湖南省益阳市教育学院附属中学高三数学理模拟试卷含解析

湖南省益阳市教育学院附属中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）参考答案：B【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】判断函数的连续性以及函数的单调性，然后利用零点判定定理推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=lnx﹣在（1，+∞）是增函数，在（1，+∞）上是连续函数，因为f（2）=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3﹣＞0，所以f（2）f（3）＜0．所以函数的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用，函数的单调性以及函数的连续性的判断，是基础题．2.甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气王”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率是（）A． B． C． D．参考答案：【分析】设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元，记为（x，y，z），列举出基本事件有10个，其中符合丙获得“手气王”的有4个，由此能求出丙获得“手气王”的概率．【解答】解：设乙、丙、丁分别领到x元、y元、z元，记为（x，y，z），则基本事件有：（1，1，4），（1，4，1），（4，1，1），（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1），（2，2，2），共10个，其中符合丙获得“手气王”的有4个，∴丙获得“手气王”（即丙领到的钱数不少于其他任何人）的概率：P=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．3.已知，其中是实数，i是虚数单位，则iA．i

B．i

C．i

D．i

参考答案：B由，即，得，。4.如图，已知正方体的棱长为，动点在此正方体的表面上运动，且（），记点的轨迹的长度为，则函数的图像可能是参考答案：B5.已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，满足f（x）+f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=1nx﹣x+1，则函数y=f（x）的大致图象是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】根据条件判断函数的奇偶性，利用特殊值的符号进行排除即可．【解答】解：由f（x）+f（﹣x）=0得f（﹣x）=﹣f（x），即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当x＞0时，f（x）=1nx﹣x+1，则f（1）=ln1﹣1+1=0，f（e）=lne﹣e+1=1﹣e+1=﹣e＜0，排除B，故选：A．6.在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A因为,所以对应的点位于第一象限，故选A.7.已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；

②若α⊥β，则m∥l；

③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．

其中正确的命题的个数是(

) A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．解答： 解：若α∥β，且m⊥α?m⊥β，又l?β?m⊥l，所以①正确．若α⊥β，且m⊥α?m∥β，又l?β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．若m⊥l，且m⊥α，l?β?α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．若m∥l，且m⊥α?l⊥α又l?β?α⊥β，∴④正确．故选：B．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．8.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（

）A．(16,32)

B．(18,34)

C.(17,35)

D．(6,7)参考答案：B9.已知函数，则关于x的方程的实根个数不可能为（）A.5个 B.6个 C.7个 D.8个参考答案：A【分析】以f（x）＝1的特殊情形为突破口，解出x＝1或3或或﹣4，将x+﹣2看作整体，利用换元的思想方法进一步讨论．【详解】∵函数，即f（x）＝，因为当f（x）＝1时，x＝1或3或或﹣4，则当a＝1时，x+﹣2＝1或3或或﹣4，又因为x+﹣2≥0或x+﹣2≤﹣4，所以，当x+﹣2＝﹣4时只有一个x＝﹣2与之对应．其它情况都有2个x值与之对应，故此时所求的方程有7个根，当1＜a＜2时，y＝f（x）与y＝a有4个交点，故有8个根；当a＝2时，y＝f（x）与y＝a有3个交点，故有6个根；综上：不可能有5个根，故选：A．【点睛】本题考查分段函数、函数的零点等知识，属于中档题．10.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4 B． C． D．2参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥底面为直角梯形的直四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，得；该四棱锥是直四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，梯形的上底长为1，下底长为2，高为2；所以，该四棱锥的体积为V=S底面积?h=×（1+2）×2×2=2．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（不等式选做题）若不等式|x－2|＋|x＋3|＜a的解集为?，则a的取值范围为________．参考答案：a≤512..已知实数x，y满足约束条件，若的最大值为－1，则实数a的值是______参考答案：1【分析】作出可行域，当在y轴上的截距越小时，越大，平移，观察图象即可求解.【详解】作出可行域如图：由可得，平移直线，当直线过点A时，有最大值，由得，解得或（舍去），故填1.13.（不等式选做题）函数的值域为

。参考答案：[2，＋∞)略14.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为

参考答案：略15.同位一间寝室的四名女生，她们当中有一人在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一个在听音乐（1）A不在修指甲，也不在看书；（2）B不在听音乐，也不在修指甲，（3）如果A不在听音乐，那么C不在修指甲；（4）D既不在看书，也不在修指甲；（5）C既不在看书，也不在听音乐。若上面的命题都是真命题，问她们各在做什么？

A在_____________；B在_____________；C在____________；D在____________。参考答案：答案：听音乐、看书、修指甲、梳头发16.．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，数列{}的前2016项的和为．参考答案：﹣【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由S3=0，S5=﹣5，可得，解得：a1，d，可得an．再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S3=0，S5=﹣5，∴，解得：a1=1，d=﹣1．∴an=1﹣（n﹣1）=2﹣n．∴==，数列{}的前2016项的和=+…+==﹣．故答案为：﹣．17.为了得到函数的图象，只需把函数的图象．参考答案：向右平移个单位长度【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先化简三角函数式，然后利用三角函数的图象变换确定平移长度．【解答】解：函数=sin（2x+）+sin2x=cos2x+sin2x=2sin（2x+），所以要得到函数的图象，只需把函数向右平移个单位长度；故答案为：向右平移个单位长度．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

设n为≥2的自然数．证明方程xn＋1＝yn＋1在x与n＋1互质时无正整数解．参考答案：证明：xn＝yn＋1－1＝(y－1)(yn＋yn－1＋…＋1)．如果质数p是y－1与yn＋yn－1＋…＋1的公因数，则p整除xn，从而p是x的因数．但y除以p余1，所以yn＋yn－1＋…＋1除以p与n＋1除以p的余数相同，即n＋1也被p整除，这与x、n＋1互质矛盾．因此y－1与yn＋yn－1＋…＋1互质，从而y－1＝sn，yn＋yn－1＋…＋1＝tn，其中s、t为自然数，st＝x．但yn＜yn＋yn－1＋…＋1＜(y＋1)n，所以yn＋yn－1＋…＋1≠tn，矛盾，原方程无解．19.已知函数f(x)=是定义在（-1，1）上的奇函数，且.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）证明f(x)在（-1，1）上是增函数；（Ⅲ）解不等式f(t-1)+f(2t)<0.参考答案：(1)解：是（-1，1）上的奇函数

又

（2）证明：任设x1、x2（-1，1），且则

，且

又

即 在（-1，1）上是增函数

（3）是奇函数

不等式可化为即

又在（-1，1）上是增函数有解之得

不等式的解集为

略20.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。 （Ⅰ）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率； （Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；参考答案：解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为，付2元为，付4元为

则所付费用相同的概率为

（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为0,2,4,6,8

分布列

略21.（14分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.参考答案：解析：方法一：先考虑偶数项有：

………

同理考虑奇数项有：………

综合可得

方法二：因为

两边同乘以，可得：令所以………22.（本小题满分12分）函数f(x)＝lnx－(1)当a＝－2时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值．参考答案：【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值B12【答案解析】(1)f(x)min＝f(2)＝ln2＋1(2)a＝－解析：解：(1)当a＝－2时，f(x)＝lnx＋，f′(x)＝当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)min＝f(2)＝ln2＋1.

----------------4分(2)f′(x)＝，①当a≥－1时，对任意x∈[1，e]，

f′(x)≥0，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍)．-------------------------------………….

6分②当a≤－e时，对任意x∈[1，e]，f′(x)≤0，此时f(x)在[1，e]上为减函数．∴f(x)min＝f(e)＝1－＝.∴a＝－(舍)．

-----------------------------------………………8分③