2020-2021学年北京十二中高一（下）期中数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年北京十二中高一（下）期中数学试卷一、选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）若复数，则复数z所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知向量＝（1，2），＝（﹣2，3），＝（k，2），若（+）⊥，则k＝（）A．﹣11 B．11 C．﹣10 D．103．（5分）和是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是（）A．3﹣2和4﹣6 B．+和﹣ C．+2和+2 D．和+4．（5分）某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（）A．五棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．四棱台5．（5分）已知，且α为锐角，则＝（）A． B． C． D．6．（5分）对于任意向量，，下列命题中正确的是（）A．若||＞||，则＞ B．|+|≤||+|| C．|•|＞||•|| D．|﹣|≤||﹣||7．（5分）已知向量＝（1，1），＝（﹣1，3），＝（2，1），且（﹣λ）∥，则λ＝（）A．3 B．﹣3 C． D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，A＝30°，则B＝（）A．60°或120° B．60° C．120° D．30°或150°9．（5分）在△ABC中，已知sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1，则△ABC是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形10．（5分）设a＝cos6°﹣sin6°，b＝，c＝，则有（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b11．（5分）已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，，O为△ABC所在平面内一点，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．412．（5分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积，根据此公式，若ccosB+（b+3a）cosC＝0，且c2﹣a2﹣b2＝4，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．13．（5分）（2+i）（1﹣i）＝．14．（5分）sin15°cos15°＝．15．（5分）若平面向量，都是单位向量，且|﹣|＝，则，的夹角为．16．（5分）若实数α，β满足方程组，则β的一个值是．（答案不唯一，写出满足条件的一个值即可）17．（5分）如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为m．18．（5分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P点在正方形内（含边界），且．①若，则的值是；②若向量，则λ+μ的最小值为．三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．19．（10分）已知i是虚数单位，复数z＝（m2﹣4）+（m2﹣3m+2）i（m∈R）．（Ⅰ）当m＝0时，求复数z的模|z|；（Ⅱ）若z为纯虚数，求实数m值．20．（10分）已知＝（1，0），＝（0，1），＝（t，t）（t∈R），O是坐标原点．（Ⅰ）若点A，B，M三点共线，求t的值；（Ⅱ）当t取何值时，•取到最小值？并求出最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；（Ⅲ）求f（x）在上的值域．22．（12分）锐角△ABC中满足（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若，求b+c的取值范围．23．（14分）定义向量的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx，函数f（x）＝asinx+bcosx的“相伴向量”为，其中O为坐标原点，记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（Ⅰ）设函数，求证：f（x）∈S；（Ⅱ）记向量的相伴函数为g（x），当g（x）＝2且时，求sinx的值；（Ⅲ）将（Ⅰ）中函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到h（x）的图象．已知A（﹣3，3），B（3，11），问在y＝h（x）的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

2020-2021学年北京十二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1．（5分）若复数，则复数z所对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】解：∵＝，∴复数z所对应的点的坐标为（1，2），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知向量＝（1，2），＝（﹣2，3），＝（k，2），若（+）⊥，则k＝（）A．﹣11 B．11 C．﹣10 D．10【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的云算法则，计算得出结论．【解答】解：∵向量＝（1，2），＝（﹣2，3），＝（k，2），（+）⊥，则（+）•＝+＝k+4+（﹣2k+6）＝0，∴k＝10，故选：D．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的云算法则，属于基础题．3．（5分）和是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是（）A．3﹣2和4﹣6 B．+和﹣ C．+2和+2 D．和+【分析】由题意，和是表示平面内所有向量的一组基底，找出不能作为一组基底的向量方法就是验证它们共线，故对四个选项进行考查，找出共线的那一组即可找到正确选项【解答】解：由题意和是表示平面内所有向量的一组基底，A选项中，存在一个实数﹣2使得4﹣6＝﹣2（3﹣2），此两向量共线，故不能作为基底，A可选；B选项中找不到一个非零实数λ使得+＝λ（﹣）成立，故不能选B；C选项与D选项中的两个向量是不共线的，可以作为一组基底，综上，A选项中的两个向量不能作为基底．故选：A．【点评】本题考查平面向量的基本定理中基底的意义，解题的关键是理解基底中的两个基向量是不共线的，本题的难点是验证向量的共线，对基底的考查是近几年高考的热点，题后要注意总结做题规律4．（5分）某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（）A．五棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．四棱台【分析】分别求出五棱锥、三棱柱、三棱台和四棱台的顶点个数即可．【解答】解：对于A，五棱锥有5+1＝6个顶点，满足题意；对于B，三棱柱有3+3＝6个顶点，满足题意；对于C，三棱台有3+3＝6个顶点，满足题意；对于D，四棱台有4+4＝8个顶点，不符合题意．故选：D．【点评】本题考查了棱柱、棱锥、棱台的结构特征与应用问题，是基础题．5．（5分）已知，且α为锐角，则＝（）A． B． C． D．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系式，两角和的余弦公式，计算求得结果．【解答】解：∵，且α为锐角，∴cosα＝＝，则＝cosαcos﹣sinαsin＝﹣＝，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．6．（5分）对于任意向量，，下列命题中正确的是（）A．若||＞||，则＞ B．|+|≤||+|| C．|•|＞||•|| D．|﹣|≤||﹣||【分析】由向量不能比较大小，可判断选项A；将向量的终点与向量的起点平移到一起，由三角形的三边关系即可判断选项B；由向量的数量积运算即可判断选项C；取＝，为单位向量，即可判断选项D．【解答】解：对于A，向量不能比较大小，表示方式有误，故A错误；对于B，将向量的终点与向量的起点平移到一起，则|+|，||，||分别为三角形的三边，因为在三角形中两边之和大于第三边，可得|+|＜||+||，当向量与向量同向时，|+|＝||+||，所以|+|≤||+||，故B正确；对于C，|•|＝|||||cosθ|≤||•||，故C错误；对于D，当＝，为单位向量，则||﹣||＝﹣1＜|﹣|＝1，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查向量的概念、向量的模、向量的数量积，考查逻辑推理能力，属于基础题．7．（5分）已知向量＝（1，1），＝（﹣1，3），＝（2，1），且（﹣λ）∥，则λ＝（）A．3 B．﹣3 C． D．【分析】利用（﹣λ）∥，列出含λ的方程求解即可．【解答】解：因为﹣λ＝（1+λ，1﹣3λ），又因为（﹣λ）∥，所以1×（1+λ）﹣2×（1﹣3λ）＝7λ﹣1＝0，解得λ＝，故选：C．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，A＝30°，则B＝（）A．60°或120° B．60° C．120° D．30°或150°【分析】根据题目中的条件，利用正弦定理可直接求出角B的正弦值，依据边的关系可求角的大小．【解答】解：∵a＝1，b＝，A＝30°，∴由正弦定理，可得：sinB＝＝＝，∵b＞a∴∠B＝60°或120°故选：A．【点评】本题考查的知识点：正弦定理的应用，三角形解的情况，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，已知sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB≥1，则△ABC是（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【分析】逆用两角和的正弦可得sinA≥1，利用正弦函数的性质即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵sin（A﹣B）cosB+cos（A﹣B）sinB＝sin[（A﹣B）+B]＝sinA≥1，又sinA≤1，∴sinA＝1．又A∈（0，π），∴A＝．∴△ABC为直角三角形．故选：A．【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查两角和的正弦与正弦函数的性质，属于基础题．10．（5分）设a＝cos6°﹣sin6°，b＝，c＝，则有（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【分析】由三角函数恒等变换化简可得a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°．根据角的范围和正弦函数的单调性即可比较大小．【解答】解：∵a＝cos6°﹣sin6°＝sin30°cos6°﹣cos30°sin6°＝sin24°，b＝＝sin26°，c＝＝sin25°．∵0°＜24°＜25°＜26°＜90°∴sin26°＞sin25°＞sin24°，即有：a＜c＜b，故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．11．（5分）已知△ABC中，AB＝2，AC＝1，，O为△ABC所在平面内一点，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【分析】分别令AC，BC的中点为M，N，则可化简式子得＝，于是O为线段MN的靠近N的三等分点，再计算数量积即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，AB＝2，AC＝1，，O为△ABC所在平面内一点，且满足，设AC的中点为M，BC的中点为N，则＝2，＝2∴＝，∴O为线段MN的靠近N的三等分点，∴＝（+）•（）＝（+×）•（）＝﹣＝﹣﹣＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，确定O点位置是解题关键，属于中档题．12．（5分）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积，根据此公式，若ccosB+（b+3a）cosC＝0，且c2﹣a2﹣b2＝4，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosC，然后结合已知及余弦定理可求ab，代入已知公式即可求解．【解答】解：因为ccosB+（b+3a）cosC＝0，所以sinCcosB+sinBcosC+3sinAcosC＝0，即sin（B+C）+3sinAcosC＝0，所以sinA+3sinAcosC＝0，因为sinA≠0，所以cosC＝﹣，∵c2﹣a2﹣b2＝4，由余弦定理可得，cosC＝﹣＝＝，所以ab＝6，则△ABC的面积＝＝2．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．13．（5分）（2+i）（1﹣i）＝3﹣i．【分析】利用复数的四则运算求解．【解答】解：（2+i）（1﹣i）＝2﹣2i+i﹣i2＝3﹣i．故答案为：3﹣i．【点评】本题主要考查了复数的四则运算，是基础题．14．（5分）sin15°cos15°＝．【分析】由题意利用二倍角的正弦公式，求得结果．【解答】解：sin15°cos15°＝sin30°＝，故答案为：．【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．15．（5分）若平面向量，都是单位向量，且|﹣|＝，则，的夹角为．【分析】根据平面向量的数量积求模长和夹角即可．【解答】解：平面向量，都是单位向量，则||＝||＝1，又|﹣|＝3，∴﹣2•+＝1﹣2×1×1×cosθ+1＝3，∴cosθ＝﹣，又θ∈[0，π]，∴θ＝，即，的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长和夹角的应用问题，是基础题16．（5分）若实数α，β满足方程组，则β的一个值是2π．（答案不唯一，写出满足条件的一个值即可）【分析】直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数的应用求出结果．【解答】解：，所以①2+②2得：4sin2β+4cos2β﹣4cosβ+1＝1，整列cosβ＝1，故β＝2kπ（k∈Z），当k＝1时，β＝2π．故答案为：2π．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．17．（5分）如图，在离地面高200m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°、山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为300m．【分析】首先在Rt△AMD中，算出AM＝＝200m，然后在△MAC中，利用正弦定理算出AC＝200m，最后在Rt△ABC中，利用三角函数的定义即可算出山的高度BC．【解答】解：根据题意，可得Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝200，∴AM＝＝200．∵△MAC中，∠AMC＝45°+15°＝60°，∠MAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠MCA＝180°﹣∠AMC﹣∠MAC＝45°，由正弦定理，得＝＝200，在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝200×＝300m．故答案为：300【点评】本题给出实际应用问题，求山的高度BC．着重考查了三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，属于中档题．18．（5分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P点在正方形内（含边界），且．①若，则的值是；②若向量，则λ+μ的最小值为．【分析】由可知，P点在以A为圆心，半径为1的四分之一圆弧BD上，可以A为原点，AB，AD分别为x，y轴建系，将问题坐标化，则问题容易解决．【解答】解：①：由已知得AB＝AP＝BP，故三角形ABP为边长为1的等边三角形，故．②：由已知，如图建立平面直角坐标系：由正方形的边长为1，A（0，0），C（1，1），D（0，1），E（），P（cosα，sinα），0．由向量得，（1，1）＝λ（）+μ（cosα，sinα），得：，解得，．则λ+μ＝，．令f（α）＝，．故f′（α）＝，显然，分子6﹣6sinα+3cosα≥0在[0，]上恒成立，故f′（α）≥0恒成立，即f（α）在[0，]上单调递增，故．λ+μ取最小值．故答案为：，．【点评】本题考查坐标条件下的向量运算，以及三角代换的应用．属于中档题．三、解答题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．19．（10分）已知i是虚数单位，复数z＝（m2﹣4）+（m2﹣3m+2）i（m∈R）．（Ⅰ）当m＝0时，求复数z的模|z|；（Ⅱ）若z为纯虚数，求实数m值．【分析】（Ⅰ）将m＝0代入得z＝﹣4+2i，再利用复数的模长公式即可求解．（Ⅱ）由复数z为纯虚数列出方程组，然后求出m．【解答】解：z＝（m2﹣4）+（m2﹣3m+2）i．（Ⅰ）当m＝0时，z＝﹣4+2i，|Z|＝＝2．（Ⅱ）当复数z为纯虚数时，则，∴m＝﹣2．【点评】本题考查了复数的有关概念，考查了方程思想，属于基础题．20．（10分）已知＝（1，0），＝（0，1），＝（t，t）（t∈R），O是坐标原点．（Ⅰ）若点A，B，M三点共线，求t的值；（Ⅱ）当t取何值时，•取到最小值？并求出最小值．【分析】（1）求出向量的坐标，运用平行的条件可判断求解t的值．（2）运用坐标求解数量积，转化为函数求解．【解答】解：（1）＝＝（﹣1，1），＝﹣＝（t﹣1，t），∵A，B，M三点共线，∴与共线，t＝，（2）＝（，1﹣t，﹣t），＝（﹣t，1﹣t），•＝2t2﹣2t，当t＝时，•取得最小值．【点评】本题考查了向量的坐标运算，结合函数的性质求解最值，属于中档题．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期和对称轴方程；（Ⅲ）求f（x）在上的值域．【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式进行化简，直接代入即可，（Ⅱ）根据三角函数的周期公式，对称性进行求解，（Ⅲ）求出角的范围，利用函数最值与值域关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），则f（）＝2sin（2×﹣）＝2sin＝2×＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数的周期T＝，由2x﹣＝kπ+，k∈Z，得2x＝kπ+，得x＝kπ+，k∈Z，即函数的对称轴为x＝kπ+，k∈Z．（Ⅲ）当x∈时，2x∈[，]，则2x﹣∈[，]，则当2x﹣＝时，函数取得最小值为f（x）＝2sin＝﹣2×＝﹣1，当2x﹣＝时，函数取得最大值为f（x）＝2sin＝2，即函数的值域为[﹣1，2]．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性周期性以及最值性质是解决本题的关键，是中档题．22．（12分）锐角△ABC中满足（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若，求b+c的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理的应用求出A的值；（Ⅱ）利用正弦定理和三角函数的关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）锐角△ABC中满足（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，利用正弦定理：（a﹣b）（a+b）＝（c﹣b）c，整理得a2﹣b2＝c2﹣bc，故cosA＝，由于，故A＝．（Ⅱ）由