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文档简介

2023届云南省红河市高三下学期第三次月考数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,若,则向量在向量方向的投影为()A. B. C. D.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()A. B. C. D.3.如图所示程序框图,若判断框内为“”,则输出()A.2 B.10 C.34 D.984.在我国传统文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五个物质类别,在五者之间,有一种“相生”的关系,具体是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个,这二者具有相生关系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.85.若、满足约束条件,则的最大值为()A. B. C. D.6.方程在区间内的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.107.已知,,则()A. B. C. D.8.五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶,每个单位至少一人,则甲、乙两人不在同一个单位的概率为()A. B. C. D.9.如图,点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,点F,M分别在线段AC,BD1(不包含端点)上运动,则()A.在点F的运动过程中,存在EF//BC1B.在点M的运动过程中,不存在B1M⊥AEC.四面体EMAC的体积为定值D.四面体FA1C1B的体积不为定值10.若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数,则实数的取值范围是()A. B. C. D.11.下图为一个正四面体的侧面展开图,为的中点,则在原正四面体中,直线与直线所成角的余弦值为()A. B.C. D.12.在直角坐标系中,已知A(1,0),B(4,0),若直线x+my﹣1=0上存在点P,使得|PA|=2|PB|,则正实数m的最小值是()A. B.3 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数满足,则的最大值为________.14.某公园划船收费标准如表:某班16名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,每只租船必须坐满,租船最低总费用为______元,租船的总费用共有_____种可能.15.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,过的直线交椭圆于,两点,若,且的三边长,,成等差数列,则的离心率为__________.16.戊戌年结束,己亥年伊始,小康,小梁,小谭,小杨,小刘,小林六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分别奔赴四所不同的学校参加演讲,则不同的分配方案有_________种(用数字作答),三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)2019年9月26日,携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》,2018年国庆假日期间,西安共接待游客1692.56万人次,今年国庆有望超过2000万人次,成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定:若公司某位导游接待旅客,旅游年总收人不低于40(单位:万元),则称该导游为优秀导游.经验表明,如果公司的优秀导游率越高,则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名,统计他们一年内旅游总收入,分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下:分组频数(1)求的值,并比较甲、乙两家旅游公司,哪家的影响度高?(2)从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位:万元)的导游中,随机抽取3人进行业务培训,设来自甲公司的人数为,求的分布列及数学期望.18.(12分)在极坐标系中,曲线的方程为,以极点为原点,极轴所在直线为轴建立直角坐标,直线的参数方程为(为参数),与交于,两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)设点;若、、成等比数列,求的值19.(12分)如图,在斜三棱柱中,已知为正三角形,D,E分别是,的中点,平面平面,.(1)求证:平面;(2)求证:平面.20.(12分)已知函数,其中.(1)函数在处的切线与直线垂直,求实数的值;(2)若函数在定义域上有两个极值点,且.①求实数的取值范围;②求证:.21.(12分)某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查,该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生,调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”,现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,统计情况如下表:同意不同意合计男生a5女生40d合计100(1)求a,d的值,根据以上数据,能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由;(2)将上述调查所得的频率视为概率,现在从所有学生中,采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查,记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X,求X的分布列及数学期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522.(10分)的内角,,的对边分别为,,已知,.(1)求;(2)若的面积,求.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由,,,再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【详解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影为.故选:B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义,属于基础题2、C【解析】

由三视图可知,几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是底边为,高为的等腰三角形,侧棱长为,利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径,根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半径,即可求解球的表面积.【详解】由三视图可知,几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是底边为,高为的等腰三角形,侧棱长为,如图:由底面边长可知,底面三角形的顶角为,由正弦定理可得,解得,三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心,所以,该几何体外接球的表面积为:.故选:C【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题,由三视图求几何体的表面积,考查了学生的空间想象能力,属于基础题.3、C【解析】

由题意,逐步分析循环中各变量的值的变化情况,即可得解.【详解】由题意运行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此时输出.故选:C.【点睛】本题考查了程序框图,只需在理解程序框图的前提下细心计算即可,属于基础题.4、B【解析】

利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个,所有可能的方法为:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共种,其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土,共种,所以所求的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,属于基础题.5、C【解析】

作出不等式组所表示的可行域,平移直线,找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.由,得,平移直线,当直线经过点时,该直线在轴上的截距最大,此时取最大值,即.故选:C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值,一般利用平移直线的方法找到最优解,考查数形结合思想的应用,属于基础题.6、C【解析】

画出函数和的图像,和均关于点中心对称,计算得到答案.【详解】,验证知不成立,故,画出函数和的图像,易知:和均关于点中心对称,图像共有8个交点,故所有解之和等于.故选:.【点睛】本题考查了方程解的问题,意在考查学生的计算能力和应用能力,确定函数关于点中心对称是解题的关键.7、D【解析】

分别解出集合然后求并集.【详解】解:,故选:D【点睛】考查集合的并集运算,基础题.8、D【解析】

三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1,求出甲、乙两人在同一个单位的概率,利用互为对立事件的概率和为1即可解决.【详解】由题意,三个单位的人数可能为2,2,1或3,1,1;基本事件总数有种,若为第一种情况,且甲、乙两人在同一个单位,共有种情况;若为第二种情况,且甲、乙两人在同一个单位,共有种,故甲、乙两人在同一个单位的概率为,故甲、乙两人不在同一个单位的概率为.故选:D.【点睛】本题考查古典概型的概率公式的计算,涉及到排列与组合的应用,在正面情况较多时,可以先求其对立事件,即甲、乙两人在同一个单位的概率,本题有一定难度.9、C【解析】

采用逐一验证法,根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式,可得结果.【详解】A错误由平面,//而与平面相交,故可知与平面相交,所以不存在EF//BC1B错误,如图,作由又平面,所以平面又平面,所以由//,所以,平面所以平面,又平面所以,所以存在C正确四面体EMAC的体积为其中为点到平面的距离,由//,平面,平面所以//平面,则点到平面的距离即点到平面的距离,所以为定值,故四面体EMAC的体积为定值错误由//,平面,平面所以//平面,则点到平面的距离即为点到平面的距离,所以为定值所以四面体FA1C1B的体积为定值故选:C【点睛】本题考查线面、线线之间的关系,考验分析能力以及逻辑推理能力,熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理,中档题.10、B【解析】

求得的导函数,由此构造函数,根据题意可知在上有变号零点.由此令,利用分离常数法结合换元法,求得的取值范围.【详解】,设,要使在区间上不是单调函数,即在上有变号零点,令,则,令,则问题即在上有零点,由于在上递增,所以的取值范围是.故选:B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查方程零点问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.11、C【解析】

将正四面体的展开图还原为空间几何体,三点重合,记作,取中点,连接,即为与直线所成的角,表示出三角形的三条边长,用余弦定理即可求得.【详解】将展开的正四面体折叠,可得原正四面体如下图所示,其中三点重合,记作:则为中点,取中点,连接,设正四面体的棱长均为,由中位线定理可得且,所以即为与直线所成的角,,由余弦定理可得,所以直线与直线所成角的余弦值为,故选:C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角,将展开图折叠成空间几何体,余弦定理解三角形的应用,属于中档题.12、D【解析】

设点,由,得关于的方程.由题意,该方程有解,则,求出正实数m的取值范围,即求正实数m的最小值.【详解】由题意,设点.,即,整理得,则,解得或..故选:.【点睛】本题考查直线与方程,考查平面内两点间距离公式,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

作出不等式组所表示的平面区域,将目标函数看作点与可行域的点所构成的直线的斜率,当直线过时,直线的斜率取得最大值,代入点A的坐标可得答案.【详解】画出二元一次不等式组所表示的平面区域,如下图所示,由得点,目标函数表示点与可行域的点所构成的直线的斜率,当直线过时,直线的斜率取得最大值,此时的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查求目标函数的最值,关键在于明确目标函数的几何意义,属于中档题.14、36010【解析】

列出所有租船的情况,分别计算出租金,由此能求出结果.【详解】当租两人船时,租金为:元,当租四人船时,租金为:元,当租1条四人船6条两人船时,租金为:元,当租2条四人船4条两人船时,租金为:元,当租3条四人船2条两人船时,租金为:元,当租1条六人船5条2人船时,租金为:元,当租2条六人船2条2人船时,租金为:元,当租1条六人船1条四人船3条2人船时,租金为:元,当租1条六人船2条四人船1条2人船时,租金为:元,当租2条六人船1条四人船时,租金为:元,综上,租船最低总费用为360元,租船的总费用共有10种可能.故答案为:360,10.【点睛】本小题主要考查分类讨论的数学思想方法,考查实际应用问题,属于基础题.15、【解析】

设,,,根据勾股定理得出,而由椭圆的定义得出的周长为,有,便可求出和的关系,即可求得椭圆的离心率.【详解】解:由已知,的三边长,,成等差数列,设,,,而,根据勾股定理有:,解得:,由椭圆定义知:的周长为,有,,在直角中,由勾股定理,,即:,∴离心率.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆的离心率以及椭圆的定义的应用,考查计算能力.16、1080【解析】

按照先分组,再分配的分式,先将六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人有种,再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种,然后用分步计数原理求解.【详解】将六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人有种,再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种,则不同的分配方案有种.故答案为:1080【点睛】本题主要考查分组分配问题,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),乙公司影响度高;(2)见解析,【解析】

(1)利用各小矩形的面积和等于1可得a,由导游人数为40人可得b,再由总收人不低于40可计算出优秀率;(2)易得总收入在中甲公司有4人,乙公司有2人,则甲公司的人数的值可能为1,2,3,再计算出相应取值的概率即可.【详解】(1)由直方图知,,解得,由频数分布表中知:,解得.所以,甲公司的导游优秀率为:,乙公司的导游优秀率为:,由于,所以乙公司影响度高.(2)甲公司旅游总收入在中的有人,乙公司旅游总收入在中的有2人,故的可能取值为1,2,3,易知:,;.所以的分布列为:123P.【点睛】本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望,考查学生数据处理与数学运算的能力,是一道中档题.18、(1)曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为;(2)【解析】

(1)由极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的互化,即可求解曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)把的参数方程代入抛物线方程中,利用韦达定理得,,可得到,根据因为,,成等比数列,列出方程,即可求解.【详解】(1)由题意,曲线的极坐标方程可化为,又由,可得曲线的直角坐标方程为,由直线的参数方程为(为参数),消去参数,得,即直线的普通方程为;(2)把的参数方程代入抛物线方程中,得,由,设方程的两根分别为,,则,,可得,.所以,,.因为,,成等比数列,所以,即,则,解得解得或(舍),所以实数.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程,以及参数方程与普通方程的互化,以及直线参数方程的应用,其中解答中熟记互化公式,合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.19、(1)见解析;(2)见解析【解析】

(1)根据,分别是,的中点,即可证明,从而可证平面;(2)先根据为正三角形,且D是的中点,证出,再根据平面平面,得到平面,从而得到,结合,即可得证.【详解】(1)∵,分别是,的中点∴∵平面,平面∴平面.(2)∵为正三角形,且D是的中点∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,面面垂直的性质等,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,中档题.20、(1);(2)①;②详见解析.【解析】

(1)由函数在处的切线与直线垂直,即可得,对其求导并表示,代入上述方程即可解得答案;(2)①已知要求等价于在上有两个根,且,即在上有两个不相等的根,由二次函数的图象与性质构建不等式组,解得答案,最后分析此时单调性推及极值说明即可;②由①可知,是方程的两个不等的实根,由韦达定理可表达根与系数的关系,进而用含的式子表示,令,对求导分析单调性,即可知道存在常数使在上单调递减,在上单调递增,进而求最值证明不等式成立.【详解】解:(1)依题意,,,故,所以,据题意可知,,解得.所以实数的值为.(2)①因为函数在定义域上有两个极值点,且,所以在上有两个根,且,即在上有两个不相等的根.所以解得.当时,若或,,,函数在和上单调递增;若,,,函数在上单调递减,故函数在上有两个极值点,且.所以,实数的取值范围是.②由①可知,是方程的两个不等的实根,所以其中.故

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