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文档简介
陕西省汉中市勉县第五中学2022-2023学年高一数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.当时,函数的图象恒过定点,已知函数,若有两个零点,则k的取值范围为(
)A.(-∞,-4] B.[-3,+∞)C.[-4,-3] D.(-3,+∞)∪{-4}参考答案:D【分析】利用1的对数为0,求出定点,做出的图象,转化为与有两个交点时,的取值范围.【详解】恒过,,做出图象如下图示:可得当时,与有两个交点,即有两个零点,则的取值范围为.故选:D.【点睛】本题考查分段函数、函数的零点,意在考查直观想象、逻辑推理能力,属于中档题.2.函数的值域是(
) A.(0,1)
B.
C.
D.
参考答案:A3.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(
)A.2
B.1C.
D.参考答案:C略4.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:则,对x的线性回归方程为(
)A.y=x-l
B.y=x+lC.
.
D.y=176参考答案:C5.给出以下四个选项,正确的个数是()①函数f(x)=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称②函数y=3?2x+1的图象可以由函数y=2x的图象仅通过平移得到.③函数y=ln与y=lntan是同一函数.④在△ABC中,若==,则tanA:tanB:tanC=3:2:1.A.1个B.2个C.3个D.0个参考答案:A考点:命题的真假判断与应用.
专题:三角函数的图像与性质.分析:根据函数图象的对称变换,分析函数f(x)=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称后的函数解析式与原函数解析式的关系,可判断①;根据指数的运算性质及函数图象平移变换法则,可判断②;分析两个函数的定义域和对应关系是否一致,可判断③;根据已知结合向量数量积的定义及正弦定理的边角互化,求出tanA:tanB:tanC的值,可判断④解答:解:①函数f(x)=sin2xcosx的图象关于直线x=π对称变换后的解析式为:f(x)=sin2(2π﹣x)cos(2π﹣x)=sin(4π﹣2x)cos(2π﹣x)=﹣sin2xcosx,x=π不是函数f(x)=sin2xcosx的图象的对称轴,故①错误;②函数y=3?2x+1=的图象可以由函数y=2x的图象向左平移log23个单位,再向上平移1个单位得到,故②正确;③函数y=ln=ln=ln=ln=lntan,但函数y=ln的定义域与函数y=lntan的定义域不同,故两个函数不是同一函数,故③错误;④在△ABC中,若==,则,则,则tanA=3tanB且tanA=2tanC,则tanA:tanB:tanC=6:3:2,故④错误.故正确的命题的个数是1个,故选:A点评:本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,此类题型往往综合较多的其它知识点,综合性强,难度中档.6.在锐角中,角所对的边分别为,若,,,则的值为
A.
B.
C.
D.参考答案:A7.已知集合,若则实数的取值范围是,其中=
.参考答案:48.函数的零点所在的区间为()A. B. C. D.参考答案:D【考点】函数零点的判定定理.【分析】利用根的存在定理,分别判断,各区间端点处函数值的符合是否相反,从而确定零点所在的区间.【解答】解:函数在(0,+∞)上单调递增.因为,,,,所以,所以根据根的存在性定理可知函数的零点所在的区间为.故选D.9.已知数列{an}满足,,则的最小值为(
)A.2 B. C.4 D.参考答案:D【分析】由,累加法求通项,再利用函数的单调性求出最小值.【详解】由,可得,,,再利用累加法可得,∴,,∵在上单调递增,n=1时,,n=2时,,故选D.【点睛】本题考查累加法求通项求数列的通项公式,考查函数的单调性,准确计算是关键,是中档题.10.函数的定义域为M,函数的定义域为N,则(
)
A.
B.C.
D.参考答案:A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.方程的实根的个数是
.参考答案:612.设为定义在R上的奇函数,当时,,则
▲
.参考答案:-313.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为2,它的三视图中的俯视图如下图所示,侧视图是一个矩形,则这个矩形的面积是________.参考答案:214.设是等差数列的前项和,,则=_______参考答案:-72
15.已知函数f(x)=,若f(1﹣a)=f(1+a),则a的值为.参考答案:﹣【考点】分段函数的应用.
【专题】函数的性质及应用.【分析】对a分类讨论判断出1﹣a,1+a在分段函数的哪一段,代入求出函数值;解方程求出a.【解答】解:当a>0时,1﹣a<1,1+a>1,∴2(1﹣a)+a=﹣1﹣a﹣2a,解得a=﹣(舍去),当a<0时,1﹣a>1,1+a<1,∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=﹣,故答案为﹣:﹣【点评】本题考查分段函数的函数值的求法:关键是判断出自变量所在的范围.16.已知,且,,则=;参考答案:略17.已知,,则__________.参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(本小题满分9分)已知函数,(I)求及的值;(II)当时,在坐标系中作出函数的图象并求值域,参考答案:19.设集合A={2,8,a},B={2,a2-3a+4},且AB,求a的值.参考答案:因为AB,所以a2-3a+4=8或a2-3a+4=a.由a2-3a+4=8,得a=4或a=-1;由a2-3a+4=a,得a=2.经检验:当a=2时集合A、B中元素有重复,与集合元素的互异性矛盾,所以符合题意的a的值为-1、4.20.如图,在底面是直角梯形的四棱锥
P—ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=4.AD=2,AB=,BC=6.(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;(Ⅱ)求二面角A—PC—D的余弦值.参考答案:解法一:(1)∵PA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
∴BD⊥PA.
又,
∴∠ABD=30,°∠BAC=60°∴∠AEB=90°,即BD⊥AC
……4分
又PAAC=A,∴BD⊥平面PAC.
(2)过E作EF⊥PC,垂足为F,连结DF,
∵DE⊥平面PAC,EF是DF在平面PAC上的射影,由三垂线定理知PC⊥DF,∴∠EFD为二面角A—PC—D的平面角.
又∠DAC=90°—∠BAC=30°∴DE=ADsin∠DAC=1,AE=ABsin∠ABE=,又AC=,∴EC=,PC=8.由Rt△EFC∽Rt△PAC得在Rt△EFD中,,∴.∴二面角A—PC—D的大小为.
解法二:(1)如图,建立坐标系,则
……2分∴,∴,
∴BD⊥AP,BD⊥AC,又PAAC=A∴BD⊥平面PAC.(2)设平面PCD的法向量为,则,
……6分又,∴,解得
∴
……8分平面PAC的法向量取为,
……10分∴二面角A—PC—D的大小为.
略21.设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值.参考答案:【考点】H5:正弦函数的单调性;GQ:两角和与差的正弦函数;HR:余弦定理.【分析】(Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)=sin2x﹣,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得f(x)的单调递增区间,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得单调递减区间.(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA,cosA,由余弦定理可得:bc,且当b=c时等号成立,从而可求bcsinA≤,从而得解.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,f(x)=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得:k≤x≤k,k∈Z;由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得:k≤x≤k,k∈Z;所以f(x)的单调递增区间是,(k∈Z);单调递减区间是:,(k∈Z);(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA=,由题意知A为锐角,所以cosA=,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:1+bc=b2+c2≥2bc,即bc,且当b=c时等号成立.因此S=bcsinA≤,所以△ABC面积的最大值为.22.某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55)150.3(Ⅰ)补全频率分布直方图并求n、a、p的值;(Ⅱ)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.参考答案:【考点】BF:随机抽样和样本估计总体的实际应用;B8:频率分布直方图.【分析】(I)根据频率分步直方图的面积是这组数据的频率,做出频率,除以组距得到高,画出频率分步直方图的剩余部分,根据频率,频数和样本容量之间的关系,做出n、a、p的值.(II)根据分层抽样方法做出两个部分的人数,列举出所有试验发生包含的事件和满足条件的事件,根据等可能事件的概率公式,得到结果.【解答】解:(Ⅰ)∵第二组的频率为1﹣(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,∴高为.频率直方图如下:第一组的人数为,频率为0.04×5=0.2,∴.由题可知,第二组的频率为0.3,∴第二组的人数为1000×0.3=300,∴.第四组的频率为0.03×5=0.15,∴第四组的人数为1000×0.15=150,∴a=150×0.4=60.(Ⅱ)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1,所以采用分层抽样法抽取6人,[40,45)岁中有4人,[45,50)岁中有2人.设[40,45)岁中的4人为a、b、c、d,[45,50)岁中的2人为m、n,则选取2人作为领队的有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,m)、(a,n)、
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