，，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：；乙：函数在上是增函数；丙：函数关于直线对称；丁：若，则关于的方程在上所有根之和为-8，其中正确的是（

）A.甲，乙,丁

B.乙,丙

C.甲,乙,丙

D.甲,丁参考答案：D9.设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①

若m⊥，n∥，则m⊥n；②

若∥，∥，m⊥，则m⊥；③

若m∥，n∥，则m∥n；④

若⊥，⊥，则∥。其中正确命题的序号是A．①和②

B．②和③

C．③和④

D．①和④参考答案：A略10.如图是一个算法流程图，则输出的结果是（）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：A【分析】执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，；第2次循环：满足判断条件，；第3次循环：满足判断条件，；不满足判断条件，输出计算结果，故选A．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若x≥0，则的取值范围为

．参考答案：[3，+∞）【考点】基本不等式．【专题】转化思想；不等式．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x≥0，则y=x+=x+1+﹣1≥2﹣1=3，当且仅当x=1时取等号．∴y=x+的取值范围为[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.已知双曲线（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当最小时，双曲线离心率为

．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），C（x2，y2），由双曲线的对称性得B（﹣x1，﹣y1），从而得到k1k2=?=，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．解答： 解：设A（x1，y1），C（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），∴k1k2=?=，∵点A，C都在双曲线上，∴﹣=1，﹣=1，两式相减，可得：k1k2=＞0，对于=+ln|k1k2|，函数y=+lnx（x＞0），由y′=﹣+=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2时，y′＞0，0＜x＜2时，y′＜0，∴当x=2时，函数y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴当+ln（k1k2）最小时，k1k2==2，∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，解题时要注意构造法的合理运用．13.若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是___.参考答案：略14.已知向量=（6，2），=（﹣4，），过点A（3，﹣1）且与向量+2平行的直线l的方程为

．参考答案：3x+2y﹣7=0考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：直线与圆．分析：根据向量+2与直线l平行，求出直线的斜率k，利用点斜式求出直线l的方程．解答： 解：∵向量=（6，2），=（﹣4，），∴+2=（6﹣8，2+1）=（﹣2，3）；∴过点A（3，﹣1）且与向量+2平行的直线l的斜率为k=﹣，∴直线l的方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣3），化简为3x+2y﹣7=0．故答案为：3x+2y﹣7=0．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线方程的应用问题，是基础题目．15.已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，（为钝角）．若，则的值为

．参考答案：【知识点】向量数量积的坐标运算；两角和与差的三角函数.

F2

C5【答案解析】

解析：因为，所以，又且为钝角，解得cos，所以=.【思路点拨】由已知等式得，又且为钝角，解得cos，所以=.16.在直角坐标系xOy中，过椭圆（为参数）的右焦点，斜率为的直线方程为

.

参考答案：略17.已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为

时，log2alog2（2b）取得最大值． 参考答案：4【考点】复合函数的单调性． 【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，从而得出结论． 【解答】解：由题意可得当log2alog2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数， 故有a＞1． 再利用基本不等式可得log2alog2（2b）≤===4， 当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在锐角中，角所对边分别为，已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值.参考答案：解:（Ⅰ）在锐角中，由可得,则

（Ⅱ）由得,

又由余弦定理得,可解得

19.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.（1）求曲线C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）曲线C1，C2分别交于A，B两点，求线段AB的长．参考答案：（1）：，：；（2）【分析】（1）先消参得的普通方程，再由进行转换即可；（2）两曲线联立求得交点坐标，再由两点间距离公式求解即可.【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：，即，转化为极坐标方程为：.曲线的极坐标方程为，两边同乘，得，即；（2）联立，得或.不妨设，，则.【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了两点间的距离的求解，属于基础题.20.（14分）设函数的定义域为A，g（x）=lg（x﹣a﹣1）（2a﹣x）的定义域为B．（1）当a=2时，求A∪B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】对数函数的定义域；集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题．【分析】（1）由2﹣=≥0，解得﹣1＜x≤3，可得A，由a=2且（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0可得3＜x＜4，即得B，再由两个集合的并集的定义求出A∪B．（2）由题意可得B?A，分a＞1、a=1、a＜1三种情况，分别求出实数a的取值范围，再求并集，即得所求．【解答】解：（1）由2﹣=≥0，解得﹣1＜x≤3，∴A=（﹣1，3]．由a=2且（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0可得3＜x＜4，故B=（3，4），∴A∪B=（﹣1，4）．（2）∵A∩B=B，∴B?A．当a＞1时，A=（a+1，2a），有﹣1≤a+1＜2a≤3，即；当a=1时，B=?不合题意（函数定义域是非空集合）；当a＜1时，A=（a+1，2a），有﹣1≤2a＜a+1≤3，即；综上：．【点评】本题主要考查对数函数的定义域，集合中参数的取值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．21.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．（1）若sin（A+）=，求A的值；（2）若cosA=，sinB+sinC=2sinA，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案：【考点】三角形的形状判断；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式化简已知可得cos（A+）=0，解得范围0＜A＜π，即可解得A的值．（2）由正弦定理可得：b+c=2a，①由cosA=，A∈（0，π），解得：A=，由正弦定理可得：sinB+sinC=，③由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣bc，②，由①②可解得：sin2A=sinBsinC=，④由③④解得：sinB=sinC=sinA=，即A=B=C=，从而得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵sin（A+）=sinA+cosA=，∴解得：cos（A+）=0，∵0＜A＜π，＜A+＜，∴解得：A+=，即A=…7分（2）∵sinB+sinC=2sinA，∴由正弦定理可得：b+c=2a，①∵cosA=，A∈（0，π），解得：A=，由①可