河北省唐山市丰润县火石营镇中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析

河北省唐山市丰润县火石营镇中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三棱锥的主视图和俯视图为如图所示的两个全等的等腰三角形，其中底边长为，腰长为，则该三棱锥左视图的面积为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.下列各式中，最小值等于的是（

）A

B

C

D

参考答案：D略3.已知集合，则的元素个数为（

）A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C4.如右图所示，正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，分别是的中点，为上任意一点，则直线与所成的角的大小是（）A．

B．

C．

D．随点的变化而变化。

参考答案：B

解析：连接，则垂直于平面，即，而，5.已知直线x﹣y﹣=0经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和顶点，则椭圆C的离心率为（）A． B． C．D．参考答案：B【分析】求出直线与x，y轴的交点，得到椭圆的焦点和顶点，然后求解椭圆的离心率．【解答】解：直线x﹣y﹣=0经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和顶点，可得椭圆的一个焦点坐标（，0），一个顶点坐标（0，﹣1），所以c=，b=1，则a=，所以e==．故选：B．6.如图，在长方形中，，，为线段上一动点，现将沿折起，使点在面上的射影在直线上，当从运动到，则所形成轨迹的长度为

(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：D略7.对于曲线∶=1，给出下面四个命题：（1）曲线不可能表示椭圆；（2）若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜＜；（3）若曲线表示双曲线，则＜1或＞4；（4）当1＜＜4时曲线表示椭圆，其中正确的是（

）A.(2)(3)

B.(1)(3)

C.(2)(4)

D.(3)(4)参考答案：A略8.已知四棱锥的三视图如右图，参考答案：B9.已知,是不相等的正数，设，(

)

A.

B.

C.

D.不确定参考答案：B10.函数y=cos(2x－)的一条对称轴可能是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知过点恰能作曲线的两条切线，则m的值是_____.参考答案：-3或-2设切点为(a,a3-3a).∵f(x)=x3-3x,∴f'(x)=3x2-3,∴切线的斜率k=3a2-3,由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a).∵切线过点A(1,m),∴m-(a3-3a)=(3a2-3)(1-a),即2a3-3a2=-3-m.∵过点A(1,m)可作曲线y=f(x)的两条切线,∴关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根.令g(x)=2x3-3x2,∴g'(x)=6x2-6x.令g'(x)=0,解得x=0或x=1,当x<0时,g'(x)>0,当0<x<1时,g'(x)<0,当x>1时,g'(x)>0,∴g(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,∴当x=0时,g(x)取得极大值g(0)=0,当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-1.关于a的方程2a3-3a2=-3-m有两个不同的根,等价于y=g(x)与y=-3-m的图象有两个不同的交点,∴-3-m=-1或-3-m=0,解得m=-3或m=-2,∴实数m的值是-3或-2.12.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长为

__；参考答案：413.直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于____________.参考答案：14.若方程所表示的曲线为C，给出下列四个命题： ①若C为椭圆，则1<t<4;

②若C为双曲线，则t>4或t<1； ③曲线C不可能是圆；

④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则. 其中真命题的序号为

（把所有正确命题的序号都填在横线上）.参考答案：②略15.已知在上不单调，则实数t的取值范围是______________参考答案：(0,1)【分析】先由函数求f′（x）＝﹣x﹣3，再由“函数f（x）x2﹣3x+4lnx在(t，t+1)上不单调”转化为“f′（x）＝﹣x﹣30在区间（t，t+1）上有解”从而有0在（t，t+1）上有解，进而转化为：x2+3x﹣4＝0在（t，t+1）上有解，进而求出答案．【详解】∵函数f（x）x2﹣3x+4lnx，∴f′（x）＝﹣x﹣3，∵函数f（x）x2﹣3x+4lnx在（t，t+1）上不单调，∴f′（x）＝﹣x﹣30在（t，t+1）上有解∴0在（t，t+1）上有解∴g（x）＝x2+3x﹣4＝0在（t，t+1）上有解，由x2+3x﹣4＝0得：x＝1，或x＝﹣4（舍），∴1∈（t，t+1），即t∈（0，1），故实数t的取值范围是（0，1），故答案为：（0，1）．【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性与极值的关系，考查了转化思想，属于中档题．

16.[1]、过点（1，3）且与曲线相切的直线方程为_______

__；参考答案：或17.已知，则的最大值是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.圆C关于直线对称，直线截圆C形成最长弦，直线与圆C交于A，B两点，其中（圆C的圆心为C）.（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）过原点O向圆C引两条切线，切点分别为M，N，求四边形OMCN的面积.参考答案：(I)，，半径 ……6分（II）则，， 四边形的面积 ……12分19.（本小题满分12分）求证：32n+2-8n–9（n∈N*）能被64整除．参考答案：方法1：二项式定理证明：32n+2-8n–9=9n+1-8n–9=（8+1）n+1-8n–9

………4分=8n+1＋·8n＋…＋·82＋·8＋-8n-9=82（8n-1+8n-2+…+）+8（n+1）+1-8n-9

………8分=64（8n-1+8n-2+…+）

………10分∵8n-1+8n-2+…+∈Z，∴32n+2-8n–9能被64整除．

………12分方法2：数学归纳法（1）当n=1时，式子32n+2-8n–9=34-8-9=64能被64整除，命题成立．……2分（2）假设当n=k时，32k+2-8k-9能够被64整除．

………4分当n=k+1时，32k+4-8（k＋1）-9=9[32k+2-8k-9]＋64k＋64＝9[32k+2-8k-9]＋64（k＋1）

………8分因为32k+2-8k-9能够被64整除，∴9[32k+2-8k-9]＋64（k＋1）能够被64整除．

……10分即当n=k+1时，命题也成立．由（1）（2）可知，32n+2-8n–9（n∈N*）能被64整除．………12分略20.某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示.组号分组频数频率第1组[160,165)50.050第2组[165,170)①0.350第3组[170,175)30②第4组[175,180)200.200第5组[180,185)100.100合计1001.000(1)求出频率分布表中①、②空格内相应的数据；(2)为了能选拔出最优秀的学生，学校决定在第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组中各抽取了多少名学生。(3)在(2)的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名接受考官M的面试，求第4组至少有1名学生被考官M面试的概率.参考答案：解：①35

②0.3(2)第三组抽3人，编号1,2,3

第四组抽2人，编号4,5

第五组抽1人，编号为6(3)从6名学生中抽取2人可能出现的结果有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共15种其中满足题意的有9种：∴P==21.已知等差数列满足：，；等比数列满足：，.（1）求数列与的通项公式；（2）设，若数列是递增数列，求实数的取值范围.参考答案：（1）

又

，则

，则（2）由（1）知：是递增数列

对任意的恒成立恒成立即：恒成立，

也即恒成立是增函数

略22.已知动圆过定点（1，0），且与直线x=﹣1相切． （l）求动圆的圆心轨迹C的方程 （2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，使以PQ为直径的圆过原点？ 参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质． 【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）如图，设M为动圆圆心，根据圆M与直线x=﹣1相切可得|MF|=|MN|，结合抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，从而解决问题； （2）对“是否存在性”问题，先假设存在，设直线l的方程为x=k（y﹣1）（k≠0），与抛物线方程联立结合根的判别式求出k的范围，再利用向量垂直求出k值，看它们之间是否矛盾，没有矛盾就存在，否则不存在． 【解答】解：（1）如图．设M为动圆圆心，F（1，0），过点M作直线x=﹣1的垂线，垂足为N， 由题意知：|MF|=|MN|… 即动点M到定点F与定直线x=﹣1的距离相等， 由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（1，0）为焦点，x=﹣1为准线， ∴动点R的轨迹方程为y2=4x

… （2）由题可设直线l的方程为x=k（y﹣1）（k≠0）， 由得y2﹣4ky+4k=0△=16k2﹣16＞0，k＜﹣1或k＞1… 设P（x1，