弹性力学课件二一

10TorsionofPrismaticalBars10.1Stressesanddisplacements10.2Membraneanalogy10.3Ellipticbarsintorsion10.4Rectangularbarsintorsion扭转问题的薄膜比拟薄膜在均匀压力下的挠度，与等截面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上是相似的，用薄膜来比拟扭杆，有助于寻求扭转问题的解答.设有均匀薄膜，张在一个水平边界上，边界的形状与某扭杆横截面的边界形状相同，薄膜受均布荷载作用10.2MembraneanalogyInsolvingtorsionproblems,Prandtlobservedthedifferentialequationforthestressfunctionhasthesameformasthedifferentialequationforthedeflectionofastretchedmembranewhichisinitiallyflatandthenblownupbyairpressurefromoneside.Letusconsiderathinweightlessmembraneinitiallysubjectedtoauniformtensioninalldirections.Itisblownupfromaflatshapeintoacurvedsurface,beingheldattheedgebyaframehavingthesameoutlineasthecross-sectionofthebarundertorsion.xxzoy薄膜在均布荷载作用下，只产生均匀拉力（张力T），其他内力为零从薄膜中取微小单元abcd，它在xy平面上的投影是一个矩形，矩形的边长分别为dx、dyxyoAssumethattheairpressureissosmallthattheinitialtensioninthemembranedoesnotchangeduringtheblown-upprocess.ab边的拉力：TdyxxyoTabcdTTTz其在z轴上的投影：cd边的拉力：Tdy其在z轴上的投影：xxyoTabcdTTTzad边的拉力：Tdx其在z轴上的投影：bc边的拉力：Tdx其在z轴上的投影：单元abcd所受的压力：q·dxdy建立单元的平衡方程：在边界上，薄膜的垂度zs=0Besides,itisevidentthatthedeflectionofmembranehasaboundarycondition将与比较（1）形式相同（2）边界条件相同所以，当薄膜的q/T=扭杆的2Gk时，薄膜的垂度z就相当于扭杆的应力函数这说明，当薄膜的垂度z与扭杆的应力函数时相当，薄膜与边界平面之间体积的两倍就等于扭矩在扭杆的横截面上，沿x方向的剪应力：薄膜沿y方向的斜率：Thusthestressfunctioninthetorsionisequaltothedeflectionofmembrane,thetwistingmomentMisequaltotwicethevolumebetweenthemembraneandthexyplane,andthetorsionalstressatanypointonthecross-sectionofthebarintorsionisequaltotheslopeofmembraneatthepointintheperpendiculardirection.如何求扭杆横截面上的最大剪应力？扭杆横截面上沿x方向的剪应力相当于薄膜沿y方向的斜率，由于x和y轴可以取在任意两个互相垂直的方向，所以扭杆横截面上某一点，沿任意方向的应力，等于薄膜在对于点，沿垂直方向的的斜率只须求出对应薄膜的最大斜率，但要注意，最大剪应力与最大斜率所在的点相对应，方向相互垂直椭圆截面杆的扭转xyabBAo例1.如图所示，横截面为椭圆边界的等截面柱，椭圆的半轴为a，b10.3EllipticbarsintorsionConsiderabarwithellipticcross-sectionwhichhassemi-axesaandb.Theboundaryofthecross-sectionisgivenbytheequation因为椭圆的方程为：而应力函数在边界上的值为零，所以，可设：应力函数应满足三个条件：Thestressfunctionmustvanishontheboundary将应力函数代入当m等于此式时，应力函数满足基本方程将的表达式代入最后求得：其中Itisknowninmechanicsofmaterialsthat应力函数：Stressfunction此时，应力函数满足所有条件Satisfiesalltheconditionsinatorsionproblem应力分量如下：Stresscomponents全应力：用薄膜比拟的方法计算最大应力Theresultantshearingstressatanypointonthecross-sectionisTofindthemaximumshearingstresses,weimagineamembraneheldontheellipticboundary.EvidentlythemaximumslopeofthemembranewilloccuratpointsAandB,withdirectionsnormaltotheboundary.Accordingtomembraneanalogy,themaximumshearingstresseswillalsooccuratAandB,butwithdirectionsalongtheboundary.假想一张薄膜张在图示椭圆上，并受气体压力作用，由于薄膜的最大斜率发生在A、B点，且方向垂直与边界，所以可知，扭杆横截面上的最大剪应力也发生在A、B点，但方向与边界平行，将A、B点的坐标（0，b）或（0，-b）代入剪应力表达式：xyabBAo当a=b时，应力解答与材料力学中完全相同如何求变形和位移？单位长度扭转角：位移分量：Theangleoftwistperunitlengthofthebarcanbefound求w：积分后得：0为z方向的蛮刚体位暮移，若役不计刚惭体位移光，则此式表汗明，扭色转时，凯杆件的敢横截面符并不保报持为平陡面，只足有当a=b时，才滑有w=莫0，横截堤面才障保持习为平愿面Th总is渠e汽xp峰re何ss解io曾n敞fo怕r腊w乐sh穗ow魄s津th裂at堪a稻p鸭la棒ne班c组ro璃ss鼠-s塘ec朋ti炉on圾o灯f蛾th夺e刻ba凤r勿do衣es魔n让ot耳r煌em镜ai科n尽pl腔an晓e璃af星te姻r武to盐rs隙io猾n,剪b大ut追w苦ar鼻ps贞i事nt伪o建a径cu随rv绍ed断s贩ur阅fa犯ce错.O帽nl疾y策in角t替he握c问as浴e暴of昌c损ir沃cu恰la耻r金cr产os的s-铺se省ct碧io跃ns已(a挨=b脚),牧wi牵ll求w臣e昼ha脸ve袋w礼=0湾,w盖hi仇ch黑m布ea旁ns失t氏ha同t谎th剖e哨cr骑os棋s-旱se才ct樱io篇n尊wi润llre毙mi呜anpl分ai乞n,抵a跳s垮as塑su送me名d跨in灭m浴ec师ha探ni排cs拌o炼f欣ma饼te春ri川al晌s.矩形截元面杆的匀扭转xyoa/2a/2b/2b/2例2.如图所示，矩形截面杆，边长a，b讨论狭长矩形

ab

由薄膜比拟，可知可以推拾断，应勾力函数右在绝弃大部分缝横截面轿上几乎症与x无关贱，因多为对鸦应的恶薄膜朴几乎饥不受润短边灾的约孔束，门近似竿于柱错面10.澡4Rec庄tan奋gul叮ar排bar懂si扯nt裙ors豆ion即

边界条件：将的表达式代入应力分锦量如下扰：求最大连剪应力由薄膜门比拟可伪以推断算出，最赛大剪应童力发生席在矩形够截面的歪长边上零（y=-烘b/2各；y=贵b/2胡），其大小堵：单位长度的扭转角：对任渡意矩号形杆拖（横岛截面斜的边罚长比值值a/b为任意豆值），莫通过分送析，可医以将上赚述公式罪进行修租正：其中，仁和1只与比跌值a/b有关树，其乐数值枣看P2效25表对狭灶长矩毅形截积面杆卸，莫和1取1伏/3很多薄右璧杆的悬横截面渠，是由聪若干等棕宽的狭烫长矩形害组成的吧，有直浊的，有莫弯的，略如图所混示：由薄彻膜比堂拟可造知，丙如果虽一个吗直的叶狭长耻矩形树和弯沫的狭胳长矩士形具宴有相花同的伍长度a和宽度b，则当这赶两个狭仅长矩形超上的薄华膜具有读相同的康张力T并受相雀同的压红力q时，两莲个薄膜遵的体积V和斜率i将没动有多晕大的维区别艘，因社此一侄个弯徐的狭堆矩形贱截面牛可以碗用同贿宽同示长的唯直的苗狭矩义形截怨面来塌代替沫，而正不致臭引起姓多大撇的误魂差如何求评薄璧杆俗的应力蹦？用ai和bi代表匠扭杆咱中第i个狭字长矩昨形的谱长和饰宽，Mi代表帐该矩广形上叫承受喜的扭混矩（挠整个鞭横截筑面上稠扭矩源的一羽部分柄），竿i代表瓜矩形忍长边朵中点跪附近查的剪炕应力悲，k代表扭疤杆的扭顺角这些公请式是近角似的，散因为没狮有考虑份到两个恶矩形的佩过渡和传连接的尤影响本章盆小结本章败对空战间问误题基经本方出程的蚊求解中方法阔作了拆归纳填，对顺一些乘典型北的弹司性力松学空蹈间问姨题进辅行了数求解渡分析才，学急习这比部分旋，要订求掌渴握一灶些几锡点：（1）骑受荷载斯作用的阻弹性体价中，其孝应力、券应变和包位移均医是坐标百的连续薄函数，贼若能求妈出物体临内的应浪力函数润和位移恼函数，等就能得种到物体财中任一存点的应音力、应满变和位略移（2莲）求咱物体雷内的毅6个售