相似原则与缩尺模型试验

相似理论与模拟实验

授课对象：研究生

授课教师：姚直书二О一一年二月1概述

1.1引言人们在对自然规律的不倦探索过程中，首先采用数理分析的方法对自然现象进行计算和分析，这是人们探索自然的一种有力工具。随后采用现场测试来解决一些比较直观的现象，推动了生产的发展。但自然界的现象毕竟是错综复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或根本无法解决，于是迫使人们不得不走直接实验的道路。

但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性，在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓住现象的本质（全部），从而无法向实验条件范围以外的同类现象推广。 但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自然规律研究的全新理论——“相似理论”便应运而生了。它是把数学解析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。

当今，社会生产在不断发展，各个产业部门所提出问题日益复杂和繁多。用数学解析法（理论解）来解决这些课题愈来愈感到困难。有些课题至今尚未得到解析解，或者只作一些假设或简化后再求解，因而带来了一些误差。为了解决生产中和工程中提出的问题，人们开展了模型试验研究。各种研究方法比较：理论分析法——解析解较多。数值计算——仿真分析——由于土木工程的一些不确定因素，输入参数难以精确，还有模型简化等问题，存在一定局限性。现场实测——只有在工程施工过程中进行，投入较大，周期长。模型实验——可使工程中发生的现象在实验室中再现出来，而且还可以对试验中主要因素进行独立控制。与现场实测相比，可进行方案的前期优化，具有省时、省力的优点。1.2相似理论相似理论——是说明自然界和工程中各种相似现象相似原理的学说。它的理论基础，是关于相似的三个定理。以相似理论为指导，形成研究自然界和工程中各种相似现象的新方法，即所谓的“相似方法”。

“相似方法”——是一种可以把个别现象的研究成果，推广到所有相似的现象上去的科学方法。

“模拟”——一般情况是指在实验室条件下，用缩小的（特殊情况下也有放大的）模型来进行现象的研究。

“模拟试验”——用人工的方法再现自然界的某一现象。

模拟：（a）、原型；(b)、模型。这样，又引伸出“模型试验”的概念。

模型试验是相似方法的重要内容。在研究中起着很重要的作用，从相似理论的角度出发，“模型”——是与物理系统密切有关的装置，通过对它的观察与试验，可以在需要的方面精确地预测系统的性能。这个被预测的物理系统，通常被叫做“原型”。

根据这个定义，为了利用一个模型，当然有必要在模型与原型间满足某种关系。这种关系称为模型设计条件，或系统的相似性要求。由此可见，相似理论与模型试验的关系是十分密切的，是整个问题的两个组成部分。

1.3模型试验的意义和现状 模型试验的意义，可从五个方面加以说明： ①模型试验作为一种研究手段，可以严格控制试验对象的主要参数而不受外界条件和自然条件的限制，做到结果准确。 ②模型试验有利于在复杂的试验过程中突出主要矛盾，便于把握、发现现象的内在联系。并且有时可用来对原型所得结论进行校验。 ③由于模型与原型相比，尺寸一般都是按比例缩小的。故制造加工方便，节省资金、人力和时间。 ①

模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不能直接研究的实物对象的性能。 ②

当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。 目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用前景。1.4物理模拟和数学模拟模拟试验——简单地说，是用人工的方法再现自然界的某一现象。物理模拟——是指基本现象相同情况下的模拟，也称为同类模拟。这时模型与原型的所有物理量相同，物理本质一致。区别只在于各物理量的大小比例不同。（两个现象物理量及其性质相同，只有大小不同）。数学模拟——是指存在于不同类型现象之间的模拟这时模型与原型的物理过程有本质的区 别，但它们的对应量都遵循着同样的方 程式，具有数学上的相似性。如二阶运 算子:▽2=的微分方程， 它可代表重力场、电势场、温度场等。 这时，人们只要对不同的物理量建立起 一一对应关系，便可用一个现象去类比 另一不同现象的解。 在工程中，常用电场来模拟温度场、材料的应力场和有限自由度的振动系统。

下面以单自由度振动系统的电模拟法为例来说明这个问题。

右边代表一个L—R—C串联电路，现在要由它来模拟左边由k，m，u组成的单自由度振动系统。 作为它们一一对比的量是：电感L质量m

电阻R阻尼u

电容C弹簧k

外加电压E外力F，电荷q位移y，

(——单位时间的电荷变化量。)

它们之间方程式和初始相似性在于：

ky=F(t)

t=0时，y=y0

，。

L+R

t=0时,q=q0，。 所以，只要适当地选择各种物理量和初始条件，就能使y(t)和q(t)在对应的时间内完全成比例地变化 因此，通过测量各种电量就能换算出位移、速度等机械量。

类似这种电路系统，当其适应性很强时，就是通常所说的模拟计算机。（仿真系统）。物理模拟和数学模拟各有其特点:物理模拟可把具体的现象再现出来，较之数学模拟能更全面地表现被模拟的现象。数学模拟由于以方程为基础，可较方便地看出各种参量对结果的影响。

物理模拟试验：相似材料模型试验；光弹性模拟试验；其它模拟试验：离心模型试验；底摩擦模型试验（模 拟重力场）。测试技术：电测光测 声测测试系统：传感器→量测仪表→记录分析器。2

量纲理论

2.1量纲

——物理量的广义度量单位，相同的物理量具有相同的量纲。如尺寸（长度）——[L]

力[F]

时间[T]

它是表示物理量的种类，不是单位。如长度单位有m，cm，mm，但量纲皆为[L]。2.2．基本量纲与导出量

力学系统：[F]、[L]、[T]为基本量纲。基本量纲具有：(a)、独立性

(b)、完整基本量纲不是固定不变的，可根据具体研究问题决定。一般选[F]、[L]、[T]较为方便。

v[v]=[L]/[T]

导出量纲：根据定义、定律由基本量纲导出的量纲。

F=mam=[M]=导出量纲：某一量：[Q]=[La·Fb·Tc][M]=[F][T2]/[L]

则a=-1b=1c=2无量纲量：如应变ε[ε]=[L0FºTº]=[1]

泊松比u

无量纲量：与单位无关，模型大小可不相同。2.3微商舍的量漆纲s与ds的量反纲皆组为[L图]。t与dt的量育纲皆钟为[T垂]。v=，[V]钢=a=，[a才]=2.驾4量纲的奖性质a、相同平的物理攻量具有文相同的掘量纲，轨但相同牙的量纲办具有不录同的物储理量。如应秋力和悟弹性侮模量要，σ、E，b、同量秒纲的物征理量的惹比值为嫌无量纲侧的量，伴此量与叉单位无锈关。（ε=σ待/E）c、基蒜本量傍纲的雄组合索不能铜成为冤无量蛾纲的慈量，愚但基毛本量详纲与辨导出小量纲辟的组泽合可迎成为目无量燃的量害。如，,2．5量纲破的齐丑次原凭则一个物切理方程敬各项的加量纲相盏同，称球为量纲组齐次原赛则。对于妄完全他方程跌，除疏以方粉程中失的任血一项少，将学变为匆无量侍纲的遍量。如敢：s=哄v0t+街[L观]但对降于非订完全倘方程艰如P=标0.恳01核3H箱(重液尊公式)则不席成立衔。2.穿6量纲穴分析基本量独纲为:办[L兴][耀M]终[T胶]例1、现在敞研究一万个动力否学问题催，即m、t、v、F间相况互桨关系，菊简写为叛：F=忍f(储m,束t，v)F=煤k.宜ma.tb.vc[F炸]=肆k[饱MaTb]醉①-2]嘱②两式谎量纲怪相同凶：a=倍1,b-朋c=克-2c=搏1所以F=k畏mt-1v=沟k(——牛顿准兆则。例2：均布预荷载蕉作用谎下简伪支梁牺的跨柄中挠醋度。[解]盘y趴=f(童q，EI，L)基本量妨纲：[F]女[L疾]静力学滑问题，玻与时间侮无关。[y在]=谷[L屠]y=k模qa(E遮I)b.Lc[L]诊=k[叠FaL-a.(FbL-2伴b.L4b).撑Lc][L]：1=围-a俱-2缸b+册4b妙+c顺①[F]：0=a漂+b具②∴∴顷y=月k校q-b[EI愉]bL1-棚3b令：d=-量b再∴滤y=搭k做二泼次试咬验后辈解得泪：d=1谎,k亡=∴y统=从上面羽二例可蛾以看出菜，采用牌量纲分专析法求皱等式的李关键在邮于：选择的货物理参车数要正拐确。量纲岩分析逆法除茶了求强导相押似准澡则外观，还慢可用挣于：品（1）、导惕出无量幕纲量；英（2）、存可简世化方哥程，淹把多欧个物美理量棚减少散等，竹其用球途较违多。3、相或似符理论3.1相似概皆论相似——两种物堵理量对横应时刻牌的对应赖点成比柜例，可攻称相似。3.嘴1.嫌1几何菠相似——对应酸尺寸勇成比朽例。如两个锤三角形袋相似，辱对应边授成比例卧，比例扰值CL称为几何冠相似妙常数。对应角旱相等（派角度为咽无量纲阀的量）离。CL1-穷2=相似洋常数相似轻常数——一对缴相似翻现象愈中所横有对着应点杨在对扁应时归刻上井同一规物理轧量均将保持亿其比扫值不缘瑞变。=i尖do技m（相蛋似不乳变量诸）相似隆不变所量——在对吴应点将和对区应时氏刻上犯保持巧相同克的数饱值。所有内相似展相象抛的相狱似不章变量化是一帝个常假数，纷不变壤的。膏它是患一个未无量臂纲的失量。一个藏现象献中的榆几个烈量的蚂比值蚕，在姻所有庸与它呀相似矩的现斩象中临保持私不变纯。在所葬有相贷似现者象中腊，某伟一量尘（无瞎量纲转综合侨数群吧）在缩慧相对歉应点怖和相硬对应挥时刻妖上保姐持相归同的徐数值殃。梁的漂截面忠模量w=Cw=CI=C3.碑1.蛛2物理辉相似荷载筑相似——模型糖与原刻型在镰对应房诚点上予同一覆时刻菌的对上应荷沙载成巧比例计。（荷猛载方氏向相拖同，救大小缺成比塔例）框。集中荷闹载相似封：致（集增中荷载唤相似常塌数）。令几盗何相宽似常疼数荷载集违度相似苦常数cq=弯矩相吓似常数cm=自重阻相似夫常数原，压芒强：c密度朝：c如果榨模型女与原梯型在吼对应毯点的循荷载书相似容（成室比例挪），下只要迈其中枣一种绘荷载店相似兰常数垮已定疮，则喇其它田种荷勉载常眉数也垦就确剥定了片。弹性迈模量朝相似级常数面力贝：运动躬相似时间蜜相似:时间相邀似常数（距丝式离相捧似）则速络度相屋似常枣数:研究糊动力眼学还榴有质货量相想似：对于均旱质物体姜可用密永度来表脊示：动力学鼠问题:跃F=m棋a.cF=cmca=cρ.c3L.cL.ct-2∴动力袖学相讯似指鹊标3．1．4边界办相似力学：教边界约管束条件景等。平控面应力掩模型平面叨应模著型模型谊试验棵中约停束条拌件很床重要正。3.1聋.5起始条耕件相似初始条逃件，如储运动学坝中初始邻振动相丙位等3.2相似第贴一定理它是说苹明相似杀现象的性质，模型亦与原型巷相似，止那么应师具有：a、在对孟应点听对应海时刻辣成比枝例。b、变化规避律相同洒，可用肚相同的盾关系方毕程式来畅描述。其中筝大多研数的镜物理太现象滴，其卖关系具方程浇又可呜用微缩慧分方阀程的坏形式爪获得镰，如质点化运动方伪程和力苦学方程将分别为斥：c、各相矮似常馆数值俯不能侧任意构选择况，它忌们要包服从转于某靠种自佩然规挤律的费约束挣。下面我杂们以速藏度公式闭为例具生体说明钞：（1）代入抗有关按相似失常数哲得：料（2）（1）式胜实际狱上可筛用于阁描述血彼此春相似暴的两抚个现刘象。搁这时摩第一裂现象险质点懂的运盖动方宜程为堡：（3）第二现扣象质点暑运动方发程为：腔（4）将式（2）代蜡入式积（4），倚亦即扒在基终本微喂分方蛋程中拌对参耳数作示相似物变换议，可得：铸（5）作相似伏变换时呆，为了翅保持基衰本微分勉方程（3）、离（5）的一家致性,需使：故以后匆，我重们把C称为相似指升标，其本意义价在于锄：对座于相塞似现袭象，猜它的暂数值恭为1。同时也虏说明，奸各相似答常数不后是任意圾选择的沿，它们依的相互责关系要混受“C值为1”这一条躁件的约绳束。换言拘之，天在cv、ct、cL三者爽中，追只有身二者严可任领意选位择，考余者个由上洗式确会定。这种约理束关系浊还可以箭采取另滴外的形桑式，将搭相似常什数cL等代入启得：或枪不变秀量同理对萄于f=绞ma，得院：肆或裁不变像量。上两抖式的充综合合数群央和互，你都是杨不变岸量，岂它们咐被称矛之为相似姜准则。应该注奥意：相华似准则疤的概念武是“不变量”，而盐非“常量”。所采说不末变量溪，是霉因为兆相似登准则论这一慌综合疗数群号只有真在相叔似现六象的奇对应龟点和她对应艇时刻捕上才止相等岗。如果国由微茶分方侍程说锁明的除现象江，取协同一逮现象警的不售同点窗，则类因其胳物理梅变化睛过程沫的不悲稳定居性，闻有：所以状，相香似准奶则只估能说勾成是钉不变绵量，慕不能江说成执是常宾量。相似第罗一定理会：两相似肢现象的影相似指师标为1，相似稀准则相境同。相似钟指标——相似现迟象的比始例常数俩。相似工准则——相似现注象应遵溪守的规续律。相似煤准则查与相器似常忠数是罚不同抓的，蛙它是划总合充地而晋不是荡个别芬地反屿映单捏个因付素的窃影响钢，能贩更清衡楚地慰显示呀过程割的内锡在联两系。当用相匠似第一贵定理指吩导模型回研究时森，首先典重要的畅是导出善相似准尊则，然愚后在模蚁型试验售中测量蓄所有与箱相似准衔则有关等的物理荐量。当微分锤方程较必简单时岁，找出毁相似准门则并不兼困难。但当秀方程拔无从纪知晓何时，肥或是扎很复许杂时存，应想采用龄其它呈的方窄法。当现象辅的相似葱准则数洪超过一解个时，赶问题便锈进入了周相似第擦二定理跪的范畴士。3.竹3相似遇第三最定理相似的溪充分必军要条件千。相似春现象砌应遵案守的困条件知：①两相氏似现灾象一妄定能鼠用一姜个方拨程组抚来描叹述。②单值条放件相似径。几何条凯件（几惹何相似骄）物理条磁件：荷贞载介质的E、μ、R（强个度）偷。运动蹈条件诉：t、v边界条帝件始初隔条件(3嗽)由单良值量蛾组成择的相航似准施则要坟相等凶。——充分必翻要条件（而不报是任意悉的相似蛇准则要辉相等）毛。单值量——是指缴单值婆条件候下的重物理宾量。廉而单异值条耀件是康将一天个个他别现牌象从亲同类标现象畏中区屿分开销来。相似毯第一岛定理螺是从表现象驰已经键相似晋这一桃事实帅出发壤来考有虑问末题的绪，它乳说明洪是相蹲似现皂象的愁性质亭。设有二厉现象相侍似，它哥们都符逼合质点尤运动的摇微分方浙程V=，如宗图所摆示的收两组夜相似录曲线笼（实讨线）箩。得到：图中“1”、“2”为两束现象储的对相应点妇。现在诱，设先想通庭过第戏二现菌象的液点1和点2，找愧出同蜜类的植另一许现象——第三现椅象，图雷中虚线杯所示。显然，苹第二、铜第三现补象的曲圾线并不颈重合，屡故第三董现象与忠第一现惭象并不贫相似，趣说明通躲过点1、点2的现象运并不都双是相似资现象。为了先使通逝过点1、点2现象蛾取得烧相似迫，必俘须从蔑单值绪条件解上加脱以限停制。过如在拔这种卷情况雾下，挪加入川初始碧条件啄：t=0，v=俗0，L=0。这样，栋既有初虽始条件市的限制竭，又有潮单值量贪组成的相似重准则吊值返一致，这两个现勉象便必绑相似。由此看矩来，同崖样是粘值饮相等，丑相似第托一定理真未必能保也证现象武的相似念，而第腰三定理虾从单值柱条件上叉对播它进皮行补充泉，保证槽了现象替的相似粉。因此蚕，第仆三定锄理是阴构成堂相似迅的充突要条揭件。坝严格夫地说寺，这逮也是寒一切劣模型管试验洽应遵姓循的贡理论枪基础苦。3.4相似第疲二定理励（π定理）相似立第二绵定理医可表盟述为歌：设一个御物理现驳象如果颗含有n个物蛮理量φ(x1、x2、、x3、…xn)=躁0，其兴中有m个为基丢本物理农量（其倍量纲是华相互独千立的）倍，那么思这n个物坟理量棋可表堂示成档是（n-m）个相祝似准则π1、π2、…πn-m之间痛的函塘数关拒系：f(π1、π2、…πn-参m)=0灿(1)准则方躲程。π定理的什作用：对于彼咱此相似座的现象扫，在对浑应点和浆对应时滩刻上相蜂似准则盯都保持抽同一值册，所以卸它的π关系印式也脚应当聚是相须同的稍。一组般用毯下标“p”和“m”分别表纺示原型辩和模型孩，则π关系成式分亮别为践：f1(π1、π2、…πn-饼m)p=0f2(π1、π2、…πn-m)m=0停(2括)其中毅：π1m=π1pπ2m=π2p(3弯)π(n锈-m披)m=π(n-宝m)p(4合)由（4）式可仪见，如煎果把某酱现象的津实验结乒果整理耕成（1）式所饭示的无肺量纲的π关系式潜，则该昆关系式日便可推非广到与斑它相似象的所有沫其它现落象上去符。而在芦推广之的过唱程中爹，由终式（4）可罗知，手并不阀需要驴列出扶各π项间款真正撤的关诉系方塞程（奋不论伍该方拖程发支现与白否）砌。基本偷物理籍量：平具有嚼基本固量纲娘的物毁理量犹。而准侍则方拳程是段无量爸纲量线。我饱们不使能由敞基本员物理聪量组徐成n个准则可方程。如设蒸想n=训m的特殊妻情况，发这时所摩有参量句的量纲螺是相互扰独立的渔，故其刘自身便赢无法构帅成任一愉个无量蛾纲组合妈的相似员准则。洁（否则听，如何搅将其量草纲消去览）。当由n个物理解量、构葱成n-逝m个π项，烟每个π项中必新定要有灶一个物恐理量区贼别于其章它π项的独遭立变量心。定性敢准则——由单特值条简件组瞎成的旨相似厦准则倒。非定性闪准则——由非单愚值条件盘组成的踩相似准描则。有时，惹可由定冶性准则钩导出非掌定性准炕则。由此可既见，相似沃第二定团理是十夜分重要恢的，它吉可用于盖多相似腿准则之油间的模钞拟。但胀是，在归它的指突导下，肿模型实鼻验结果姻能否正控确推广俘，关键吨又在于右是否正够确地选县择了与躺现象有姜关的物外理量。对于一驶些复杂亡的物理天现象，蓄由于缺丝式乏微分舅方程的桌指导，踏问题较登难。4、相似准匙则的导佳出方法作为祥相似营第二葡定理构的补恰充，惊必须异找到样相似楼准则肤的导珠出方跳法。相似跌准则堂的导尊出方蝇法常洽用有望：定闲律分朱析法为、方连程分贴析法馆、量炸纲分够析法欲三种燥。从理论寇上说，析三种方宝法可得叹到同样首的结果慈，只是幻玉用不同婚的方法狼来对物作理现象箭（或过把程）作绣数学上画的描述洗。4.求1用定桑律分却析法吩导出中相似育准则这种敏方法猛要求默人们灰对所抢研究皇的现递象运固用已臂掌握皆的全少部物醋理定来律，毫并能巷辨别扔其主情次。订一旦阶这个选要求续得到患满足盈，问隆题的很解决嫌并不国困难吃，而拖且还贺可获虽得数颠量足剂够的鼻、反简映现借象实墨质的π项。但这种川方法的拐缺点是盘：①甲只孟是就川事论让事，鹿看不抚出现隆象的毅变化哑过程梦和内浮在联纤系，鸣故作咸为一交种方坊法，临缺乏览典型竞意义帖。②由挺于必须警要找出嫁全部物廉理定律胶，所以闪对于未敏能全部旷掌握其跑机理的统、较为鲜复杂的比物理现依象，运波用这种霸方法是沈不可能趟的。关于储这方蜘面内塌容，枣大家归可参逗考有稍关资裕料。4.逢2用方航程分循析法瞎导出赚相似蛋准则这里乐所说础的方掩程，焰主要构是指予微分斜方程吹，此士外，惯也有次积方齐程，碧积分—微分洁方程杠。这岛种方斥法的优点是：①结世构严密租，能反渡映对现涂象来说胜最为本贤质的物列理定律军，故结竭论可靠斧。②分盆析过程易程序明途确，不悦易出错蓝。③各撞种因素捐的影响悼地位一季览无遗雷，有利炼推断、可比较和包检验。缺点：在芒方程饲尚处焰于建绍立阶迅段时剂，需绑要人森们对照现象忧的机糠理有晨深入想的认灯识。意求解利方程孤有时绕难以指得到灵完整锋解。用方程装分析法桥求相似迟准则时罚，主要轿有：相脖似转换蛋法和积酱分类比燃法。作旦为实例永，现在纽奉考察图吨右的“弹簧—质量—阻尼”系统睡。研究y的函绘数关程系。系统揪有7个变颤量：变量朴：连量浸纲位移L质量FL-1T2阻尼系辣数FL-1T弹簧刚有度FL-1初始速赢度v0LT-1初始距该离y0L时间t标T显然总，表蜘中除宇位移y外，均场为独立搏变量茄因此齐，如考枝虑基本意量纲数会为3，则独辈立相似炭准则为皮：（7-蚀1）-3=冠3个。4.蛾2.粮1相似蓝转换样法其步骤月为：①写糖出现象秀的基本舌微分方肆程。质量伙的位挺移方喇程为忽：m鞋(驴1)②写出茎全部寻单值联条件榆，第水一现矛象用“′”表示，京第二现特象用“″”表示偿，因蚁此可展得各干参量菊的相袭似常腾数为厉：考虑倚物理貌条件踏相似抢时：cm=财,cu=然,慎ck=考虑笼边界赔条件蹈相似疾时：cy=锣,考虑起扇始条件崭相似时(此时t=该0期)cv0=鱼,缩慧cy0=(2柄)③将微迅分方悄程按世不同什现象虹写出但：m′(3)m″较(4均)④进行相爽似转换届。将“″”参量题用“′”参量代势替，式挖（4）按娇（2）的关透系代入古得：（5）作相唤似变赔换时见，为瓦了保钥证基榨本微颗分方袋程的忌一致起性，滴各项亩系数内必须孙彼此舅相等亲，即屑：故得庭两相垮似指铁标方鞭程如闷下：(6）（7）另一侧个相少似指泼标方欠程要喜由分碍析起烤始条含件建胁立，稠即当t=0时，，y=y0,若这时锐考虑二恩现象，灿可得：毯，y′营=y,守y″畅=y也进宏行相校似转吉换，亭得：cy=cy0（8）⑤将式（2）所坛表示乓的相衣似常刮数值畏代入理（6）（7）洞（8）式，久可得相菠似准则等式为：不变量=π1不变免量=π2不变量=π3此处职，征即为拢独立地的相疮似准投则。非独味立相拴似准兆则为抖：y/同y0，综合纽奉以上宏，可箱构成π关系团式为绸，π方程式农：4．2．2积分类刑比法积分聚类比值法是罗一种饮比较堪简单丽的办上法，伏一般苗都用杂它来吨代替使相似巷转换夜法。恢其步沃骤如制下：m多(屡1)①写出现饿象的基腰本方程贺（或方贞程组）炼及其全骨部单位德条览件。同规前。②用方程悉中的任床一项除灿其它各旗项（如莫前例中拢）：③利将各项慈中涉及浊的导数尸用相应柿量比值落，即所恨谓的嫩积分谨类比来钟代替。辽就是说感，将所懒有微分狭符号去即掉，仅留下量紫本身的梯比值，碧就是以牺则：U灾,ky紫/m张,对于遇统垒一代替护物v/摘L。④上面两等式的相调似准则眯由于只叔利用了绍物理和学边界两成种单值齿条件的掠参量，晃故利用牛起始条腿件，可警另立二润式如下予，即t=0时：y=名y0，对前掉式进尤行积祝分类岛比得描：不变罚量由后式摔则可得糖因变量л项为：夸。⑤至此，铺各л项全部霜求得：弦其л关系件式为辉：上式中朱给出的л关系式蔑并不合需理，因垂为在自变л项纹中带有凯待测因洗变参量y，不利纤于模型试验的束进行。直为此可坛将初始鹊条件代揪入л项，使术之改换成俯而л关系蜂式也良因此绣变为汽：4．3用量纲崖分析法丧导出相选似准则量纲分削析法是隶在研究哪现象相束似性问蚂题的过怜程中，谢对各种寸物理量跌的量纲枕进行考耗察时产萄生的。扯它的理眠论基础储是量纲揉的齐次积原理。量纲分河析法的岔优点：爹对于一般切机理邀尚未彻火底弄清移，规律欢也未充芹分掌握短的复杂贯现象来哭说，尤请其明显屠。它能膏帮助人拢员迅速们通过相射似性实免验核定剩所选参缠量的正为确性，第并在此怜基础上座不断加鹊深人们近对现象统机理和睁规律的竞认识。在定笑律分抱析法轮、方否程分熟析法吨和量羞纲分液析法蜡三种编中，身后二态种方疯法用棉得较刻多，寇其中咐又以躁量纲供分析冲法为黄多。知它是殖解决骡近代覆工程昌技术添问题的的重啦要手帮段之缓一。当所研般究的物踏理现象政较为复杜杂时，行要通过供量纲方牙程来说扭明问题异就很困卫难，往融往会遗瘦漏、错撑选与现茶象有关驾的主要铜参量。采这就要巨求人们稍通过实值践不断服摸索，甩抓住主陕要参量舒，得出毒近似的栽结果，招即“近似模贵拟”。通过相谜似理论间证明，坟在复杂役现象中资，因量钞纲分析霸法的弱标点而产宽生的近缴似模拟渠，常常懒是比较狮合理的始。相似准袋则的导汉出：当用编量纲闭分析碎法决只定相迫似准英则时燥，我晚们需景知道蹈现象堂所包蚊含的罚物理顶量就掏可以岗了。件但当课物理分量很另多时胡，л项的数图目也会剧多起来座，决定替它们并脖不容易嫌。下面里从简单呀例子说凡起。例一蜻：自蛾由落翻体参量院为s,锦g,坐t,如果参俩量选择本正确，歼即相似渐准则可富取如下失形式：л=粒sagb.tc将量绵纲代塞入：[л]萌=[L0t0]=胳[L筒]a[LT-2]b[T]c两边蒸量纲损相等黎：L：a+b贡=0T:右-消2b辩+c插=0上式丧为二自个方邮程，坏三个混未知坝数，煎故无沟法解榴出a、b、c具体值天。为此挑需设定叶其中一温个值。摸若设a=研-1，可得吹：b=1，c=腹2，便可灰求得：л=如设a=1，b=-傲1，c=-获2，则可启得：л′障=也是赏相似减准则估。例二、偿质点的俯力学方影程参数我为f，m，v，t，则相原似准则箱可取如追下形式降：л=消fambvctd[л虫]=鹿[F0L0T0]=[递F]a[F冤L-1T2]b[L巧T-1]c[T第]dF:四a+b演=0L:习-b丹+c级=0T:挡2b晚-c摄+d浪=0得л=上面福二例蛮，都速符合叮相似增第二抛定律谢关于轮相似且准则颜数的扭论述壤，即3-2节=1，4-3醉=1。上面为孟单个相蹲似准则高，如为称多个相叉似准则拘，可采宇用量纲摸矩阵的方困法，雕它为蛮人们温求取端具体冻相似雄准则独提供逆了一览种更域为直屋观的陷形式画。方避法如智下：对于影我们身前面受用方艇程分甲析法剃导出赛相似交准则辉的例坡子（宾此为“弹簧—质量—阻尼”系统羡）：该系统饱有7个变恨量分淹别为y、m、u、k、v0、y0、t。如果蝇我们迷不知钓道它难们的竖关系先式如杏何，旧可令姨其为茅：f(y，m，u，v0，y0，t)=俯0其准卸则关呼系式命为：л=将量纲响矩阵的膜上方加表上各参晓量的指格数就行帐了。a1a2……a7即为裙指数愁，则缩慧量纲举矩阵捡如下仿所示辰。它们的据量纲矩港阵是：（上轻式中颈：m：FL-1/T2，u：FL-1T，k：FL-1）按此矩套阵，可那得三个烟线性齐曲次代数型方程如惨下：F：L：T：三个方孩程无法姐解出7个未贴知数草，故缓应使乘未知话数中屯的三炉个转乓化为钞其余4个未股知数志的函管数关缺系。设a4、a5、a7为三个锐方程中赚的任意皮假定的扁已知量径，则a1、a2、a3分别为敏：(1爪)因本休例中香相似秃准则素数为墙：7-3假=4个，哗（独番立的航为3个）集。故a4、a5、a6、a7应前后盲设定四蒙套数值摸。最简址单的为剩办法是挣设其中砖一个值让为1，而其轮余值为0，因此株：当a4=1,淡a5=a6=a7=0时，可才得：a1=0略a2=1若a3=-2；当a5=1,浩a4=a6=a7=0时，货可得强：a1=-1旦a2=1持a3=-1；当a6=1乔,烤a4=a5=a7=0时,可知：a1=-1倡a2=0遇a3=0；当a7=1,算a4=a5=a6=0时,可得：a1=0鼠a2=-甚1举a3=1。此解稠可简弟明地语列矩宗阵形悼式，追取名扩为π矩阵：从上面π矩阵可隙以看出俯，第一喘、二、培三列所贫代表的甜四行恰撤好是式吹（1）各方忠程中等太号右侧a4、a5、a6、a7的系辜数。鄙而四撤、五耳、六心、七辱列则瓶构成沉单位话矩阵亡。掌揭握了扬这个塌特点蜂，可病以很柳快地网将π矩阵错写出姜。在π矩阵中穷，每一筑行代表陈无量纲组乘积的钞一组指叨数。据绍此，可眠建立起岭数目与蜻行数相市同的各讲独立π项来。新分别为布：π1=m裂u-2k=π2=y-1mu-1v0=π3=y-1y0=π4=m-1ut密=因为芬位移π项作为次因变π项，式询（2）的不惊合理处纵在于参婶量y包含在岸独立π项的π2中。为罗使模型讯试验得渔以进行唇，需以π2除π3改造疾成π2′；这样员便建吹立起π关系式定为：（3）在前预面关纽奉于方忍程分霉析法琴一节疑，我浪们得复到这下一系翼统的π关系期式为秋：（4）比较式稍（3）和坡式（4）可知卖，前者虏各独立π项分泡别以最独立沟变量k、v0、t相区别改，后者愈各独立π项分别毁以独立搞变量u、t、v0相区乔别。家但从怒性质凉上说悬，两皇个π关系况式都杆是一深致的董。因交为式翼（3）各π项的代熄数转变补，可得衫式（4）结喇果。补充比：π关系唐式的掩特性宋：任何咏两个架（或守多个寄）π项的代宗数转变脏，如加仪、减、拳乖、除拣、提高究或降低桥幂次，宁仍不改婆变原关况系式的惊函数性孝质。但派条件是妈：①幂次不城得升、局降至零航。②π项总数录不得增逆加或减重少（因π项总透数是幻玉由物述理量堡总数讽和基如本量哨纲之苹差决波定，肿是个锄定值凳）。具体为拨：若相屡似准则续分别为π1、π2、……πr，则：a、πiaib、πc、πa11±πd、πi±ae、aπi这是因甘为经过姨转换后洪的π项仍奋是无皮量纲裤综合乡丰数据闭。这也说楚明相似叙准则形乘式的可抢转换性刮。为了利阅于模型仓设计，版在求相口似准则印时，可烤考虑以庸下几点眉：①第一个近应为因瞎变量（孝第一个查为所求歼量）。坏然后对卵所求量描影响大昆和容易志控制的握越在前绪。②π矩阵越毁简单越斩好。③准则的蜓个数=物理谨量-基本查物理漫量。④每个准立则中至正少有一尼个物理否量其它陈准则中乘没有，蝇才是独仍立的，年否则不晨独立。⑤准则肥最好养有一死定的削物理瓦意义宣。⑥准则屋尽量迟应容乳易满挖足，供即准栗则包治括的滴物理抬量纪越五少越植好，味最多跌为m+纺1。⑦需要被绢测量的真物理量川最好在谈非定性邀准则中毒出现。并可榜通过孤代数圆转换恳，去球掉相液似准石则中雷无法谱测量沿或难版测量朱的量阅。我们求域准则的白目的在呀于指导使模型，斑那么，卖有了准素则，可阿根据相点似指标坚为1来设计点模型。再根镰据相事似准腊则将延模型璃结果久还原就到原浮型上债去。5模型缘瑞设计5.年1模型设幻玉计模型汪设计握的理歪论基留础是糟相似仍理论奴，我献们这映里所粪说的贤相似罪是指众物理闹模拟于（同周类模恰拟）毕。在模型疲试验中障，首要天问题是茂如何设计饱模型，以及爽如何将虹模型试驴验的结合果推广币到原型凉实体对秋象中。一般羊情况程下，愿模型耕设计脏程序控为：（1）根据试末验任务冒、目的供，选择挠模型类忧型。物理肺模拟斧、数淹学模颠拟。如按模钓型试验耽研究范鄙围可分概为：弹细性模型言试验、而强度模彩型试验急。如按帝试验跟模拟佛的程庆度分余类：俩断面狗模型讽试验牵（平耳面）疑，半狱整体哀模型玩，整梳体模夺型试系验。如按替试验场加载瞎方法畅分类会：静换力结环构模插型试稠验，鞋动力浴结构咳模型航试验动，等近等。（1）对研墙究对溪象进相行理波论分场析，艇用方虾程分步析法宇或量悬纲分我析法苍求相千似准言则。（2）确定几赶何相似躺常数CL，定短出模蹦型的陷几何蜻尺寸轻。CL取选薪是一咐个关润键一唯步，驱主要遗应考录虑：a、模型的兴尺寸大辈小要适鱼中，可蜘行，对炎于与结乞构物相言互作用爱问题，吐应考虑彼影响范雾围。b、测量疏手段倚，应酷考虑励传感框器的贴大小笔和精哄确度眉要求僚。当预传感像器精拳度不自够时登应加指大模徒型尺另寸。c、试验待县求量应盲方便、枝可以实括施。常用疑模型芦的缩袋尺比司例结构巨类型射弹瓣性模歌型笑强度货模型壳体板构桥梁砼坝所以在现结构模比型试验饰中，其缘瑞几何尺脆寸的确听定需要开综合考厉虑模型碌类型、曾材料、饿制作条摆件、加柔载能力纲、测点持布置以眼及设备冷条件等劈燕等，才皮能确定稻出一个吃最优的效几何尺吊寸。小尺寸味模型所矮需载荷惨小，但睁制作困挎难，加匪工精度共高，对痒量测仪赠器要求裙也高。概尺寸大显的模型恒所需荷结载大，瓦但制作尘方便，某对量测决仪器一棕般无特挨殊要求清。通常，丧线性模冲型尺寸股较小。才而非线欺性、强师度破坏毁模型，冬特别是塘钢筋砼积结构模横型尺寸哗较大。垦具体如识上表。（1）根据博相似竞准则悔，计童算各册参数易在模耍型试祸验中涛的数音值——模型栏设计闭。（2）绘制米模型她制造沈、测盲点布佛置和洒载荷禽分置约图。（3）安排芝试验凉顺序菠。（4）进行试僵验和量猎测。（5）数据惹整理切。并邀把模建型数干据转按换到鲜原型效上去变。或说确岭定试心验结来果可涝以应田用的皱条件今。例1静态纸应力劳模型这是欢一个渠弹性拆模型勤，可梨求解灵静态廊应力悄问题玻。a、求导准症则平衡表方程希：几何宴方程默：，物理方颤程：单值条末件：几株何相似飞：物理罩相似慨：体力相顺似：边界条条件氏：非定性福量（被埋测量）忌：应力可：应变：位移羊：采用贵方程笔分析依法求裤相似符准则腐：对于哨平衡段方程腰：相似疯指标编：,相似准轮则π1=归①由几腐何方密程：插，л2=蛛②由物呈理方闲程：,л3=萝③cu=1瓦л4=u牛④由面气力边牲界：л5=默⑤由于上悄面5个准谱则是盏由5个不同街方程求糕得的，忧故是相严互独立抄的。b、对址于缴为广为义相船似对于c时，为稳严格相狗似，最积好。对于懒一些昌相似闹材料航模型劣试验债，当c=悉2～8时，在皆小变形锄情况下协所引起察的应力匹误差<5谁%，这清在工拣程上葵是允渠许的顶。但宣在大冬变形睡情况携下，夜不精告确。对于夹严格微相似公（c）时，虾有：如对洒于一列个软尸弱岩载体高欲边坡往问题祝，原记型为20痕m高，门试验托室内辆可采慰用相险似材钻料模爸型试诸验，劈燕取1m，则cL=20挂/1=宜20,可采用和石膏作弦相似材秒料，通沸过试验销可知：CE=，由规得：即唤（石宪膏的妄混合孙料比男岩石补大10倍，稍很难怪，找碰不到悲这种撒材料鸟。）为此君：取陡≠1而是=5，则繁，缩慧故可栗在石早膏中通加铁驾屑即盼可。这就瘦是说鼠，不迁是碧非取1不可圣，在霜小变脉形范察围内伙，可验取对于相季似材料泊试验：Cl=20，Cr=2，CE=20，Cu=1则有：Cε=CrCl/CE=2Cδ=司CεCl=2*乓20=荡40但对候于大疑多数蜂结构疗试验平，采毙用严呜格相茧似，戴则=1，这嫁时不绑考虑庸自重眠应力欺场5.姑3试验方谊法5.3涌.1模型灶材料（一）模型材比料的选卸择对模型咏材料，料一般要戴求为：a、对于晶研究蜻应力回状态锯，模米型材挠料必异须保惊证具吼有良割好的勾线弹焰性特徒性。胞对于割强度姨模型逗，则俗模型涉材料宾应接溪近或直等于麻原型棋结构智的材倚料强巴度，亡才有茎可能黎进行捞破坏双试验环。b、扒满足虑相似终指标饼要求三，如E、u、ρ等均应仪符合相船似条件弱。c、满足必源要的测惨量精度难。为了射提高困测试澡精度不，宜蚕采用E较低候和容暗重较喊大的态材料秒，但件也应足防止推材料突的非压线性暗特性泽。另外，写用于结严构模型抖试验的衔材料，忧从试验独技术的搭角度出顶发，需滥考虑如秧下具体啊问题：a、弹熔性模箭量E大，获职得足够桐的变形盗，增加零荷载，杀模型支叙座的刚驱度要强好，不如它降低E。E过小肯，结因构刚匠度过疯低，蜘测量烤仪器值的刚颂性又忘可能旺妨碍胃模型防结构纤的变贩形，伐影响乌试验箭结果焰。b、泊松扮比无量纲略量，应道相同才兰能满足翠相似指和标。如乞不相同退，产生碧试验误点差。c、孔徐挑变即变菜形是顶时间侨、温张度和稻应力本的函棒数。笑一切验合成自材料帅几乎删都有法徐变填。为各提高垄试验肾精度耕，应承选用眼徐变谅小的下材料示。d、熄导热鞠性目前，雪结构模滚型试验碌中测量脏多用电押阻应变荡片测量陈，所以脸模型材场料导热蛾系数有翁重要的毅影响，接应选项跌导热性雄好的材栏料。e、可烟加工性饶。∴应狱综合份考虑姓。（二）沈常用结菌构模型部试验材败料常用翻材料秧如下胃：a、金亚属金属洒的力盆学特劈燕性大程多符城合弹两性理淡论的颜基本户假定生，吸如果嫁原型密结构案为金踩属结改构且贪对测佩量值欲的准务确度涝有严湿格要筐求时朽，则古它是矩最适装宜的泻模型啦材料栽，最窃常见宏的是钢和悟铝。最近月，铝议合金优材料魔用得预较多沉，因借为它遭有较昼低的E和良好秧的导热骆性。b、塑料有双浓氧树冻脂、蚊聚乙震烯和传有机贞玻璃伞等。和钢飘材、陷砼、口石膏茂相比斩较，游其优杆点是毫强度姨高而铲弹模列低（聚约是偿金的0.1～0.后02倍），勾便于加姑工。缺点是赞徐变大咳、E随温度岔、时间撞而变化般。塑料鸡被大燥量地坊用来掘制作倡板、能壳、雕框架浆、桥续梁以张及形逼状复世杂的侍结构备模型吨，其固中有群机玻辩璃和线环氧护树脂衰用得篮最多类。（誓光弹归模型葵材料堵）。c、石膏石膏用欲作结构蜜模型材陵料已有40多年护的历钻史，蔑它嫌的城性质犁和砼丑较接坐近，醒常用凳来模抵拟砼钞或钢垒筋砼技。其优点汽是成型阳方便、牌性能稳俊定、易蝴于加工备等。醒且可节以石膏双作基本众胶结材氧料，通抗过掺加参不同外粗加料舍的方法浸改善其何力学和嗽变形特尝性。如样加入岩浇粉、砂披、 水息泥、浮左石、铁稼砂等。d、水泥砂愧浆e、微砼用作俱砼或区钢筋谈砼结料构的懂相似纪模型幼。（至石子怜直径菜≤5m碍m）。其辨力学性菊能与砼鞋相接近坝。模型用懂钢筋一当般是采低用细钢开丝。f、地跳基基克础结激构模枕型相食似材尼料相似斗材料滨一般爪常以匆砂为趋基本纠材料烧，以淹石膏区、石形灰里、粘师土作知为粘揪结料孙，来吐组成料模型甲土体诉相似益材料留。通常cL=2备0～50时，采念用石膏努和砂为茂主的混帖合料旨，或加艳入适当涉的掺加木料。加荷安方法（一帝）集中力打加荷通常采轿用挂重湖法、杠震杆加载垃和千斤协顶加载慌等。挂重法窄：数值窝稳定、且载荷值卡不自动湖下降，杯其缺点少是能产累生的载杯荷值较米小，一栽般≯20购0K鸽N，加、牢卸载不咱方便。千斤接顶加鼓载方疗便、扫数值指大小蓄可调鸭，缺茅点是冠设备累较贵记。（二酷）面元力加衬载单位面萌力强度吗为常数胜，如均方布堆载逃、为线阳性变化偿，如水豆、土压壁力。面力潜加载却方法宏有：因重堆跨堆载粒、挂具载，腔液压谷加载坛、气叠压加俊载、萄千斤怕顶加猾载等救。液压哈多用肢水和矛水银卫，用茄液压廉加载生可利廉用液坏压作蓬用力攀沿高集度呈桥三角博形分温布的唤特点仓来模唐拟水配压力稼。（三吉）体次力加屈载在结构碍模型试需验中，伪体力是丘一项重壳要的荷状载，它某是指结微构、基笑础结构探及其地灵基岩土宜的自重投。通常施队加体力疲的方法煤有：①、机用分槐散集庭中载惜荷代曾替自签重②、用像面力代产替体力罪的方法③、灿选高厘容重尤、低顷强度芬模型寄材料川。a、用分播散集中鼓力代替颤体力方迫法将模型渡划分成蛋许多部牢分，找懒出每一五部分重杰心，然瞒后施加掩等于该朽部分模栏型自重匙的集中州载荷。b、用面力涝代替体扛力的方砖法。对于常贴体力弹学性模型晨，可采剖用以面吃力代替终体力。c、选择高论容重、弃低强度胀模型材晓料的方摸法由相似确原理篮，茫当福时桂，即模型与叉原型捏材料燃容重念相同氧，不菠需另艘加模窗型自秤重荷漏载。都但c才,c指,即弹醒模小饭，∴什强度寒低。d、预应肉力加载对于煌预应面力钢旬筋砼诊或其客它预擦应力个结构五，预霉应力隶产生荒的载稼荷在姥模型丧在施云加的凝方法虹一般罗有两掏种。首一是隆采用瞎锚头周和张驶拉设伯备；基另一期种方旬法是狡施加帐外载窄，但坝应在院弹性欠范围姓内。e、动而力加轰载（1）激揭振法小尺寸偏模型的减激振可巧采用声飘波（扬西声器）贩或压电堡晶庆体激振移模型，状强迫模岁型振动茄的激振愤。大尺寸术模型可萍采用冲押撞形式粥施加。（2）电磁停振动法电磁振拾动台是迟结构模双型试验眼中常用涝的加载稼方法。（3）电爱液伺翠服法这是嫁目前饲最先嗓进的绘动力冲加载役方法扇。精舒度高厚。6离心模载拟试验6.贝1基本原轮理岩土工雁程问题灰中，自繁重产生简的应力却场常对币工程结万构及周族围介质墙的变形膨、强度予和稳定葵性起主苍导作用挤。而在娘考虑自饱重的相域似材料干模拟试龙验中，逮必须使掩模型与女原型在环材料强顷度、容料重、几该何尺寸消、变性景性质、挡应力状复态等方慎面都相侄似，且弟各相似姐比之间唱要满足堆一定的盘约束条满件，但袖要同时陕满足这杆些相似柳条件很衡困难。同时，虏岩土体刊的物理备力学性会质又很拦复杂，匪因而，标通常只贷能放松床约束条急件，这封样的试现验结果惑很难用佩来评价钩工程原谱型的实收际力学并行为和敏工程特脉性。如果采贸用原型页材料将遍工程原书型按一硬定比例CL缩制成广模型，煎则模型扛与原型貌的物理遭力学性滔质完全惕相同，察为了使挑模型应愉力状态骂能反映锣原型的肠应力状套态，当猪体力只有重酿力时论，须商满足叮以下婆条件制：因原萝型与堵模型漫的材蛛料相棋同，卧故有CE=1，则有愚：即：所以，护为使模黎型与原焰型的力懒学状态效完全相时似，模霜型的容显重需为廊原型容作重的CL倍。因离心抬加速度庄场与重捎力加速字度场有秘完全相材同的力厘学效果挎，因此叶，若将撑模型置允于CL倍重耍力加梳速度