初三数学中考总复习数学思想解题方法专题讲座

初三数学中考总复习

数学思想解题方法专题讲座

目录

专题讲座一：选择题解题方法.............................1

专题讲座二：新概念型问题..............................19

专题讲座三：开放性问题................................42

专题讲座四：探究型问题................................61

专题讲座五：数学思想方法（一）.......................112

专题讲座六：数学思想方法（二）.......................133

专题讲座七：归纳猜想型问题（一）.....................161

专题讲座八：归纳猜想型问题（二）.....................177

专题讲座九：阅读理解型问题...........................207

专题讲座十：方案设计型问题...........................248

专题讲座一：选择题解题方法

一、中考专题诠释

选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8〜14题，这

说明选择题有它不可替代的重要性.

选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它

有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.

二、解题策略与解法精讲

选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.

解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选

择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程.因而，在解答时应该突出一

个"选''字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体

特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略.具体求解时，一

是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件.

事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.

三、中考典例剖析

考点一：直接法

从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选

择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础.

2

例1（2012・白银）方程三年二0的解是（）

A.x=±lB.x=lC.x=-1D.x=0

思路分析：观察可得最简公分母是（X+1）,方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式

方程求解.

解：方程的两边同乘（X+1）,得

X2-1=0,

即（x+1）（x-1）=0,

解得：X1=-1,x2=l.

检验：把x=-1代入（x+1）=0,即x=-1不是原分式方程的解；

把x=l代入（x+1）=2旬，即x=l是原分式方程的解.

则原方程的解为：x=L

故选B.

点评：此题考查了分式方程的求解方法.此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式

方程一定要验根.

对应训练

1.（2012•南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安

排10场比赛，则参加比赛的球队应有（）

A.7队B.6队C.5队D.4队

考点二：特例法

运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等

对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，

由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好.

I

例2（2012•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且给出下列四个不等式:

ba

accadbbd

①一r<—7；②——;<―7；③——;<—r；④­7<——7。

c+ac-\-aa-\-bc+da+ba+bc+d

其中不等式正确的是（）

A.①③B.①④C.②④D.②③

思路分析：由己知a、b、c、d都是正实数，且/<三，取a=l,b=3,c=l,d=2,代入所求四个式

ba

子即可求解。

解：由已知a、b、c>d都是正实数，且二，取a=l,b=3,c=l,d=2,则

ba

tz_1_1c1InC

-,所以一-<——-,故①正确;

a+b1+34'c+d1+23a+bc+a

d22h33”，。b

-----=-----=—,-----=----=—,所以-----<-----,故③正确。

c+d1+23a+b1+34c+da+b

故选Ao

点评：本题考查了不等式的性质，用特殊值法来解，更为简单.

对应训练

2.（2012•南充）如图，平面直角坐标系中，。0的半径长为1,点P（a,0）,（DP的半径长为2,

把。P向左平移，当。P与。。相切时，a的值为（）

A.3B.1C.1,3D.±1,±3

考点三：筛选法（也叫排除法、淘汰法）

分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题

设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛

盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中

有且只有一个答案正确.

例3（2012•东营）方程（k-l）x2-J匚工x+：=0有两个实数根，则k的取值范围是（）

A.k>lB.k<lC.k>lD.k<l

思路分析：原方程有两个实数根，故为二次方程，二次项系数不能为0,可排除A、B：又因为被开

方数非负，可排除C。故选D.

2

解：方程(k-l)x2-JjT^x+i=0有两个实数根，故为二次方程，二次项系数2-1#0,,可排

除A、B；又因为1—左屋0,左1,可排除C。

故选D.

点评：此题考查了一元二次方程根的判别式与解的情况，用排除法较为简单.

对应训练

3.(2012•临沂)如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ〃y轴，分别交函数

y=卜(x>0)和丫=勺(x>0)的图象于点P和Q,连接OP和OQ.则下列结论正确的是()

XX

A.NPOQ不可能等于90。

PMk,

B------=—

■QMk2

C.这两个函数的图象一定关于X轴对称

考点四：逆推代入法

将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题

设条件的选择支的一种方法.在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题

速度.

例4(2012•贵港)下列各点中在反比例函数y=9的图象上的是()

x

A.(-2,-3)B.(-3,2)C.(3,-2)D.(6,-1)

思路分析：根据反比例函数y=一中xy=6对各选项进行逐一判断即可.

x

解：A,V(-2)x(-3)=6,.•.此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；

B、(-3)x2=-6#6,...此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C.V3x(-2)=-6加，.•.此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

D、•.♦6x(-1)=-6声6,...此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误.

故选A.

点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的

3

关键.

对应训练

4.（2012•贵港）从2,-1,-2三个数中任意选取一个作为直线y=kx+l中的k值，则所得的直线

不经过第三象限的概率是（）

2R1

AB-2c-D.1

,33

考点五：直观选择法

利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题（如解方程、解不等式、求最值，求取值范围

等）与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数

形结合思想，每年中考均有很多选择题（也有填空题、解答题）都可以用数形结合思想解决，既简捷又

迅速.

例5（2012•贵阳）已知二次函数y=ax?+bx+c（a<0）的图象如图所示，当-5WxW0时，下列说法

正确的是（）

A.有最小值-5、最大值0B.有最小值-3、最大值6

C.有最小值0、最大值6D.有最小值2、最大值6

解：由二次函数的图象可知，

；-5WxW0,

.,.当x=-2时函数有最大值，y最大=6；

当x=-5时函数值最小，y取小=-3.

故选B

点评：本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键.

对应训练

5.（2012•南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则

下列关系不正确的是（）

C.k<nD.h<0,k<0

考点六：特征分析法

4

对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、

位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法

例6（2012•威海）下列选项中，阴影部分面积最小的是（）

分析：根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可.

2

解：A、YM、N两点均在反比例函数y=—的图象上，，S阴影=2；

2

B、TM、N两点均在反比例函数尸一的图象上，，S阴影=2；

C、如图所示，分别过点MN作MA_Lx轴，NB_Lx轴，贝US阴影=SZ^）AM+S阴影梯形ABNM・SAOBN=彳x2+彳

13

（2+1）xl--x2=-；

21

D>VM>N两点均在反比例函数y二—的图象上，,大xlxdu2.

X2

3

V-<2,

2

，C中阴影部分的面积最小.

5

故选c.

点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作

k

垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是一II，且保持不变.

2

对应训练

6.（2012•丹东）如图，点A是双曲线y=X在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D分别

x

则k的值为（）

-2

考点七：动手操作法

与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定，处

理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解的目的.

例7（2012•西宁）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手

指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段.在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可

以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图①〜④的过程折叠后展开，请选择所得到

的数学结论（）

A.角的平分线上的点到角的两边的距离相等

B.在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半

C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

D.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形

思路分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察图形特

点，利用对称性与排除法求解.

解：如图②，•.•△CDE由4ADE翻折而成，

，AD=CD,

如图③，:△DCF由4DEF翻折而成，

，BD=CD,

.•.AD=BD=CD,点D是AB的中点，

6

.•.CD=[AB,即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

2

故选C.

点评：本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.

对应训练

7.（2012・宁德）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁,

最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（）

四、中考真题演练

1.（2012•衡阳）一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为（）

A.30ncm2B.25Ttem2C.50Tlem?D.lOOncm2

2.（2012•福州）。0]和。。2的半径分别是3cm和4cm,如果OQ2=7cm,则这两圆的位置关系是

（）

A.内含B.相交C.外切D.外离

3.（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更

换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为

（）

7

4.（2012•安徽）如图，A点在半径为2的。。上，过线段OA上的一点P作直线2,与。。过A点

的切线交于点B,且NAPB=60。，设OP=x,则4PAB的面积y关于x的函数图象大致是（）

5.（2012•黄石）有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段,

剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x,y应分别为（）

A.x=l,y=3B.x=3,y=2C.x=4,y=lD.x=2,y=3

6.（2012•长春）有一道题目：已知一次函数y=2x+b,其中b<0,与这段描述相符的函数图象

可能是（）

8

7.（2012•荆门）如图，点A是反比例函数y=2（x>0）的图象上任意一点，AB〃x轴交反比例函

x

3

数y=-V的图象于点B,以AB为边作口ABCD,其中C、D在x轴上，则S「ABCD为（）

x

8.（2012•河池）若a>b>0,则下列不等式不一定成立的是（）

A.ac>bcB.a+c>b+cC.—D.ab>b2

ab

9.(2012•南通)已知x?+16x+k是完全平方式，则常数k等于()

A.64B.48C.32D.16

10.(2012•六盘水)下列计算正确的是()

A.B・(a+b)2=a2+b2C.(-2a)3=-6a3D.-(x-2)=2-x

II.(2012•郴州)抛物线y二(x-1)2+2的顶点坐标是()

A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(1,2)

12.（2012•莆田）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均

为166cm,且方差分别为S甲2=1.5,S乙？=2.5,S丙2=2.9,S丁2=3.3,则这四队女演员的身高最

整齐的是（）

A.甲队B.乙队C.丙队D.丁队

13.（2012♦怀化）为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出每株长

度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8,则下列说法正确的是（）

A.甲秧苗出苗更整齐B.乙秧苗出苗更整齐

C.甲、乙出苗一样整齐D.无法确定

14.（2012♦长春）如图是2012年伦敦奥运会吉祥物,某校在五个班级中对认识它的人数进行了调查，

结果为（单位：人）：30,31,27,26,31.这组数据的中位数是（）

A.27B.29C.30D.31

15.（2012•钦州）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB,在把以AB的中点O为顶点的平

角NAOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那

么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（）

9

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

16.（2012•江西）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表,相邻电路的电线等距排列，则三户所

用电线（）

abc

ab

A.a户最长B.b户最长C.c户最长D.三户一样长

17.（2012・大庆）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（«，1）,将0A绕原点按逆

时针方向旋转30。得0B,则点B的坐标为（）

A.(1,73)B.(-1,如)C.(O,2)D.(2,0)

18.（2012♦长春）在下列正方体的表面展开图中,剪掉1个正方形（阴影部分），剩余5个正方形组

成中心对称图形的是（）

A.B.

D.S

a-b

19.,则的值是()

a+b

A2R394

B-2C.D.

,349

20.(2012•南充)下列几何体中，俯视图相同的是（）

③

B.①③C.②③D.②④

21.（2012•朝阳）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的

俯视图是（）

10

水平面

A.两个外离的圆B.两个相交的圆C.两个外切的圆D.两个内切的圆

22.（2012•河池）如图，把一块含有45。角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上.如

果N1=25°,那么/2的度数是（）

A.30°B.25°C.20°D.15°

23.（2012•长春）如图,在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB；

再分别以点A、B为圆心，以大于,AB长为半径作弧，两弧交于点C.若点C的坐标为（m-1,2n）,

24.（2012•巴中）如图，己知AD是^ABC的BC边上的高,下列能使4ABD^AACD的条件是（）

A.AB=ACB.ZBAC=90°C.BD=ACD.ZB=45"

25.（2012•河池）用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形

ABCD是菱形的依据是（）

A.一组邻边相等的四边形是菱形

B.四边相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

11

26.（2012•随州）如图，AB是。0的直径，若NBAC=35。，则NADC=（）

27.（2012•攀枝花）下列四个命题:

①等边三角形是中心对称图形；

②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；

③三角形有且只有一个外接圆；

④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.

其中真命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

28.（2012・莱芜）以下说法正确的有（）

①正八边形的每个内角都是135。

②&7与噌是同类二次根式

③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°

④反比例函数y=-2,当x<0时，y随x的增大而增大.

x

A.1个B.2个C.3个D.4个

4

29.（2012•东营）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A,B两点，与反比例函数尸上的

x

图象相交于C,D两点，分别过C,D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E,F,连接CF,DE.有

下列四个结论：

①4CEF与4DEF的面积相等；

②△AOBsaFOE；

©△DCE^ACDF；

④AC=BD.

其中正确的结论是（）

12

专题一选择题解题方法参考答案

三、中考典例剖析

对应训练

1.C

解：设邀请X个球队参加比赛，

依题意得1+2+3+…+x-l=10,

x(x-l)

BP———-=10,

2

.".X2-X-20=0,

；.x=5或x=-4(不合题意,舍去).

故选C.

2.D

解：当两个圆外切时,圆心距d=l+2=3,即P到O的距离是3,则2=±3.

当两圆相内切时,圆心距d=2-l=l,即P到O的距离是1,则2=±1.

故a=+l或±3.

故选D.

3.D

解：A.点坐标不知道，当PM=MO=MQ时，NPOQ=90。，故此选项错误；

PMk.

B.根据图形可得：k,>0,k2<0,而PM,QM为线段一定为正值，故=故此选项错误;

QMk2

C.根据k1,k2的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于X轴对称，故此选项错误；

故选：D.

4.C

5.A

6.D

解：•••点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点，

四边形ABCD是矩形，

•••四边形ABCD的面积是8,

.*.4x|-k|=8,

13

解得|k|=2,

又・・,双曲线位于第二、四象限，

Ak<0,

・・・k=-2.

故选D.

7.B.

四、中考真题演练

1.B

2.C

3.A

解：丁某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形

的边长都为a,

.'.AB=a,且NCAB二NCBA=45°,

**SAABC='

...正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：A_x4=a2.

4

正八边形中间是边长为a的正方形,

.••阴影部分的面积为：a2+a2=2a2,

故选：A.

4.D

解：当P与O重合，

〈A点在半径为2的。O上，过线段OA上的一点P作直线1,与。。过A点的切线交于点B,且N

APB=60°,

.\AO=2,OP=x,则AP=2-x,

.,・tan600=黑=«，

PA

解得：AB=A/3(2-x)=-

SAABP=：-^XPAXAB=-(2-x)•遂•(-V^x+2«)=-x2-6x+6,

故此函数为二次函数,

14

3

Va=-^>0,

2

~62

•••当x=-^=--相2时，S取到最小值为：4ac-b：

2a2X-4a

根据图象得出只有D符合要求.

5.B

解：根据题意得：7x+9y“0,

e40-9y

则x<---,

；40-9以）且y是非负整数，

••.y的值可以是：1或2或3或4.

当x的值最大时，废料最少，

当y=l时，x<y,则x=4,此时，所剩的废料是：40-1x94x7=3mm；

当y=2时，x<y,则x=3,此时，所剩的废料是：40-2x93x7=lmm；

13

当y=3时，x<y,则x=l,此时，所剩的废料是：40-3x97=6mm；

4

当y=4时，x<-,则x=0（舍去）.

则最小的是：x=3,y=2.

故选B.

6.A

7.D

解：设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b.

9990

把y=b代入丫=工得，则x=g,即A的横坐标是《,；

xxbb

3

同理可得：B的横坐标是：

b

则AB=y-（-］）=~.

bbb

5

则SOABCD=苫b=5.

b

故选D.

8.A

15

9.A

10.D

11.D

12.A

13.A

14.C

15.D

16.D

17.A

解：如图，作AC，x轴于C点，BDLy轴于D点,

•・,点A的坐标为（遂，1）,

・・・AC=1,OC=。

••-0A=V（V3）2+l2=2.

・•・ZAOC=30°,

VOA绕原点按逆时针方向旋转30。得OB,

AZAOB=30°,OA=OB,

.\ZBOD=30°,

ARtAOAC^RtAOBD,

/.DB=AC=1,OD=OC=«,

AB点坐标为（1,«）.

故选A.

19.D

20.C

21.B

22.C

解：•••△GEF是含45。角的直角三角板,

・・・ZGFE=45°,

VZ1=25°,

・・・ZAFE=ZGEF-Zl=45°-25°=20°,

・.,AB〃CD,

/.Z2=ZAFE=20°.

故选C.

16

解：•..OA=OB；分别以点A、B为圆心，以大于aAB长为半径作弧，两弧交于点C,

；.C点在NBOA的角平分线上，

••.C点到横纵坐标轴距离相等，进而得出，m-l=2n,

即m-2n=l.

故选：B.

24.A

25.B

26.B

27.B

解：•••等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，①是假命题；

如图，/C和ND都对弦AB,但NC和/D不相等，即②是假命题；

三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题;

垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题.

故选B.

28.C

解：①正八边形的每个内角都是:180°X(8-2)=135°,故①正确;

8

②：折=3爪，

•••&?与噌是同类二次根式；故②正确;

③如图：♦.•OA=OB=AB,

.-.ZAOB=60",

.•./C=±/AOB=30。，

2

.*.ZD=18O°-NC=15O°,

..•长度等于半径的弦所对的圆周角为：30。或150。；故③错误；

④反比例函数y=-三当xVO时，y随x的增大而增大.故④正确.

X

故正确的有①②④，共3个.

故选C.

D

17

29.C

解：①设D(x,则F(x,0),

X

由图象可知x>0,

14

•••△DEF的面积是：曰|二|x|x|二2,

2x

44

设C(a,-),则E(0,-),

aa

4

由图象可知I：-VO,a>0,

a

14

△CEF的面积是:^x|a|xA=2,

2a

AACEF的面积=4DEF的面积，

故①正确；

@ACEF和4DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，

故EF〃CD,

；.FE〃AB,

AAOBCOAFOE,

故②正确；

③・"、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数尸W的图象的交点,

X

解得：x=-4或1,

经检验：x=-4或1都是原分式方程的解，

AD(1,4),C(-4,-1),

ADF=4,CE=4,

,一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A,B两点,

AA(-3,0),B(0,3),

AZABO=ZBAO=45°,

VDF/7BO,AO/7CE,

.\ZBCE=ZBAO=45°,ZFDA=ZOBA=45°,

.,.ZDCE=ZFDA=45°,

rDF=CE

在4DCE和aCDF中|ZFDC=ZECD，

DC=CD

AADCE^ACDF(SAS),

故③正确；

④・・，BD〃EF,DF〃BE,

・・・四边形BDFE是平行四边形，

・・・BD=EF,

18

同理EF=AC,

，AC=BD,

故④正确；

正确的有4个.

专题讲座二：新概念型问题

一、中考专题诠释

所谓"新概念''型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新

符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一

种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解

决问题的能力

二、解题策略和解法精讲

“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根

据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移.

三、中考典例剖析

考点一：规律题型中的新概念

例1（2012•永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1,3,9,19,33,…就是一

个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列

就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差.如2,4,6,8,10就是一个等差数列，它的

公差为2.如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二

阶等差数列.例如数列1,3,9,19,33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2,6,

10,14,这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1,3,9,19,33,…是一个二阶等差数

列.那么，请问二阶等差数列1,3,7,13,…的第五个数应是.

思路分析：由于3-1=2,7-3=4,13-7=6,…，由此得出相邻两数之差依次大2,故13的后一个数比

13大8.

解答：解：由数字规律可知，第四个数13,设第五个数为x,

则x-13=8,解得x=21,即第五个数为21,

故答案为：21.

点评：本题考查了数字变化规律类问题.关键是确定二阶等差数列的公差为2.

19

对应训练

1.（2012•自贡）若x是不等于1的实数，我们把」一称为x的差倒数，如2的差倒数是」=-1，

1-x1-2

-1的差倒数为一1—=现已知X尸-X2是X1的差倒数，X3是X2的差倒数，X4是X3的差

倒数，…，依次类推，则X2（）|2=.

考点二：运算题型中的新概念

ab

例2（2012•荷泽）将4个数a,b,c,d排成2行、2歹ij,两边各加一条竖直线记成，概念

cd

abx+11-x

=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式.若二8,则x二_____________.

cd\-xx+1

思路分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为x的值.

解：根据题意化简—=8,得：（x+1）2一（1-x）2=8,

1-xX+1

整理得:X2+2X+1-（1-2X+X2）-8=0,即4x=8,

解得：x=2.

故答案为：2

点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、

合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键.

对应训练

2.（2012•株洲）若（xi，yi）•（X2，y2）=xiX2+yiy2>贝U（4,5）•（6,8）=.

考点三：探索题型中的新概念

例3（2012・南京）如图，A、B是。。上的两个定点，P是。O上的动点（P不与A、B重合）、

我们称/APB是。O上关于点A、B的滑动角.

（1）已知NAPB是。O上关于点A、B的滑动角，

①若AB是（DO的直径，则NAPB=°；

②若。O的半径是1,AB=&,求/APB的度数；

（2）已知。2是。01外一点，以02为圆心作一个圆与。0|相交于A、B两点，NAPB是。Oi上关

于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交。。2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合）,

连接AN,试探索/APB与/MAN、/ANB之间的数量关系.

思路分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90。即可求解;

20

②根据勾股定理的逆定理可得NAOB=90。，再分点P在优弧源上；点P在劣弧第上两种情况讨论

求解；

（2）根据点P在。01上的位置分为四种情况得到/APB与/MAN、NANB之间的数量关系.

解：（1）①若AB是。0的直径，则NAPB=90.

②如图，连接AB、0A、0B.

在小A0B中，

VOA=OB=1.AB=M，

.*.OA2+OB2=AB2.

.•.ZAOB=90°.

当点P在优弧窟上时，ZAP1B=1ZAOB=45"；

2

当点P在劣弧第上时，ZAP2B=^（360。-ZAOB）=135°...6分

2

（2）根据点P在。0|上的位置分为以下四种情况.

第一种情况：点P在。02外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①

ZMAN=ZAPB+ZANB,

NAPB=/MAN-ZANB；

第二种情况：点P在。。2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②.

VZMAN=ZAPB+ZANP=ZAPB+（180°-ZANB）,

AZAPB=ZMAN+ZANB-180°；

第三种情况：点P在。02外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③.

ZAPB+ZANB+ZMAN=180°,

NAPB=180°-ZMAN-ZANB,

第四种情况：点P在。。2内，如图④，

ZAPB=ZMAN+ZANB.

21

点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分

类思想的运用.

对应训练

3.(2012•陕西)如果一条抛物线y=ax?+bx+c(a翔)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和

这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

(1)“抛物线三角形”一定是三角形；

(2)若抛物线y=-x?+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；

(3)如图，AOAB是抛物线y=-x2+b，x(b，>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心

的矩形ABCD?若存在，求出过0、C、D三点的抛物线的表达式：若不存在，说明理由.

考点四：开放题型中的新概念

例4(2012•北京)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点R(xPyf)与P2(x2)y2)的“非常

距离“，给出如下概念：

若WE以yi-yd，则点Pi与点P2的“非常距离”为IXEI；

若Ixi-X2|〈|y「y2l，则点Pi与点P2的“非常距离''为lyi-yR

例如：点Pi(1,2),点P2C,5),因为|1-3|V|2-5|,所以点Pi与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也

就是图1中线段PiQ与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线PiQ与垂直于x轴的直线

P2Q交点).

(1)已知点A(-；,0),B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离'’的最小值；

3

(2)已知C是直线y=1X+3上的一个动点，

①如图2,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3,E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小

值及相应的点E与点C的坐标.

22

思路分析：（1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0,y）.由“非常距离”的概念可以

确定|0-y|=2,据此可以求得y的值；

②设点B的坐标为（0,y）.因为卜J-0闫0-y|,所以点A与点B的“非常距离”最小值为卜；-0|=；；

3

（2）①设点C的坐标为（xo，-x0+3）.根据材料“若|x「X2|N|y「y2l，则点P与点P2的“非常距离”为

3

|X|-X2『'知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0=:xo+2,据此可以求得点C的坐标；

4

33

②当点E在过原点且与直线y=-x+3垂直的直线上时，点C与点E的“非常距离”最小，即E（-二，

4

不）.解答思路同上.

解：（1）①；B为y轴上的一个动点，

设点B的坐标为（0,y）.

11

V|---0|=y^2,

，|0-y|=2,

解得，y=2或y=-2；

...点B的坐标是（0,2）或（0,-2）；

②点A与点B的“非常距离”的最小值为《；

2

23

3

（2）①是直线y=1x+3上的一个动点,

3

，设点C的坐标为（x（）,—XQ+3）,

4

3

.'.-x=—x+2,

040

„一8

此时，Xo=--，

7

Q

...点C与点D的“非常距离”的最小值为：-,

,815

此时C（・一，一）；

77

…34

②E，y).

334

-T-XO=-xo+3--，

545

8

解得，Xo=-g,

89

则点C的坐标为（-g,§）,

最小值为1.

点评：本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非

常距离”的概念是正确解题的关键.

对应训练

24

4.（2012•台州）请你规定一种适合任意非零实数a,b的新运算“a㊉b”，使得下列算式成立：