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文档简介
2023届山西省太原市小店区山西大学附属中学高三下学期暑假联考数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A. B.64 C. D.322.已知函数满足:当时,,且对任意,都有,则()A.0 B.1 C.-1 D.3.i是虚数单位,若,则乘积的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.154.设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是()A. B. C. D.5.集合,,则()A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数值的个数为()A.1 B.2 C.3 D.47.已知复数满足(其中为的共轭复数),则的值为()A.1 B.2 C. D.8.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图,90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是()注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多9.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D是AB的中点,若,且,则面积的最大值是()A. B. C. D.10.第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行,为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P,某学生做如图所示的模拟实验:通过计算机模拟在长为10,宽为6的长方形奥运会旗内随机取N个点,经统计落入五环内部及其边界上的点数为n个,已知圆环半径为1,则比值P的近似值为()A. B. C. D.11.已知的值域为,当正数a,b满足时,则的最小值为()A. B.5 C. D.912.已知双曲线(,),以点()为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于,两点,若,则的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设等差数列的前项和为,若,,则______,的最大值是______.14.在中,若,则的范围为________.15.在各项均为正数的等比数列中,,且,成等差数列,则___________.16.已知x,y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,则三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(,),且对任意,都有.(Ⅰ)用含的表达式表示;(Ⅱ)若存在两个极值点,,且,求出的取值范围,并证明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断零点的个数,并说明理由.18.(12分)在锐角中,分别是角的对边,,,且.(1)求角的大小;(2)求函数的值域.19.(12分)如图,在四棱锥中,侧棱底面,,,,是棱的中点.(1)求证:平面;(2)若,点是线段上一点,且,求直线与平面所成角的正弦值.20.(12分)设,函数.(1)当时,求在内的极值;(2)设函数,当有两个极值点时,总有,求实数的值.21.(12分)已知中,,,是上一点.(1)若,求的长;(2)若,,求的值.22.(10分)已知函数,.(1)求证:在区间上有且仅有一个零点,且;(2)若当时,不等式恒成立,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
根据三视图,还原空间几何体,即可得该几何体的体积.【详解】由该几何体的三视图,还原空间几何体如下图所示:可知该几何体是底面在左侧的四棱锥,其底面是边长为4的正方形,高为4,故.故选:A【点睛】本题考查了三视图的简单应用,由三视图还原空间几何体,棱锥体积的求法,属于基础题.2、C【解析】
由题意可知,代入函数表达式即可得解.【详解】由可知函数是周期为4的函数,.故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用,属于基础题.3、B【解析】,∴,选B.4、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函数,∴f(-x+1)=f(x+1),即函数f(x)关于x=1对称.
∵当x≥1时,为减函数,∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,
故选C5、A【解析】
计算,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.6、C【解析】试题分析:根据题意,当时,令,得;当时,令,得,故输入的实数值的个数为1.考点:程序框图.7、D【解析】
按照复数的运算法则先求出,再写出,进而求出.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模,考查基本运算能力,属于基础题.8、D【解析】
根据两个图形的数据进行观察比较,即可判断各选项的真假.【详解】在A中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%,所以是正确的;在B中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图,90后从事互联网行业岗位分布条形图得到:,互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的,所以是正确的;在C中,由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图,90后从事互联网行业岗位分别条形图得到:,互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多,所以是正确的;在D中,互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为,所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多.故选:D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定,以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.9、A【解析】
根据正弦定理可得,求出,根据平方关系求出.由两端平方,求的最大值,根据三角形面积公式,求出面积的最大值.【详解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中点,且,,即,即,,当且仅当时,等号成立.的面积,所以面积的最大值为.故选:.【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算,属于中档题.10、B【解析】
根据比例关系求得会旗中五环所占面积,再计算比值.【详解】设会旗中五环所占面积为,由于,所以,故可得.故选:B.【点睛】本题考查面积型几何概型的问题求解,属基础题.11、A【解析】
利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.【详解】解:∵的值域为,∴,∴,∴,当且仅当时取等号,∴的最小值为.故选:A.【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.12、A【解析】
求出双曲线的一条渐近线方程,利用圆与双曲线的一条渐近线交于两点,且,则可根据圆心到渐近线距离为列出方程,求解离心率.【详解】不妨设双曲线的一条渐近线与圆交于,因为,所以圆心到的距离为:,即,因为,所以解得.故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查了转化思想以及计算能力,属于中档题.对于离心率求解问题,关键是建立关于的齐次方程,主要有两个思考方向,一方面,可以从几何的角度,结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程;另一方面,可以从代数的角度,结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用等差数列前项和公式,列出方程组,求出首项和公差的值,利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式,可求出的表达式,然后利用双勾函数的单调性可求出的最大值.【详解】(1)设等差数列的公差为,则,解得,所以,数列的通项公式为;(2),,令,则且,,由双勾函数的单调性可知,函数在时单调递减,在时单调递增,当或时,取得最大值为.故答案为:;.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.14、【解析】
借助正切的和角公式可求得,即则通过降幂扩角公式和辅助角公式可化简,由,借助正弦型函数的图象和性质即可解得所求.【详解】,所以,.因为,所以,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般.15、【解析】
利用等差中项的性质和等比数列通项公式得到关于的方程,解方程求出代入等比数列通项公式即可.【详解】因为,成等差数列,所以,由等比数列通项公式得,,所以,解得或,因为,所以,所以等比数列的通项公式为.故答案为:【点睛】本题考查等差中项的性质和等比数列通项公式;考查运算求解能力和知识综合运用能力;熟练掌握等差中项和等比数列通项公式是求解本题的关键;属于中档题.16、3【解析】
先根据约束条件画出可行域,再由y=2x-z表示直线在y轴上的截距最大即可得解.【详解】x,y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,画出可行域如图所示.目标函数z=2x-y,即平移直线y=2x-z,截距最大时即为所求.2y+1=0x-y-1=0点A(12,z在点A处有最小值:z=2×1故答案为:32【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用数形结合,结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析(3)见解析【解析】试题分析:利用赋值法求出关系,求函数导数,要求函数有两个极值点,只需在内有两个实根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范围,再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数.试题解析:(Ⅰ)根据题意:令,可得,所以,经验证,可得当时,对任意,都有,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,且,所以,令,要使存在两个极值点,,则须有有两个不相等的正数根,所以或解得或无解,所以的取值范围,可得,由题意知,令,则.而当时,,即,所以在上单调递减,所以即时,.(Ⅲ)因为,.令得,.由(Ⅱ)知时,的对称轴,,,所以.又,可得,此时,在上单调递减,上单调递增,上单调递减,所以最多只有三个不同的零点.又因为,所以在上递增,即时,恒成立.根据(2)可知且,所以,即,所以,使得.由,得,又,,所以恰有三个不同的零点:,1,.综上所述,恰有三个不同的零点.【点睛】利用赋值法求出关系,利用函数导数,研究函数的单调性,要求函数有两个极值点,只需在内有两个实根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范围,利用函数的导数研究函数的单调性、极值,再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数是近年高考压轴题的热点.18、(1);(2)【解析】
(1)由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得,进而得到;(2)利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为,根据的范围可确定的范围,结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.【详解】(1),,由正弦定理得:,即,,,,又,.(2)在锐角中,,..,,,,函数的值域为.【点睛】本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题;涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.19、(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)的中点,连接,,证明四边形是平行四边形可得,故而平面;(2)以为原点建立空间坐标系,求出平面的法向量,计算与的夹角的余弦值得出答案.【详解】(1)证明:取的中点,连接,,,分别是,的中点,,,又,,,,四边形是平行四边形,,又平面,平面,平面.(2)解:,,又,故,以为原点,以,,为坐标轴建立空间直角坐标系,则,0,,,0,,,2,,,0,,,2,,是的中点,是的三等分点,,1,,,,,,,,,0,,,2,,设平面的法向量为,,,则,即,令可得,,,,,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定,空间向量与直线与平面所成角的计算,属于中档题.20、(1)极大值是,无极小值;(2)【解析】
(1)当时,可求得,令,利用导数可判断的单调性并得其零点,从而可得原函数的极值点及极大值;(2)表示出,并求得,由题意,得方程有两个不同的实根,,从而可得△及,由,得.则可化为对任意的恒成立,按照、、三种情况分类讨论,分离参数后转化为求函数的最值可解决;【详解】(1)当时,.令,则,显然在上单调递减,又因为,故时,总有,所以在上单调递减.由于,所以当时,;当时,.当变化时,的变化情况如下表:+-增极大减所以在上的极大值是,无极小值.(2)由于,则.由题意,方程有两个不等实根,则,解得,且,又,所以.由,,可得又.将其代入上式得:.整理得,即当时,不等式恒成立,即.当时,恒成立,即,令,易证是上的减函数.因此,当时,,故.当时,恒成立,即,因此,当时,所以.综上所述,.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识,考查分类讨论思想、
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