材料力学静定结构位移张

材料力学

第5章静定结构位移§5–1概述§5–2梁的挠曲线近似微分方程及其积分§5–3叠加法计算弯曲变形xyxyPy=y(x)梁在平面弯曲时，其轴线弯成一平面曲线，称为梁的挠曲线。梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用y来表示。挠度以向下为正，向上为负。梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用

来表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的挠度方程和转角方程。§5–1概述xyxyPy=y(x)梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂直，由高等数学可知：小变形下，很小，tg≌，于是得这就是梁的变形，挠度与转角的关系。挠曲线的曲率与弯矩间的关系为由高等数学可知，曲线的曲率为小变形下，很小，，于是得§5–2梁的挠曲线近似微分方程及其积分xyMMxyMM这就是梁的挠曲线近似微分方程，由此微分方程积分一次可求转角，再积分一次可求挠度。为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为转角方程挠度方程

解题关键：

⒈正确建立梁的弯矩方程M（x）。若梁的各段弯矩方程不同，需分段建立；每段梁都要积分两次，均出现两个积分常数，需通过边界条件和变形连续条件来确定。⑴边界条件（支承条件）固定端：铰支座（固定铰支座和可动铰支座）：⑵变形连续条件在两段梁的交界面：=0，y=0。y=0。⒉确定积分常数。解题步骤：⒈建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，x轴水平向右，y轴竖直向下；⒉将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁的弯矩方程；⒊将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，并积分两次；⒋根据边界条件和变形连续条件确定积分常数；⒌将要求变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求指定截面的转角和挠度。例1求图示悬臂梁B截面的转角和挠度。ABq解：EIxxyqBll-xFs(x)M(x)ABqEIxxyl确定积分常数：ABqEIxxyl转角方程挠度方程例2求图示外伸梁B截面的转角和C截面的挠度。EIABCPx1x2xyYA=P/2解：l/2lEIABCPx1x2xyYA=P/2l/2lEIABCPx1x2xyYA=P/2l/2l例3用积分法计算图示简支梁的A，B，yC。EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2解：EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2例4用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？ACDP2x1x3yBP1l/2l/4l/4x2xqqABCxxylEAa例5用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？ACPx3yBl/2l/2x2xqqABx1xyll/2x1DDCx2x3l/2l/2l一、简单梁简单荷载下的变形ABEIlABEIlABEIlmPq§4–3叠加法计算弯曲变形ABmABl/2ABEIEIEIql/2Pl/2l/2l/2l/2CCC二、迅叠加售法计劣算梁劲的变较形ABl/2EIl/2PCm=疮PlABEIl/2l/2CABl/2EIl/2PC=+m=P兰l==++三、几摸种基本屡变化⒈悬位臂梁⑴荷败载在俗內侧烤，求浩端部抗位移abABPCEIyB⑵荷敏载在里外侧宾，求盯内侧存位移abABPCEIyBABPCCabPM=PbFs掩=P⒉外乎伸梁PABClaycyc1BaABlaPFs=岩PM=钥PaPBBCBCCBayc1P例6求图腐示梁B，C截面每的转俭角和巨挠度寒。ABCEIl/2l/2q解：ABCEIqABCEIq+ABCEIl/2l/2qABCEIqABCEIq+ABCEIl/2l/2qABCEICqFs嘴=ql/2Fs=ql/2M=q牛l2/8l/2例7求图示刺梁A截面的继转角和铸挠度。ABCDP=qlEIql/2l/2l/2ABCDP=qlEIql/2l/2l/2BFs=ql/2Fs=ql/2M=q纪l2/8Aq解：例8求图预示阶廉梯形屠悬臂场梁自风由端吸的转减角和悼挠度怜。ABC2EIaaPEIAC2EIaBCPFs叔=PFs铜=PaBPEIM=P巴a解：CABC2EIaaPEIAC2EIaBCPFs=障PFs=苏PaBPEIM=麻PaC§5涛–4蛙梁的夜刚度厚条件一、揭梁的堡刚度叙条件梁要桐正常晓工作族，其贴应力振要控拉制在唐一定瘦的范素围内忍，即文满足强度条录件；同贯时梁舞的变悦形也递要控贞制在样一定眠的范敬围内醒，即茅满足刚度斥条件。土建类特工程，苹主要要突求梁的集最大挠猪度与跨迁长之比陕要小于山或等于替容许值珍，即×机械窝类工释程，伙传动缓轴是访装在这轴承摘上，叹轴的坡转角竖过大肚会损视坏轴椅承，非因此取要求宴轴在诸轴承域处的醋转角斜必须丧小于块或等迟于容态许值理，即二、提钉高梁的通抗弯能烧力的主侦要措施⒈增区大梁的歪抗弯刚锦度EI因各种朗钢材的卫弹性模允量差别角不大，移对于钢端梁来说把，只有敌改善截陵面形状女，增大加截面的统惯性矩水，才能渔提高梁炸的抗弯罚刚度EI。如采剥用工勿字形苗、槽洗形、锯箱形替等。×⒉答减小误梁的让跨度因梁守的变拐形与此跨度炭的若美干次害幂成丈正比愉，减捎小跨魔度可异有效屿地降报低梁洗的变中形。丛如改羊变支绝座位贵置、系增加传支座迈等。ABEIqABEIlqק5–捎5末简宣单超静蔽定梁的岂解法计算俊梁的邻内力痕、应望力、共变形萄，首欺先要驴求出期梁的疯支座炉反力察。静当定梁杀的全招部支套座反育力均燃可用绒平衡揪方程质求之母，但布超静轻定梁壁的支席座反罪力数渡多于拦平衡学方程志数，侦需通亮过变差形条浩件增猫加补托充方掀程方诞可求为解。ABCEIPl/2l/2FAFBMA×ACEIPl/2l/2FAMAFBB多余爽约束锯可以搭选择袭，无局论去奸掉哪健个多蜓余约嘱束，曾最终罗结果陶相同奶。去掉多撇余约束林支座B，将支座B的反力殃视为荷术载，静必定梁AB在荷请载P、FB作用下稳，B端挠度庸为零。×BCEIPl/2l/2YAFBMAAP3Pl/16Pl规/4M图⊕○－×上述激解超雷静定变梁的胳方法元称为变形比耕较法。具波体解村题步直骤如油下：⑴去掉多祖余约束绣，代之蛛以相应骨的多余边约束反刑力；⑵根据多疼余约束内处的变全形关系沫建立补悄充方程捆；⑶解补蜂充方关程求流出多翻余约弊束反百力；⑷将多余国约束反植力视为膊主动力崇，将原段超静定脸梁视为叫静定梁对，然后驾按静定蛙梁求解锻其它问厨题。×例10解图材示超市静定责梁，摆并画各弯矩昏图。AB2aCaaEIPABCEIPFC解：去掉可屯动支座C，代之梦以反兆力FC。ABPBFCFCFC2aFC×ABCEIPFC=－3P/32M图3Pa/16Pa/2⊕○－×例11求图示世各梁的纷固端弯监矩。ABCDPEIEIa2aPDACCF1F1′BCF2F2′解：将各猪梁从C处拆鹅开，薪代以碰相应跟的约匪束反扭力。×ABCDPEIEIEIa2aPDACCF1F1′BCF2