云南省曲靖市陆良县第一中学高二数学理联考试卷含解析

云南省曲靖市陆良县第一中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=的大致图象是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系．【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案．【解答】解：因为﹣＜0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+∞），故排除选项D，故选A．2..已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为(

)A. B. C. D.参考答案：D因为，所以切线的斜率，而直线的斜率，由题设，即，应选答案D。3.已知函数，则的值为（

）A．1

B．2

C．－1

D．－2参考答案：B略4.已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到P∈平面ABC的是（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】共线向量与共面向量．【分析】根据题意，由空间向量基本定理可得：P∈平面ABC的充要条件是存在实数α、β、γ，使得=α+β+γ成立，且α+β+γ=1，实数α、β、γ有且仅有1组；据此依次分析选项，验证α+β+γ=1是否成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，若P∈平面ABC，则存在实数α、β、γ，使得=α+β+γ成立，且α+β+γ=1，实数α、β、γ有且仅有1组；据此分析选项：对于A：中，+（﹣）+=0≠1，不满足题意；对于B：中，++（﹣1）≠1，满足题意；对于C：=++中，1+1+1=3≠1，不满足题意；对于D：=﹣﹣中，1+（﹣1）+（﹣1）=﹣1≠1，不满足题意；故选：B．【点评】本题考查空间向量的共线与共面的判断，关键是掌握空间向量共面的判断方法．5.已知命题p：“?x∈[0，1]，a≥2x”，命题p：“?x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（）A．[1，4] B．[2，4] C．[2，+∞） D．[4，+∞）参考答案：B【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于命题p：利用ax在x∈[0，1]上单调递增即可得出a的取值范围，对于命题q利用判别式△≥0即可得出a的取值范围，再利用命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，求其交集即可．【解答】解：对于命题p：?x∈[0，1]，a≥2x，∴a≥（2x）max，x∈[0，1]，∵2x在x∈[0，1]上单调递增，∴当x=1时，2x取得最大值2，∴a≥2．对于命题q：?x∈R，x2+4x+a=0，∴△=42﹣4a≥0，解得a≤4．若命题“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题，∴2≤a≤4．故选：B．6.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）A．对立事件 B．不可能事件C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】对于红色圆环而言，可能是甲分得，可能是乙分得，也可能甲乙均没有分得，然后利用互斥事件和对立事件的概念得答案．【解答】解：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．∴事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是互斥但不对立事件．故选：C．7.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8,9～16，…，153～160），若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是（

）A．8 B．6 C．4 D．2参考答案：B考点：抽样试题解析：被抽出的号码构成以8为公差的等差数列，即所以第1组中用抽签的方法确定的号码是6．故答案为：B8.设函数的导函数为，且，则下列不等式成立的是

A.

B.C.

D.参考答案：B9.用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为(

)A.自然数a，b，c都是奇数

B.自然数a，b，c至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a，b，c都是偶数

D.自然数a，b，c至少有两个偶数参考答案：B10.等差数列的前三项为，则这个数列的通项公式为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C

略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点为Q，则点Q的坐标为．参考答案：（﹣1，﹣1）【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由垂直及中点在轴上这两个条件，求出a、b的值，可得结论．【解答】解：设点P（1，3）关于直线x+2y﹣2=0的对称点坐标为（a，b），则由，解得a=﹣1，b=﹣1，故答案为（﹣1，﹣1）．【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，属于基础题．12.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，,,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为

．参考答案：5π

13.若，则的值为

．参考答案：414.每次用相同体积的清水洗一件衣物，且每次能洗去污垢的，若洗n次后，存在的污垢在1%以下，则n的最小值为_________．参考答案：4略15.设，，则虚数的实部为．参考答案：0略16.将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．参考答案：n2﹣n+5考点： 归纳推理．专题： 探究型．分析： 根据数阵的排列规律确定第n行（n≥3）从左向右的第3个数为多少个奇数即可．解答： 解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=个，则第n行（n≥3）从左向右的第3个数为为第个奇数，所以此时第3个数为：1=n2﹣n+5．故答案为：n2﹣n+5．点评： 本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键．17.计算

．参考答案：分析：根据定积分的几何意义，将定积分化为两个区域的面积求解．详解：令，可得，表示以原点为圆心，半径为2的圆的上半部分．结合图形可得所求定积分为和扇形的面积之和（如图），且中，，扇形中，．故．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设椭圆（a＞b＞0）经过点，其离心率与双曲线x2﹣y2=1的离心率互为倒数．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）动直线交椭圆M于A、B两点，求△PAB面积的最大值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，将代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆M的方程；（Ⅱ）将直线代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，则P到AB的距离为d=，则利用三角形的面积公式及韦达定理即可求得△PAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为，由椭圆经过点，得，解得：，∴椭圆M的方程为．…（Ⅱ）由，得，由△=（2m）2﹣16（m2﹣4）＞0，得，，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴，．∴=．又P到AB的距离为d=．则…∴当且仅当取等号．∴．…19.如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则∵，，，∴四边形为正方形，∵为的中点，∴为的交点，∵，，

∵，∴，，在三角形中，，∴∵，∴平面；

(Ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点，∴，∵平面，平面，∴平面.方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：，，，，，，则，，，.∴∴∵平面，平面，∴平面；

(Ⅲ)设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即，解得，令，则平面的一个法向量为，又则，∴直线与平面所成角的正弦值为.

20.已知函数，．（1）解不等式；（2）若方程在区间[0,2]有解，求实数a的取值范围．参考答案：（1）[－2,4]（2）【分析】（1）通过讨论的范围得到关于的不等式组，解出即可；（2）根据题意，原问题可以等价函数和函数图象在区间上有交点，结合二次函数的性质分析函数的值域，即可得答案．【详解】解：（1）可化为，故，或，或；解得：，或，或；不等式的解集为；（2）由题意：，．故方程在区间[0,2]有解函数和函数，图像在区间[0,2]上有交点当时，实数的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．21.已知且；：集合且.若∨为真命题，∧为假命题，求实数的取值范围.参考答案：对p：所以．若命题p为真，则有

；对q：∵且∴若命题q为真，则方程无解或只有非正根．∴或,∴∵p,q中有且只有一个为真命题∴(1)p真，q假：则有；(2)p假，q真：则有；略22.已知数列{an}满足an=3an﹣1+3n﹣1（n∈N*，n≥2）且a3=95．（1）求a1，a2的值；（2）求实数t，使得bn=（an+t）（n∈N*）且{bn}为等差数列；（3）在（2）条件下求数列{an}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）当n=2时，a2=3a1+8，当n=3时，a3=3a3+33﹣1=95，可得a2=23，代入即可求得a1=5；（2）由等差数列的性质可知：bn﹣bn﹣1=（an+t）﹣（an﹣1+t）=（an+t﹣3an﹣1﹣3t）=（3n﹣1﹣2t）．可知：1+2t=0，即可求得t的值；（3）由等差数列的通项公式可得bn=+（n﹣1）=n+，求得an=（n+）3n+，采用分组求和及“错位相减法”即可求得数列{an}的前n项和Sn．【解答】解：（1）当n=2时，a2=3a1+8，当n=3时，a3=3a3+33﹣1=95，∴a2=23，∴23=3a1+8，∴a1=5；（2）当n≥2时，bn﹣bn﹣1=（an+t）﹣（an﹣1+t）=（an+t﹣3an﹣1﹣3t）=（3n﹣1﹣2t）．要使{bn}为等差数列，则必须使1+2t=0