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文档简介
关于极限运算法则1第1页,课件共51页,创作于2023年2月2利用极限的定义可以验证一个函数在某一极限过程是否以常数A为极限,一般来说是比较繁琐的。但今后遇到的最多的问题是判断一极限过程中函数有没有极限?如果有如何求出极限.这往往是通过一些已知的简单极限去寻求比较复杂的函数的极限,这就要用到极限的运算法则。本节介绍的几个定理,不仅可以用来求一些函数的极限,也可以用来判断某些函数的极限是否存在,并可以导出其他一些运算法则.学习时注意结论和结论的条件.极限运算法则第2页,课件共51页,创作于2023年2月3一、无穷大与无穷小无穷小:注意:无穷小与很小的数的区别。定义:如果当(或)时函数的极限为零,那么叫做(或)时的无穷小.以0为极限的数列也称为时的无穷小.第3页,课件共51页,创作于2023年2月4
在的变化过程中是否为无穷小量,与x的变化趋势有关。如当第4页,课件共51页,创作于2023年2月5其中(x)为时的无穷小量.定理.
(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.第5页,课件共51页,创作于2023年2月6时,有无穷小的性质定理1.
有限个无穷小的和还是无穷小.证:
考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.第6页,课件共51页,创作于2023年2月7说明:
无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如,类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.(P57,题3)第7页,课件共51页,创作于2023年2月8定理2.
有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证:
设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1
.
常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2
.
有限个无穷小的乘积是无穷小.第8页,课件共51页,创作于2023年2月9例1.求下列无穷小的和的极限解:
第9页,课件共51页,创作于2023年2月10例2.求解:
利用定理2可知说明:
y=0是的渐近线.第10页,课件共51页,创作于2023年2月11第11页,课件共51页,创作于2023年2月12第12页,课件共51页,创作于2023年2月13第13页,课件共51页,创作于2023年2月14第14页,课件共51页,创作于2023年2月15第15页,课件共51页,创作于2023年2月16第16页,课件共51页,创作于2023年2月17第17页,课件共51页,创作于2023年2月18第18页,课件共51页,创作于2023年2月193二、无穷大第19页,课件共51页,创作于2023年2月20定义2
.若任给
M>0,一切满足不等式的
x,总有则称函数当时为无穷大,
使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在第20页,课件共51页,创作于2023年2月21注意1)无穷大是变量,
它是描述函数的一种状态,它不是很大的数,不能与很大的数混淆.3)无穷大是一种特殊的无界变量,但2)不可认为极限存在;是无界变量未必是无穷大.有界无界无穷大存在某“时刻”,那时刻后一切x,均满足概念回放第21页,课件共51页,创作于2023年2月22故函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,
函数当故函数为无界,但所以时,不是无穷大!第22页,课件共51页,创作于2023年2月234)若则直线为曲线的铅直渐近线.第23页,课件共51页,创作于2023年2月24例2.证明证:
任给正数
M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:第24页,课件共51页,创作于2023年2月25例3研究x→0时,函数是否为无穷小.解因x→0+时,当x→0-时,第25页,课件共51页,创作于2023年2月26因x→0时,函数的左右极限不等,极限不存在,故不是无穷小,但时为无穷小.第26页,课件共51页,创作于2023年2月27
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;证定理4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.三、无穷小与无穷大的关系(证明)此时对使得当第27页,课件共51页,创作于2023年2月28关于无穷大的讨论,意义无穷小的讨论.都可归结为关于
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;定理4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.此时对使得当第28页,课件共51页,创作于2023年2月29二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3(1).若第29页,课件共51页,创作于2023年2月30推论:
若且则利用保号性定理证明.说明:
定理可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:
令第30页,课件共51页,创作于2023年2月31定理3(2)
.若则有提示:
利用极限与无穷小关系定理及无穷小乘法性质证明.说明:
定理2可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C
为常数)推论2.(n
为正整数)例2.
设
n次多项式试证证:第31页,课件共51页,创作于2023年2月32为无穷小定理3(3).
若且B≠0,则有证:
因有其中设无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理,得为无穷小,第32页,课件共51页,创作于2023年2月33定理4:若则有提示:
因为数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1,2,3直接得出.第33页,课件共51页,创作于2023年2月34
x=3时分母为0!例3.
设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:
若不能直接用商的运算法则.例4.
若第34页,课件共51页,创作于2023年2月35例5.
求解:
x=1时分母=0,分子≠0,但因第35页,课件共51页,创作于2023年2月36例6
.
求下列函数的极限解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”解:第36页,课件共51页,创作于2023年2月37例7.
求解:分子分母同除以解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式3.
求第37页,课件共51页,创作于2023年2月38一般有如下结果:为非负常数)第38页,课件共51页,创作于2023年2月39定理6.
设且x
满足时,又则有2.若定理中则类似可得三、复合函数的极限运算法则说明:1.公式表明,在相应条件下求复合函数的极限,可通过代换化复合函数为简单函数.第39页,课件共51页,创作于2023年2月403.复合函数的极限运算法则(证明)定理.
设且
x满足时,又则有证:
当时,有当时,有对上述取则当时故①因此①式成立.第40页,课件共51页,创作于2023年2月41例7.求解:
令已知∴原式=第41页,课件共51页,创作于2023年2月42例8.求解:
方法1则令∴原式方法2第42页,课件共51页,创作于2023年2月43例9*分析函数复合的层次:解首先改写第43页,课件共51页,创作于2023年2月44例10:求下列函数的极限(分子有理化)第44页,课件共51页,创作于2023年2月45例11.
求解法1原式=解法2令则原式=第45页,课件共51页,创作于2023年2月46例12.
试确定常数a
使解:令则故因此第46页,课件共51页,创作于2023年2月47解:利用前一极限式,可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故例13第47页,课件共51页,创作于2023年2月48内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7第48页,课件共51页,创作于2023年2月493.极限求法小结
多项式与分式函数代入法求极限;因式分解消去零因子法求极限;
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