高考数学第一轮复习资料教师版

高考数学第一轮复习资料（老师版）第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝{1,2}，B＝{∈A}，则集合A和B的关系为．解析：由集合B＝{∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若∅{2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是．解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{－2≤x<8}，则集合A和B的关系是．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{≥－2}，∴.答案：4．(2009年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{2＋x＝0}关系的韦恩()图是．解析：由{20}，得{-1,0}，则.答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{>5}，集合B＝{>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴AB，∴a<5.答案：a<56．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{＝2a，a∈Z}，B＝{＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{＝4a＋1，a∈Z}，推断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.B组1．设a，b都是非零实数，y＝\f()＋\f()＋\f()可能取的值组成的集合是．解析：分四种状况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，探讨得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝.解析：∵B⊆A，明显m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是个．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，留意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{2＝1}，集合N＝{＝1}，若NM，那么a的值是．解析：M＝{＝1或x＝－1}，NM，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x＝\f(1)＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：0,1，－15．满意{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是个．解析：A中肯定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A＝{＝a＋\f(1,6)，a∈Z}，B＝{＝\f(b,2)－\f(1,3)，b∈Z}，C＝{＝\f(c,2)＋\f(1,6)，c∈Z}，则A、B、C之间的关系是．解析：用列举法找寻规律．答案：＝C7．集合A＝{≤4，x∈R}，B＝{<a}，则“A⊆B”是“a>5”的．解析：结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2010年江苏启东模拟)设集合M＝{＝2n，n∈N，且m<500}，则M中全部元素的和为．解析：∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中全部元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：5119．(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，假如k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的全部集合中，不含“孤立元”的集合共有个．解析：依题可知，由S的3个元素构成的全部集合中，不含“孤立元”，这三个元素肯定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A＝{x，，()}，B＝{0，，y}，且A＝B，试求x，y的值．解：由()知，>0，故x≠0，≠0，于是由A＝B得()＝0，＝1.∴A＝{x,1,0}，B＝{0，，\f(1)}．于是必有＝1，\f(1)＝x≠1，故x＝－1，从而y＝－1.11．已知集合A＝{2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．解：由A＝{2－3x－10≤0}，得A＝{－2≤x≤5}，(1)∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满意B⊆A.②若B≠∅，则\b\\{\\(\a\4\\1(m＋1≤2m－1，,－2≤m＋1，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范围是(－∞，3]．(2)若A⊆B，则依题意应有\b\\{\\(\a\4\\1(2m－1>m－6，－6≤－2，,2m－1≥5.))解得\b\\{\\(\a\4\\1(m>－5，≤4，≥3.))故3≤m≤4，∴m的取值范围是[3,4]．(3)若A＝B，则必有\b\\{\\(\a\4\\1(m－6＝－2，,2m－1＝5，))解得m∈∅.，即不存在m值使得A＝B.12．已知集合A＝{2－3x＋2≤0}，B＝{2－(a＋1)x＋a≤0}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{1≤x≤2}，而集合B＝{(x－1)(x－a)≤0}，(1)若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{1≤x≤a}，故a>2.(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2.(3)若，则必有2其次节集合的基本运算A组1．(2009年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{>0}，B＝{>1}，则A∩∁＝.解析：∁＝{≤1}，∴A∩∁＝{0<x≤1}．答案：{0<x≤1}2．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有个．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝.解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{0≤x≤2}，B＝{≥0}，则AⓐB＝.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2009年高考湖南卷)某班共30人，其中15人宠爱篮球运动，10人宠爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不宠爱，则宠爱篮球运动但不宠爱乒乓球运动的人数为．解析：设两项运动都宠爱的人数为x，画出韦恩图得到方程15108=303，∴宠爱篮球运动但不宠爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{>1}，集合B＝{≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{－1≤x≤2}，∴A∩B＝{1<x≤2}，A∪B＝{≥－1}．(2)若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)B组1．若集合M＝{x∈－3<x<1}，N＝{x∈－1≤x≤2}，则M∩N＝.解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁)∩B＝.解析：∁＝{0,1}，故(∁)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{－2≤x≤2}，N＝{2－3x≤0}，则M∩(∁)＝.解析：依据已知得M∩(∁)＝{－2≤x≤2}∩{<0或x>3}＝{－2≤x<0}．答案：{－2≤x<0}4．集合A＝{3，2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝.解析：由A∩B＝{2}得2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁)∪(∁)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为．解析：U＝A∪B中有m个元素，∵(∁)∪(∁)＝∁U(A∩B)中有n个元素，∴A∩B中有m－n个元素．答案：m－n6．(2009年高考重庆卷)设U＝{是小于9的正整数}，A＝{n∈是奇数}，B＝{n∈是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，得∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A⊗B＝{＝＋\f()，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C的全部元素之和为．解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0,4,5，则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0,8,10，故全部元素之和为18.答案：188．若集合{(x，y)＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)＝3x＋b}，则b＝.解析：由\b\\{\\(\a\4\\1(x＋y－2＝0，－2y＋4＝0.))⇒\b\\{\\(\a\4\\1(x＝0，＝2.))点(0,2)在y＝3x＋b上，∴b＝2.9．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，＋1|}，∁＝{5}，M＝{＝2}，则集合M的全部子集是．解析：∵A∪(∁)＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，＋1|}，∴＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{22，2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A＝{2－3x＋2＝0}，B＝{2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．解：由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{2－4＝0}＝{－2,2}，满意条件；当a＝－3时，B＝{2－4x＋4＝0}＝{2}，满意条件；综上，a的值为－1或－3.(2)对于集合B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满意条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满意条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满意条件，则由根和系数的关系得\b\\{\\(\a\4\\1(1＋2＝－2(a＋1),1×2＝a2－5))⇒\b\\{\\(\a\4\\1(a＝－\f(5,2)，2＝7，))冲突.综上，a的取值范围是a≤－3.11．已知函数f(x)＝\r(\f(6＋1)－1)的定义域为集合A，函数g(x)＝(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B.(1)当m＝3时，求A∩(∁)；(2)若A∩B＝{－1<x<4}，求实数m的值．解：A＝{－1<x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{－1<x<3}，则∁＝{≤－1或x≥3}，∴A∩(∁)＝{3≤x≤5}．(2)∵A＝{－1<x≤5}，A∩B＝{－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{－2<x<4}，符合题意．12．已知集合A＝{x∈2－3x＋2＝0}．(1)若A＝∅，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；(3)求集合M＝{a∈≠∅}．解：(1)A是空集，即方程2－3x＋2＝0无解．若a＝0，方程有一解x＝\f(2,3)，不合题意．若a≠0，要方程2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>\f(9,8).综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应为a>\f(9,8).(2)当a＝0时，方程2－3x＋2＝0只有一根x＝\f(2,3)，A＝{\f(2,3)}符合题意．当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a＝\f(9,8)时，方程有两个相等的实数根x＝\f(4,3)，则A＝{\f(4,3)}．综上可知，当a＝0时，A＝{\f(2,3)}；当a＝\f(9,8)时，A＝{\f(4,3)}．(3)当a＝0时，A＝{\f(2,3)}≠∅.当a≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a≥0，即a≤\f(9,8).综上可知，a的取值范围是a≤\f(9,8)，即M＝{a∈≠∅}＝{≤\f(9,8)}其次章函数第一节对函数的进一步相识A组1．(2009年高考江西卷改编)函数y＝\f(\r(－x2－3x＋4))的定义域为．解析：\b\\{\\(\a\4\\1(－x2－3x＋4≥0，≠0，))⇒x∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f(x)的图象是曲线段，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(\f(1(3)))的值等于．解析：由图象知f(3)＝1，f(\f(1(3)))＝f(1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(3x，x≤1，,－x，x>1.))若f(x)＝2，则x＝.解析：依题意得x≤1时，3x＝2，∴x＝32；当x>1时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故x＝32.答案：324．(2010年黄冈市高三质检)函数f：{1，\r(2)}→{1，\r(2)}满意f[f(x)]>1的这样的函数个数有个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3定义一个映射f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，则f(2,1，－1)＝.解析：由题意知x3＋2x2＋x－1＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3，令x＝－1得：－1＝b3；再令x＝0和x＝1得\b\\{\\(\a\4\\1(－1＝1＋b1＋b2＋b3,3＝8＋4b1＋2b2＋b3))，解得b1＝－1，b2＝0.答案：(－1,0，－1)6．已知函数f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(1＋\f(1)(x>1)，2＋1(－1≤x≤1)，,2x＋3(x<－1).))(1)求f(1－\f(1,\r(2)－1))，f{f[f(－2)]}的值；(2)求f(3x－1)；(3)若f(a)＝\f(3,2)，求a.解：f(x)为分段函数，应分段求解．(1)∵1－\f(1,\r(2)－1)＝1－(\r(2)＋1)＝－\r(2)<－1，∴f(－\r(2))＝－2\r(2)＋3，又∵f(－2)＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f{f[f(－2)]}＝1＋\f(1,2)＝\f(3,2).(2)若3x－1>1，即x>\f(2,3)，f(3x－1)＝1＋\f(1,3x－1)＝\f(3x,3x－1)；若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤\f(3,2)，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2；若3x－1<－1，即x<0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1.∴f(3x－1)＝\b\\{\\(\a\4\\1(\f(3x,3x－1)(x>\f(2,3))，,9x2－6x＋2(0≤x≤\f(2,3))，,6x＋1(x<0).))(3)∵f(a)＝\f(3,2)，∴a>1或－1≤a≤1.当a>1时，有1＋\f(1)＝\f(3,2)，∴a＝2；当－1≤a≤1时，a2＋1＝\f(3,2)，∴a＝±\f(\r(2),2).∴a＝2或±\f(\r(2),2).B组1．(2010年广东江门质检)函数y＝\f(1,\r(3x－2))＋(2x－1)的定义域是．解析：由3x－2>0,2x－1>0，得x>\f(2,3).答案：{>\f(2,3)}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(－2x＋1，(x<－1)，,－3，(－1≤x≤2)，,2x－1，(x>2)，))则f(f(f(\f(3,2))＋5))＝_.解析：∵－1≤\f(3,2)≤2，∴f(\f(3,2))＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f(2)＝－3，∴f(－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f(x)满意2f(x)－f(－x)＝(x＋1)，则f(x)的解析式为．解析：∵对随意的x∈(－1,1)，有－x∈(－1,1)，由2f(x)－f(－x)＝(x＋1)，①由2f(－x)－f(x)＝(－x＋1)，②①×2＋②消去f(－x)，得3f(x)＝2(x＋1)＋(－x＋1)，∴f(x)＝\f(2,3)(x＋1)＋\f(1,3)(1－x)，(－1<x<1)．答案：f(x)＝\f(2,3)(x＋1)＋\f(1,3)(1－x)，(－1<x<1)4．设函数y＝f(x)满意f(x＋1)＝f(x)＋1，则函数y＝f(x)和y＝x图象交点的个数可能是个．解析：由f(x＋1)＝f(x)＋1可得f(1)＝f(0)＋1，f(2)＝f(0)＋2，f(3)＝f(0)＋3，…本题中假如f(0)＝0，那么y＝f(x)和y＝x有多数个交点；若f(0)≠0，则y＝f(x)和y＝x有零个交点．答案：0或多数5．设函数f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2(x＞0)2＋＋c(x≤0)))，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝，关于x的方程f(x)＝x的解的个数为个．解析：由题意得\b\\{\\(\a\4\\1(16－4b＋c＝c,4－2b＋c＝－2))\b\\{\\(\a\4\\1(b＝4＝2))，∴f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2(x＞0)2＋4x＋2(x≤0))).由数形结合得f(x)＝x的解的个数有3个．答案：\b\\{\\(\a\4\\1(2(x＞0)2＋4x＋2(x≤0)))36．设函数f(x)＝(a＞0，a≠1)，函数g(x)＝－x2＋＋c，若f(2＋\r(2))－f(\r(2)＋1)＝\f(1,2)，g(x)的图象过点A(4，－5)及B(－2，－5)，则a＝，函数f[g(x)]的定义域为．答案：2(－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(x2－4x＋6，x≥0＋6，x<0))，则不等式f(x)>f(1)的解集是．解析：由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f(x)>f(1)＝3时，令f(x)＝3，解得x＝1，x＝3.故f(x)>f(1)的解集为0≤x<1或x>3.当x<0，x＋6＝3时，x＝－3，故f(x)>f(1)＝3，解得－3<x<0或x>3.综上，f(x)>f(1)的解集为{－3<x<1或x>3}．答案：{－3<x<1或x>3}8．(2009年高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满意f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2(4－x)，x≤0，(x－1)－f(x－2)，x＞0，))则f(3)的值为．解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝24＝2，∴f(3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是肯定的，设从某时刻起先，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x和容器中的水量y之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x≥20)，y和x之间函数的函数关系是．解析：设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得\b\\{\\(\a\4\\1(5a1＝20,5a1＋15(a1－a2)＝35))，得\b\\{\\(\a\4\\1(a1＝42＝3))，则y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤\f(95,3)，又知x≥20，故解析式为y＝－3x＋95(20≤x≤\f(95,3))．答案：y＝－3x＋95(20≤x≤\f(95,3))10．函数f(x)＝\r((1－a2)x2＋3(1－a)x＋6).(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的定义域为[－2,1]，求实数a的值．解：(1)①若1－a2＝0，即a＝±1，(ⅰ)若a＝1时，f(x)＝\r(6)，定义域为R，符合题意；(ⅱ)当a＝－1时，f(x)＝\r(6x＋6)，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．②若1－a2≠0，则g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6为二次函数．由题意知g(x)≥0对x∈R恒成立，∴\b\\{\\(\a\4\\1(1－a2>0，,Δ≤0，))∴\b\\{\\(\a\4\\1(－1<a<1，,(a－1)(11a＋5)≤0，))∴－\f(5,11)≤a<1.由①②可得－\f(5,11)≤a≤1.(2)由题意知，不等式(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6≥0的解集为[－2,1]，明显1－a2≠0且－2,1是方程(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6＝0的两个根．∴\b\\{\\(\a\4\\1(1－a2<0，,－2＋1＝\f(3(1－a)2－1)，,－2＝\f(6,1－a2)，,Δ＝[3(1－a)]2－24(1－a2)>0))∴\b\\{\\(\a\4\\1(a<－1或a>1，＝2，＝±2<－\f(5,11)或a>1))∴a＝2.11．已知f(x＋2)＝f(x)(x∈R)，并且当x∈[－1,1]时，f(x)＝－x2＋1，求当x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时、f(x)的解析式．解：由f(x＋2)＝f(x)，可推知f(x)是以2为周期的周期函数．当x∈[2k－1,2k＋1]时，2k－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1.∴f(x－2k)＝－(x－2k)2＋1.又f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝…＝f(x－2k)，∴f(x)＝－(x－2k)2＋1，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z.12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时起先加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)．(单位：h，时间可不为整数)(1)写出g(x)，h(x)的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g(x)＝\f(2000,3x)(0<x<216，x∈N*)，h(x)＝\f(1000,216－x)(0<x<216，x∈N*)．(2)f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(\f(2000,3x)(0<x≤86，x∈N*).,\f(1000,216－x)(87≤x<216，x∈N*).))(3)分别为86、130或87、129.其次节函数的单调性A组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f(x)中，满意“对随意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是．①f(x)＝\f(1)②f(x)＝(x－1)2③f(x)＝④f(x)＝(x＋1)解析：∵对随意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数g(x)＝f()(0<a<1)的单调减区间是．解析：∵0<a<1，y＝为减函数，∴∈[0，\f(1,2)]时，g(x)为减函数．由0≤≤\f(1,2)\r(a)≤x≤1.答案：[\r(a)，1](或(\r(a)，1))3．函数y＝\r(x－4)＋\r(15－3x)的值域是．解析：令x＝4＋2α，α∈[0，\f(π,2)]，y＝α＋\r(3)α＝2(α＋\f(π,3))，∴1≤y≤2.答案：[1,2]4．已知函数f(x)＝＋\f()|(a∈R)在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围．解析：当a<0，且＋\f()≥0时，只需满意e0＋\f(0)≥0即可，则－1≤a<0；当a＝0时，f(x)＝＝符合题意；当a>0时，f(x)＝＋\f()，则满意f′(x)＝－\f()≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需满意a≤(e2x)成马上可，故a≤1，综上－1≤a≤1.答案：－1≤a≤15．(原创题)假如对于函数f(x)定义域内随意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的全部函数是．①f(x)＝；②f(x)＝；③f(x)＝；④f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(1(x>0),0(x＝0),－1(x<－1)))解析：∵≥－1，∴f(x)＝的下确界为－1，即f(x)＝是有下确界的函数；∵f(x)＝的值域为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝没有下确界；∴f(x)＝的值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝的下确界为0，即f(x)＝是有下确界的函数；∵f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(1(x>0),0(x＝0),－1(x<－1)))的下确界为－1.∴f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(1(x>0),0(x＝0),－1(x<－1)))是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.(1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)＝f(x)－(x)＋1－m－m2，且(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围.解：(1)x∈R，f(x)<b·g(x)x∈R，x2－＋b<0Δ＝(－b)2－4b>0b<0或b>4.(2)F(x)＝x2－＋1－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4，①当Δ≤0即－\f(2\r(5),5)≤m≤\f(2\r(5),5)时，则必需\b\\{\\(\a\4\\1(\f(m,2)≤0,－\f(2\r(5),5)≤m≤\f(2\r(5),5)))－\f(2\r(5),5)≤m≤0.②当Δ>0即m<－\f(2\r(5),5)或m>\f(2\r(5),5)时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1<x2)，若\f(m,2)≥1，则x1≤0.\b\\{\\(\a\4\\1(\f(m,2)≥1(0)＝1－m2≤0))m≥2.若\f(m,2)≤0，则x2≤0，\b\\{\\(\a\4\\1(\f(m,2)≤0(0)＝1－m2≥0))－1≤m<－\f(2\r(5),5).综上所述：－1≤m≤0或m≥2.B组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是．①y＝－\f(1)②y＝－(x－1)③y＝x2－2④y＝－解析：由函数y＝－的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f(x)＝2(x2－＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是．解析：令g(x)＝x2－＋3a，由题知g(x)在[2，＋∞)上是增函数，且g(2)>0.∴\b\\{\\(\a\4\\1(\f(a,2)≤2，,4－2a＋3a>0，))∴－4<a≤4.答案：－4<a≤43．若函数f(x)＝x＋\f()(a>0)在(\f(3,4)，＋∞)上是单调增函数，则实数a的取值范围．解析：∵f(x)＝x＋\f()(a>0)在(\r(a)，＋∞)上为增函数，∴\r(a)≤\f(3,4)，0<a≤\f(9,16).答案：(0，\f(9,16)]4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R上的偶函数f(x)，对随意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有\f(f(x2)－f(x1)2－x1)<0，则下列结论正确的是．①f(3)<f(－2)<f(1)②f(1)<f(－2)<f(3)③f(－2)<f(1)<f(3)④f(3)<f(1)<f(－2)解析：由已知\f(f(x2)－f(x1)2－x1)<0，得f(x)在x∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f(2)＝f(－2)，即f(3)<f(－2)<f(1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1((x<0)，,(a－3)x＋4a(x≥0)))满意对随意x1≠x2，都有\f(f(x1)－f(x2)1－x2)<0成立，则a的取值范围是．解析：由题意知，f(x)为减函数，所以\b\\{\\(\a\4\\1(0<a<1，－3<0，0≥(a－3)×0＋4a，))解得0<a≤\f(1,4).6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f(x)的图象是如下图所示的折线段，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(3,0)，定义函数g(x)＝f(x)·(x－1)，则函数g(x)的最大值为．解析：g(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2x(x－1)(0≤x<1)，,(－x＋3)(x－1)(1≤x≤3)，))当0≤x<1时，最大值为0；当1≤x≤3时，在x＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，则函数y＝f(\r(x))的值域是．解析：∵\r(x)∈[－1,1]，函数y＝f(x)的值域为[－2,0]，∴y＝f(\r(x))的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f(x)＝3x＋2，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是．解析：∵函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为\b\\{\\(\a\4\\1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))∴x∈[1,3]，令3x＝t，t∈[0,1]，∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，∴当t＝1时，＝13.答案：139．若函数f(x)＝(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，\f(1,2))内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为．解析：令μ＝2x2＋x，当x∈(0，\f(1,2))时，μ∈(0,1)，而此时f(x)>0恒成立，∴0<a<1.μ＝2(x＋\f(1,4))2－\f(1,8)，则减区间为(－∞，－\f(1,4))．而必定有2x2＋x>0，即x>0或x<－\f(1,2).∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－\f(1,2))．答案：(－∞，－\f(1,2))10．试探讨函数y＝2(\f(1,2)x)2－2\f(1,2)x＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．假如令u＝g(x)＝\f(1,2)x，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那么原函数y＝f[g(x)]是由g(x)和f(u)复合而成的复合函数，而u＝\f(1,2)x在x∈(0，＋∞)内是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－\f(1,2))2＋\f(1,2)在u∈(－∞，\f(1,2))上是减函数，在u∈(\f(1,2)，＋∞)上是增函数．又u≤\f(1,2)，即\f(1,2)x≤\f(1,2)，得x≥\f(\r(2),2)；u>\f(1,2)，得0<x<\f(\r(2),2).由此，从下表探讨复合函数y＝f[g(x)]的单调性：函数单调性(0，\f(\r(2),2))(\f(\r(2),2)，＋∞)u＝\f(1,2)xf(u)＝2u2－2u＋1y＝2(\f(1,2)x)2－2\f(1,2)x＋1故函数y＝2(\f(1,2)x)2－2\f(1,2)x＋1在区间(0，\f(\r(2),2))上单调递减，在区间(\f(\r(2),2)，＋∞)上单调递增．11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满意f(\f(x12))＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)推断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f()<－2.解：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则\f(x12)>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f(\f(x12))<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f(\f(x12))＝f(x1)－f(x2)得f(\f(9,3))＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f()<f(9)，得>9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集为{>9或x<－9}．12．已知：f(x)＝3\f(x2＋＋)，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满意下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．解：∵f(x)在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1时，f(x)最小，3\f(1＋a＋b,1)＝1.即a＋b＝2.设0＜x1＜x2≤1，则f(x1)＞f(x2)．即\f(x12＋1＋1)＞\f(x22＋2＋2)恒成立．由此得\f((x1－x2)(x1x2－b)1x2)＞0恒成立．又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1.设1≤x3＜x4，则f(x3)＜f(x4)恒成立．∴\f((x3－x4)(x3x4－b)3x4)＜0恒成立．∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f(x)同时满意三个条件．第三节函数的性质A组1．设偶函数f(x)＝－在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)和f(b＋2)的大小关系为．解析：由f(x)为偶函数，知b＝0，∴f(x)＝，又f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以0<a<1,1<a＋1<2，则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)等于．解析：f(x)为奇函数，且x∈R，所以f(0)＝0，由周期为2可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由f(x＋2)＝f(x)，令x＝－1得f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R上的奇函数f(x)满意f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为．解析：因为f(x)满意f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为f(x)在R上是奇函数，f(0)＝0，得f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－1)＝－f(1)，而由f(x－4)＝－f(x)得f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即f(－25)<f(80)<f(11)．答案：f(－25)<f(80)<f(11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满意f(2x－1)<f(\f(1,3))的x取值范围是．解析：由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f()，由f(|2x－1|)<f(\f(1,3))，再依据f(x)的单调性得|2x－1|<\f(1,3)，解得\f(1,3)<x<\f(2,3).答案：(\f(1,3)，\f(2,3))5．(原创题)已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，对x∈R，f(2＋x)＝f(2－x)，当f(－3)＝－2时，f(2011)的值为．解析：因为定义在R上的函数f(x)是偶函数，所以f(2＋x)＝f(2－x)＝f(x－2)，故函数f(x)是以4为周期的函数，所以f(2011)＝f(3＋502×4)＝f(3)＝f(－3)＝－2.答案：－26．已知函数y＝f(x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式；(3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)＝f(4－5)＝f(－1)，又∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(4)，∴f(1)＋f(4)＝0.(2)当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x－2)2－5(a>0)，由f(1)＋f(4)＝0，得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．(3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)＝(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x.∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15.当6<x≤9时，1<x－5≤4，∴f(x)＝f(x－5)＝2[(x－5)－2]2－5＝2(x－7)2－5.∴f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(－3x＋15，4≤x≤6,2(x－7)2－5，6<x≤9)).B组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)和f(x－1)都是奇函数，则下列结论正确的是．①f(x)是偶函数②f(x)是奇函数③f(x)＝f(x＋2)④f(x＋3)是奇函数解析：∵f(x＋1)和f(x－1)都是奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)，∴函数f(x)关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f(x)是周期T＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f(－x－1＋4)＝－f(x－1＋4)，f(－x＋3)＝－f(x＋3)，即f(x＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R上的函数f(x)满意f(x)＝－f(x＋\f(3,2))，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝.解析：f(x)＝－f(x＋\f(3,2))⇒f(x＋3)＝f(x)，即周期为3，由f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，所以f(1)＝－1，f(2)＝－1，f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2009)＋f(2010)＝f(2008)＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝1，若将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝.解析：f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，将f(x)的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满意f(－2＋x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x)，所以周期为4，f(1)＝1，f(2)＝f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝f(4)×502＋f(2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，那么关于x的不等式(x)<0的解集是．解析：在(0，＋∞)上有f′(x)>0，则在(0，＋∞)上f(x)是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f(x)在R上是偶函数，且f(－1)＝0，∴f(1)＝0.从而可知x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；x∈(－1,0)时，f(x)<0；x∈(0,1)时，f(x)<0；x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)．5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2(x＋1)，则f(－2009)＋f(2010)的值为．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在x≥0时f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为2.∴f(－2009)＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝22＋21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f(x)是偶函数，并且对于定义域内随意的x，满意f(x＋2)＝－\f(1(x))，若当2<x<3时，f(x)＝x，则f(2009.5)＝.解析：由f(x＋2)＝－\f(1(x))，可得f(x＋4)＝f(x)，f(2009.5)＝f(502×4＋1.5)＝f(1.5)＝f(－2.5)∵f(x)是偶函数，∴f(2009.5)＝f(2.5)＝\f(5,2).答案：\f(5,2)7．(2010年安徽黄山质检)定义在R上的函数f(x)在(－∞，a]上是增函数，函数y＝f(x＋a)是偶函数，当x1<a，x2>a，且1－<2－时，则f(2a－x1)和f(x2)的大小关系为．解析：∵y＝f(x＋a)为偶函数，∴y＝f(x＋a)的图象关于y轴对称，∴y＝f(x)的图象关于x＝a对称．又∵f(x)在(－∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a，＋∞)上是减函数．当x1<a，x2>a，且1－<2－时，有a－x1<x2－a，即a<2a－x1<x2，∴f(2a－x1)>f(x2)．答案：f(2a－x1)>f(x2)8．已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝.解析：当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)>0，由f(x)为奇函数知x<0时，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a＋1)＝2，∴a＝2(舍)或a＝－1.答案：－19．(2009年高考山东卷)已知定义在R上的奇函数f(x)满意f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝.解析：因为定义在R上的奇函数，满意f(x－4)＝－f(x)，所以f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0.由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.答案：-810．已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－(2－x)，求f(x)的解析式．解：∵f(x)是奇函数，可得f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.当x>0时，－x<0，由已知f(－x)＝(2＋x)，∴－f(x)＝(2＋x)，即f(x)＝－(2＋x)(x>0)．∴f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(－(2－x)(x<0)，,－(2＋x)(x≥0).))即f(x)＝－(2＋)(x∈R)．11．已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)假如x∈R＋，f(x)<0，并且f(1)＝－\f(1,2)，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R，其定义域关于原点对称．∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0.∴f(x)＋f(－x)＝0，得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)法一：设x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．∵x∈R＋，f(x)<0，∴f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)<f(x)．∵x＋y>x，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(x)为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－\f(1,2)，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x1<x2，且x1，x2∈R.则f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∵x2－x1>0，∴f(x2－x1)<0.∴f(x2)－f(x1)<0.即f(x)在R上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－\f(1,2)，∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3.∴所求f(x)在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．已知函数f(x)的定义域为R，且满意f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝\f(1,2)x，求使f(x)＝－\f(1,2)在[0,2010]上的全部x的个数．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x≤1时，f(x)＝\f(1,2)x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝\f(1,2)(－x)＝－\f(1,2)x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－\f(1,2)x，即f(x)＝\f(1,2)x.故f(x)＝\f(1,2)x(－1≤x≤1)又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝\f(1,2)(x－2)，又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f[(－x)＋2]＝－[－f(－x)]＝－f(x)，∴－f(x)＝\f(1,2)(x－2)，∴f(x)＝－\f(1,2)(x－2)(1<x<3)．∴f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(\f(1,2)x(－1≤x≤1),－\f(1,2)(x－2)(1<x<3)))由f(x)＝－\f(1,2)，解得x＝－1.∵f(x)是以4为周期的周期函数．故f(x)＝－\f(1,2)的全部x＝4n－1(n∈Z)．令0≤4n－1≤2010，则\f(1,4)≤n≤502\f(3,4)，又∵n∈Z，∴1≤n≤502(n∈Z)，∴在[0,2010]上共有502个x使f(x)＝－\f(1,2).第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a>1，b<0，且＋a－b＝2\r(2)，则－a－b的值等于．解析：∵a>1，b<0，∴0<<1，a－b>1.又∵(＋a－b)2＝a2b＋a－2b＋2＝8，∴a2b＋a－2b＝6，∴(－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴－a－b＝－2.答案：－22．已知f(x)＝＋b的图象如图所示，则f(3)＝.解析：由图象知f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3.又f(2)＝a2－3＝0，∴a＝\r(3)，则f(3)＝(\r(3))3－3＝3\r(3)－3.答案：3\r(3)－33．函数y＝(\f(1,2))2x－x2的值域是．解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，∴(\f(1,2))2x－x2≥\f(1,2).答案：[\f(1,2)，＋∞)4．(2009年高考山东卷)若函数f(x)＝－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是．解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝和函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，0<a<1时两函数图象有惟一交点，故a>1.答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f(x)＝－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a等于．解析：由题意知\b\\{\\(\a\4\\1(0<a<12－1＝00－1＝2))无解或\b\\{\\(\a\4\\1(a>10－1＝02－1＝2))⇒a＝\r(3).答案：\r(3)6．已知定义域为R的函数f(x)＝\f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对随意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，即\f(－1＋b,2＋a)＝0，解得b＝1.从而有f(x)＝\f(－2x＋1,2x＋1＋a).又由f(1)＝－f(－1)知\f(－2＋1,4＋a)＝－\f(－\f(1,2)＋1,1＋a)，解得a＝2.(2)法一：由(1)知f(x)＝\f(－2x＋1,2x＋1＋2)＝－\f(1,2)＋\f(1,2x＋1)，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0⇔f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－\f(1,3).法二：由(1)知f(x)＝\f(－2x＋1,2x＋1＋2)，又由题设条件得\f(－2t2－2t＋1,2t2－2t＋1＋2)＋\f(－22t2－k＋1,22t2－k＋1＋2)<0即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故3t2－2t－k>0上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－\f(1,3).B组1．假如函数f(x)＝＋b－1(a>0且a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么肯定有．①0<a<1且b>0②0<a<1且0<b<1③a>1且b<0④a>1且b>0解析：当0<a<1时，把指数函数f(x)＝的图象向下平移，视察可知－1<b－1<0，即0<b<1.答案：②2．(2010年保定模拟)若f(x)＝－x2＋2和g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是．解析：f(x)＝－x2＋2＝－(x－a)2＋a2，所以f(x)在[a，＋∞)上为减函数，又f(x)，g(x)都在[1,2]上为减函数，所以需\b\\{\\(\a\4\\1(a≤1＋1>1))⇒0<a≤1.答案：(0,1]3．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且满意以下条件①f(x)＝·g(x)(a>0，a≠1)；②g(x)≠0；若\f(f(1)(1))＋\f(f(－1)(－1))＝\f(5,2)，则a等于．解析：由f(x)＝·g(x)得\f(f(x)(x))＝，所以\f(f(1)(1))＋\f(f(－1)(－1))＝\f(5,2)⇒a＋a－1＝\f(5,2)，解得a＝2或\f(1,2).答案：2或\f(1,2)4．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，其反函数为f－1(x)．若f(2)＝9，则f－1(\f(1,3))＋f(1)的值是．解析：因为f(2)＝a2＝9，且a>0，∴a＝3，则f(x)＝3x＝\f(1,3)，∴x＝－1，故f－1(\f(1,3))＝－1.又f(1)＝3，所以f－1(\f(1,3))＋f(1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f(x)＝(\f(1,3))x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为．解析：设y＝g(x)上随意一点P(x，y)，P(x，y)关于x＝1的对称点P′(2－x，y)在f(x)＝(\f(1,3))x上，∴y＝(\f(1,3))2－x＝3x－2.答案：y＝3x－2(x∈R)6．(2009年高考山东卷改编)函数y＝\f(＋e－－e－x)的图象大致为．解析：∵f(－x)＝\f(e－x＋－x－)＝－\f(＋e－－e－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，解除④.又∵y＝\f(＋e－－e－x)＝\f(e2x＋12x－1)＝\f(e2x－1＋22x－1)＝1＋\f(22x－1)在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，解除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f(x)满意：当x≥4时，f(x)＝(\f(1,2))x；当x<4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋23)＝.解析：∵2<3<4＝22，∴1<23<2.∴3<2＋23<4，∴f(2＋23)＝f(3＋23)＝f(224)＝(\f(1,2))224＝2－224＝22\f(1,24)＝\f(1,24).答案：\f(1,24)8．(2009年高考湖南卷改编)设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(f(x)，f(x)≤K，，f(x)>K.))取函数f(x)＝2－，当K＝\f(1,2)时，函数(x)的单调递增区间为．解析：由f(x)＝2－≤\f(1,2)得x≥1或x≤－1，∴(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2－，x≥1或x≤－1，,\f(1,2)，－1<x<1.))则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]9．函数y＝2的定义域为[a，b]，值域为[1,16]，当a变动时，函数b＝g(a)的图象可以是．解析：函数y＝2的图象如图．当a＝－4时，0≤b≤4，当b＝4时，－4≤a≤0，答案：②10．(2010年宁夏银川模拟)已知函数f(x)＝a2x＋2－1(a>0，且a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，求实数a的值．解：f(x)＝a2x＋2－1＝(＋1)2－2，∵x∈[－1,1]，(1)当0<a<1时，a≤≤\f(1)，∴当＝\f(1)时，f(x)取得最大值．∴(\f(1)＋1)2－2＝14，∴\f(1)＝3，∴a＝\f(1,3).(2)当a>1时，\f(1)≤≤a，∴当＝a时，f(x)取得最大值．∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3.综上可知，实数a的值为\f(1,3)或3.11．已知函数f(x)＝\f(－2,2x－a＋1).(1)求证：f(x)的图象关于点M(a，－1)对称；(2)若f(x)≥－2x在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)证明：设f(x)的图象C上任一点为P(x，y)，则y＝－\f(2,2x－a＋1)，P(x，y)关于点M(a，－1)的对称点为P′(2a－x，－2－y)．∴－2－y＝－2＋\f(2,2x－a＋1)＝\f(－2·2x－a,2x－a＋1)＝\f(－2,1＋2－(x－a))＝\f(－2,2(2a－x)－a＋1)，说明点P′(2a－x，－2－y)也在函数y＝\f(－2,2x－a＋1)的图象上，由点P的随意性知，f(x)的图象关于点M(a，－1)对称．(2)由f(x)≥－2x得\f(－2,2x－a＋1)≥－2x，则\f(2,2x－a＋1)≤2x，化为2x－a·2x＋2x－2≥0，则有(2x)2＋2a·2x－2·2a≥0在x≥a上恒成立．令g(t)＝t2＋2a·t－2·2a，则有g(t)≥0在t≥2a上恒成立．∵g(t)的对称轴在t＝0的左侧，∴g(t)在t≥2a上为增函数．∴g(2a)≥0.∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则a≥0.即实数a的取值范围为a≥0.12．(2008年高考江苏)若f1(x)＝3－p1|，f2(x)＝2·3－p2|，x∈R，p1、p2为常数，且f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(f1(x)，f1(x)≤f2(x)，2(x)，f1(x)>f2(x).))(1)求f(x)＝f1(x)对全部实数x成立的充要条件(用p1、p2表示)；(2)设a，b是两个实数，满意a<b，且p1、p2∈(a，b)．若f(a)＝f(b)，求证：函数f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为\f(b－a,2)(闭区间[m，n]的长度定义为n－m)．解：(1)f(x)＝f1(x)恒成立⇔f1(x)≤f2(x)⇔3－p1|≤2·3－p2|⇔3－p1|－－p2|≤2⇔－p1|－－p2|≤32.(*)若p1＝p2，则(*)⇔0≤32，明显成立；若p1≠p2，记g(x)＝－p1|－－p2|，当p1>p2时，g(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(p1－p2，x<p2，,－2x＋p1＋p2，p2≤x≤p1，2－p1，x>p1.))所以g(x)＝p1－p2，故只需p1－p2≤32.当p1<p2时，g(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(p1－p2，x<p1；,2x－p1－p2，p1≤x≤p2；2－p1，x>p2.))所以g(x)＝p2－p1，故只需p2－p1≤32.综上所述，f(x)＝f1(x)对全部实数x成立的充要条件是1－p2|≤32.(2)证明：分两种情形探讨．①当1－p2|≤32时，由(1)知f(x)＝f1(x)(对全部实数x∈[a，b])，则由f(a)＝f(b)及a<p1<b易知p1＝\f(a＋b,2).再由f1(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(3p1－x，x<p1，,3x－p1，x≥p1，))的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度为b－\f(a＋b,2)＝\f(b－a,2).②当1－p2|>32时，不妨设p1<p2，则p2－p1>32.于是，当x≤p1时，有f1(x)＝3p1－x<3p2－x<f2(x)，从而f(x)＝f1(x)．当x≥p2时，f1(x)＝3x－p1＝3p2－p1·3x－p2>332·3x－p2＝f2(x)，从而f(x)＝f2(x)．当p1<x<p2时，f1(x)＝3x－p1及f2(x)＝2·3p2－x，由方程3x0－p1＝2·3p2－x0，解得f1(x)和f2(x)图象交点的横坐标为x0＝\f(p1＋p2,2)＋\f(1,2)32.①明显p1<x0＝p2－\f(1,2)[(p2－p1)－32]<p2，这表明x0在p1和p2之间．由①易知f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(f1(x)，p1≤x≤x0，2(x)，x0<x≤p2.))综上可知，在区间[a，b]上，f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(f1(x)，a≤x≤x0，2(x)，x0<x≤b.))故由函数f1(x)和f2(x)的单调性可知，f(x)在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为(x0－p1)＋(b－p2)，由于f(a)＝f(b)，即3p1－a＝2·3b－p2，得p1＋p2＝a＋b＋32.②故由①②得(x0－p1)＋(b－p2)＝b－\f(1,2)(p1＋p2－32)＝\f(b－a,2).综合①、②可知，f(x)在区间[a，b]上单调增区间的长度之和为\f(b－a,2).其次节对数函数A组1．(2009年高考广东卷改编)若函数y＝f(x)是函数y＝(a>0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(\r(a)，a)，则f(x)＝.解析：由题意f(x)＝，∴a＝\f(1,2)＝\f(1,2)，∴f(x)＝\f(1,2)x.答案：\f(1,2)x2．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝3π，b＝2\r(3)，c＝3\r(2)，则a、b、c的大小关系是．解析：a＝3π>1，b＝2\r(3)＝\f(1,2)23∈(\f(1,2)，1)，c＝3\r(2)＝\f(1,2)32∈(0，\f(1,2))，故有a>b>c.答案：a>b>c3．若函数f(x)＝，则f(43)＝.解析：0<43<1，∴f(43)＝443＝3.答案：34．如图所示，若函数f(x)＝－1的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝\f(1＋1)的图象是．解析：由已知将点(4,2)代入y＝－1，∴2＝a4－1，即a＝2\f(1,3)>1.又\f(1＋1)是单调递减的，故g(x)递减且过(0,0)点，∴④正确．答案：④5．(原创题)已知函数f(x)＝2x＋3x＋2，且f(\f(1,2010))＝4，则f(2010)的值为_．解析：设F(x)＝f(x)－2，即F(x)＝2x＋3x，则F(\f(1))＝2\f(1)＋3\f(1)＝－(2x＋3x)＝－F(x)，∴F(2010)＝－F(\f(1,2010))＝－[f(\f(1,2010))－2]＝－2，即f(2010)－2＝－2，故f(2010)＝0.答案：06．若f(x)＝x2－x＋b，且f(2a)＝b，2f(a)＝2(a>0且a≠1)．(1)求f(2x)的最小值及相应x的值；(2)若f(2x)>f(1)且2f(x)<f(1)，求x的取值范围．解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b，∴f(2a)＝(2a)2－2a＋b＝b，∴2a＝1，∴a＝2.又∵2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝2.∴f(x)＝x2－x＋2.∴f(2x)＝(2x)2－2x＋2＝(2x－\f(1,2))2＋\f(7,4).∴当2x＝\f(1,2)，即x＝\r(2)时，f(2x)有最小值\f(7,4).(2)由题意知\b\\{\\(\a\4\\1((2x)2－2x＋2>2，2(x2－x＋2)<2.))∴\b\\{\\(\a\4\\1(2x<0或2x>1，,0<x2－x＋2<4.))∴\b\\{\\(\a\4\\1(0<x<1或x>2，,－1<x<2.))∴0<x<1.B组1．(2009年高考北京卷改编)为了得到函数y＝\f(x＋3,10)的图象，只需把函数y＝的图象上全部的点．解析：∵y＝\f(x＋3,10)＝(x＋3)－1，∴将y＝的图象上的点向左平移3个单位长度得到y＝(x＋3)的图象，再将y＝(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝(x＋3)－1的图象．答案：向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2．(2010年安徽黄山质检)对于函数f(x)＝定义域中随意x1，x2(x1≠x2)有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③\f(f(x1)－f(x2)1－x2)>0；④f(\f(x1＋x2,2))<\f(f(x1)＋f(x2),2).上述结论中正确结论的序号是．解析：由运算律f(x1)＋f(x2)＝1＋2＝1x2＝f(x1x2)，所以②对；因为f(x)是定义域内的增函数，所以③正确；f(\f(x1＋x2,2))＝\f(x1＋x2,2)，\f(f(x1)＋f(x2),2)＝\f(1＋2,2)＝\r(x1x2)，∵\f(x1＋x2,2)≥\r(x1x2)，且x1≠x2，∴\f(x1＋x2,2)>\r(x1x2)，所以④错误．答案：②③3．(2010年枣庄第一次质检)对随意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝\b\\{\\(\a\4\\1(a(a≤b)(a>b)))，则函数f(x)＝\f(1,2)(3x－2)*2x的值域为．解析：在同始终角坐标系中画出y＝\f(1,2)(3x－2)和y＝2x两个函数的图象，由图象可得f(x)＝\b\\{\\(\a\4\\1(2x(0<x≤1)\f(1,2)(3x