工程制图全套教程二

第2章

投影法基础

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教学提示：为将空间物体在图纸上表达出来，即将三维空间中的立体用二维平面上的图形来表示，工程中采用投影的方法来实现。投影法分为中心投影法和平行投影法，其中，平行投影法又分为正投影法和斜投影法两种。为了清楚地表达空间物体的真实形状和大小，在工程中一般采用正投影的方法获得一组图形来设计和表达工程对象，这一组图形称为三面投影(正面投影、侧面投影和水平投影)，在工程上又称为视图。有时，还需要用平行投影法获得立体感较强的轴测图来进行辅助性的观察和看图。本章主要介绍投影法的基本概念、三面投影的基本画法和常用轴测图的画法。教学要求：本章要求学生重点掌握正投影法和轴测投影的基本概念及投影规律，并学会应用正投影法获得物体的三面投影。●2.1投影法基础知识

●2.2三投影面体系与物体的三面投影

●2.3轴测图的基本概念本章内容2.1投影法基础知识

在日常生活中，人们看到太阳光或灯光照射物体时，在墙壁或地面上出现了物体的影子，这是一种自然的投影现象。人们发现，空间物体在一个平面上留下了影子，该影子反映出物体一定形状。根据这种现象，人类总结了这种投影现象的几何关系，创造了投影法，解决了用平面图形来表达空间物体的问题。

1.投影法的基本概念假想用光线照射物体，使物体在平面上留下影子的方法就称为投影法。分别将光线、平面和影子抽象为投射线、投影面和投影，因此投影就是通过物体的投射线与投影面的交线。用工程理论的术语来描述，我们把一定条件下、一系列投射线通过表达对象与投影面交点的总和，称为图像。此图像也称为该表达对象在该投影面上的投影，而获得投影的方法称为投影法，如图2.1所示。投影法是平面上表示空间形体的基本方法，是画法几何及工程制图的基础。2.1.1投影法的基本概念

综上所述，投影法所具备的条件如下：

(1)投射中心以及从投射中心出发的投射线。

(2)不通过投射中心的投影面。

(3)表达对象(几何要素或物体)。

2.投影法的分类工程上常用的投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类，如图2.1所示。其中，平行投影法有正投影法和斜投影法之分。

1)中心投影法投射线从一点发出来的投影法称为中心投影法，用中心投影法得到中心投影，如图2.1(a)所示。中心投影一般用于表达较大的场景或目标，例如地貌、建筑物等，这种投影形成的图形称为透视图。透视图的立体感很强，常作为一种效果图，不注重于物体尺寸的表达，如图2.2所示。2.1投影法基础知识2.1.1投影法的基本概念(a)中心投影法(b)平行投影法图2.1投影法及其分类2.1投影法基础知识2)平行投影法 投射线互相平行的投影法称为平行投影法，如图2.1(b)所示。其中，投射线垂直于投影面时的平行投影法称为正投影法；图2.2透视图2.1投影法基础知识投射线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法。而用正投影法和斜投影法分别得到的投影称为正投影和斜投影。用正投影能直接和方便地表达空间物体的真实形状、大小和空间位置，所得到的图形广泛地用于工程图样，因此我们常将正投影简称为投影，如图2.3(b)所示。在用正投影法表达一个空间物体时，往往是将该物体的主要表面或主要轮廓线平行于投影面放置，这样得到的投影能够真实地反映物体在该投影方向上的形状和大小。但物体的一个投影不能唯一确定其各个方向的形状、大小和位置，因此工程上常常将物体置于一个多投影面体系，用一组正投影从各个方向来表达物体。如图2.3(b)所示的投影图就是用一组两面正投影来表达一个工程对象的投影图。如果将物体相对于投影面倾斜放置而采用正投影法、或者将物体正放而采用斜投影法，可以在同一投影面上表达物体3个方向的形状，这种投影称为轴测投影，如图2.3(c)所示。轴测投影的立体感强，直观性好、容易看懂，它对于人们理解和掌握物体的形状十分有利，但其尺寸的度量性却不如多面正投影图，因此在生产和设计中常作为辅助图样或商业广告。

2.1投影法基础知识

(c)轴测投影

(a)表达对象

(b)多面正投影

2.1投影法基础知识2.1.2平行投影的基本性质平行投影有如下基本性质：1)实形性当线段或平面图形平行于投影面时，其投影反映实长或实形。如图2.4所示，直线DC、GH、JB和KA等均平行于V面，在V面上的投影反映实长，如。平面BCDGHJ平行于V面，在V面上的投影反映实形。2)积聚性当直线或平面图形平行于投射线时，其投影积聚成点或直线。在如图2.4所示中，直线AR、KQ等垂直于V面，在V面上的投影积聚成一点；平面EFML、FGHOM等垂直于V面，在V面上的投影积聚成一条线。2.1投影法基础知识图2.4平行投影的投影特性2.1投影法基础知识3)类似性

当直线或平面图形倾斜于投影面时，直线的投影仍然是直线，平面图形的投影是原图形的类似形，但直线或平面图形的投影均小于实长或实形。像这种原形与投影间不相等也不相似，而两者的边数、凸凹、曲直、平行关系不变的性质称为类似性。在图2.4中，平面四边形ABJK、EFGD在V面上的投影为类似的四边形、。

4)平行性

如果空间直线平行，则它们投影仍然相互平行。在图2.4中，EF、GD相互平行，它们在V面上的投影、仍然相互平行。

5)从属性

2.1投影法基础知识2.1.2平行投影的基本性质几何元素的空间从属关系在投影中不会发生改变：属于直线的点的投影必定落在直线的同面投影上，属于平面的点和线的投影必定落在平面的同面投影上。如图2.4所示，S点在直线KJ上，S点的投影一定在上。6)定比性(1)若空间直线上一点把该直线分成两段，则该两线段之比，必等于其投影之比。如图2.5(a)所示，点K在直线AB上，其投影必在ab上(从属性)，且由于Aa//Kk//Bb，故有AK∶KB=ak∶kb。(2)空间平行线段的长度之比，等于其投影之比。如图2.5(b)所示，分别过F和G作fe和gh的平行线，可得到两个相互平行的相似三角形及矩形，从而得EF∶HG=ef∶hg。2.1投影法基础知识2.1.2平行投影的基本性质(b)

(a)

图2.5平行投影的定比性2.1投影法基础知识从图2.6中的4个立体图的投影情况可知，当从上往下进行投影时，它们获得的投影相同，均为一对同心圆。这说明，一个投影不能唯一地表达物体的形状，因此必须建立一个投影面体系，将物体同时向几个投影面进行投影，用多个投影图来确切地、完整地表达空间物体。这种方法获得的一组投影称为多面正投影，亦简称为投影。2.2三投影面体系与物体的三面投影图2.6不同物体在同一投影面上的投影相同2.2三投影面体系与物体的三面投影2.2.1三投影面体系

我们知道，笛卡儿直角坐标系将三维空间分为8个象限(分角)，每个象限的位置如图2.7(a)所示。在国家标准GB/T4458.1—2002中规定，我国采用第一分角投影法(简称第一角画法)绘制图样，而国际上有的国家(如美国、日本等)则采用第三角投影法(简称第三角画法)。在第一分角中，由正立投影面V、水平投影面H和侧立投影面W共3个相互垂直的投影面(分别简称为V面、H面和W面)构成的投影面体系称为三投影面体系，如图2.7(b)所示。三投影面两两相交产生的交线OX、OY、OZ，称为投影轴，简称为X轴、Y轴和Z轴。2.2三投影面体系与物体的三面投影图2.7投影体系2.2三投影面体系与物体的三面投影如图2.8(a)所示，将物体置于三投影面体系中，用正投影法分别向3个投影面投影后，得到了物体的三面投影。国家标准规定：正面投影是对物体由前向后进行投影，在正面上所得到的投影。水平投影是对物体由上向下进行投影，在水平面上所得到的投影。侧面投影是对物体由左向右进行投影，在侧面上所得到的投影。如图2.8(b)和图2.8(c)所示，投影后将物体移开，V面保持不动，将H面连同其投影绕X轴向下旋转90°，W面连同其投影绕Z轴向右旋转90°，使它们与V面处于同一平面上，并约定投影轴和投影面的边框略去不画，从而得到物体的三面投影，如图2.8(d)所示。2.2.2三面投影的形成2.2三投影面体系与物体的三面投影2.2三投影面体系与物体的三面投影图2.三8三面三投影三的形三成2.三2三投三影面三体系三与物三体的三三面三投影上述三投影三过程三表明三，一三旦物三体在三投影三面体三系中三的位三置确三定，三并规三定X、Y、Z轴方三向分三别为三物体三的长三、宽三、高3个方三向如三图2.三9(三a)所示三，则三空间三物体三与其三平面三投影三以及三我们三所熟三悉的三空间三直角三坐标三系就三有了三一一三对应三的关三系。实际三上，三我们三还可三以这三样来三理解三三面三投影三的形三成过三程：三所谓三物体三的正三面投三影，三可看三成是三令该三物体三的空三间坐三标值Y=0后获三得的三平面三投影三图，三即完三成了三该物三体从三三维三空间三向二三维平三面的三转换三。因三此正三面投三影仅三反映三出物三体的三长(X)和高(Z)方向三的形三状和三大小三；同三理，三物体三的水三平投三影即三是令Z=0，而三侧面三投影三则是三令X=0，因三此，三物体三的水三平投三影仅三反映三出物三体的三长(X)和宽(Y)，侧三面投三影仅三反映三出物三体的三宽(Y)和高(Z)。2.三2.三3三面三投影三的投三影规三律2.三2三投三影面三体系三与物三体的三三面三投影根据三物体三与其三三面三投影三的位三置和三对应三关系三，可三反映三出以三下几三个特三点：(1三)三面三投影三之间三的位三置配三置关三系是三：水三平投三影在三正面三投影三的正三下方三，侧三面投三影在三正面三投影三的正三右方三。(2三)三面三投影三之间三的对三应关三系是三：每三个投三影反三映物三体长三、宽三、高三中的三两个三方向三的大三小。三正面三投影三和水三平投三影同三时反三映物三体的三“长三”；三正面三投影三和侧三面投三影同三时反三映物三体的三“高三”；三水平三投影三和侧三面投三影同三时反三映物三体的三“宽三”。三由此三而得三到以三下的三三面三投影三规律(又称三三等三关系)：①三正面三投影三与水三平投三影长三对正三。②三正面三投影三与侧三面投三影高三平齐三。③三水平三投影三与侧三面投三影宽三相等三。(3三)三面三投影三与物三体6个方三位的三关系三是：三正面三投影三反映三物体三的上三、下三、左三、右4个方三位；三水平三投影三反映三物体三的前三、后三、左三、右4个方三位；三侧面三投影三反映三物体三的上三、下三、前三、后4个方三位。2.三2三投三影面三体系三与物三体的三三面三投影图2.三9三面三投影三的投三影规三律2.三2三投三影面三体系三与物三体的三三面三投影多面三正投三影图三用多三个投三影图三准确三地、三真实三地反三映出三物体三的长三、宽三、高3个方三向的三形状三和大三小，三作图三简便三，标三注尺三寸也三很方三便，三广泛三地应三用于三工程三设计三和制三造领三域，三但这三种图三样的三立体三感较三差。三轴测三图是三工程三中常三采用三的另三一种三图样三，它三是在三单一三的投三影面三上同三时反三映物三体的三三维三方向三的表三面形三状，三立体三感强三，比三较符三合人三们的三视觉三习惯三，但三由于三它的三度量三性较三差，三作图三过程三也比三多面三正投三影复三杂，三因而三在工三程上三仅作三为辅三助图三样或三效果三图，三用以三帮助三人们三看图三和进三行空三间想三象。2.三3轴测三图的三基本三概念2.三2.三3三面三投影三的投三影规三律对同三一物三体分三别采三用三三面投三影和三轴测三投影三绘制三的两三种图三形，三如图2.三10所示三。2.三3.三1轴测三图的三基本三知识图2.三10多面三正投三影图三与轴三测图2.三3轴测三图的三基本三概念1.轴测三图的三形成三和投三影特三性用平三行投三影法三将物三体连三同确三定物三体空三间位三置的三直角三坐标三系一三起投三射到三单一三影面三，所三得的三投影三图称三为轴三测图三，如三图2.三11三(a三)所示三。图2.三11轴测三图的三形成三和投三影特三性2.三3轴测三图的三基本三概念由于三轴测三图是三用平三行投三影法三得到三的，三因此三具有三以下三投影三特性三：(1三)空间三相互三平行三的直三线，三它们三的轴三测投三影互三相平三行。(2三)空间三立体三上凡三是与三坐标三轴平三行的三直线三，在三其轴三测图三中也三必三与轴三测轴三互相三平行三。(3三)空间三立体三上两三平行三线段三或同三一直三线上三的两三线段三长度三之比三，在三轴测三图上三保持三不变三。2.轴测三图的三基本三术语轴测三图的三基本三参数三如图2.三11所示三。(1三)轴测三投影三面：三轴测三图中三的投三影面三称为三轴测三投影三面。三它是三一个三单一三的投三影面三。一三般用三大写三的拉三丁字三母表三示，三如图三中的P面。(2三)点的三轴测三投影三：过三空间三点的三投射三线与三轴测三投影三面的三交点三称为三该点三的轴三测投三影。三本章三中约三定，三用带三有下三角标1的大三写拉三丁字三母表三示，三如A1、B1等。2.三3轴测三图的三基本三概念2.三3.三1轴测三图的三基本三知识(3三)轴测三轴：三确定三空间三物体三的坐三标轴OX、OY、OZ在P面上三的投三影称三为轴三测投三影轴三，简三称轴三测轴三，记三为O1X1、O1Y1、O1Z1。(4三)轴间三角：三轴测三轴之三间的三夹角三称为三轴间三角，三记为三∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、∠Z1O1X1。(5三)轴向三伸缩三系数三：由三于形三体上3个坐三标轴三对轴三测投三影面三的倾三斜角三度不三同，三所以三在轴三测图三上各三条轴三线长三度的三变化三程度三也不三一样三，因三此把三轴测三轴上三的线三段与三空间三坐标三轴上三对应三线段三的长三度比三，称三为轴三向伸三缩系三数。三如图2.三11三(b三)所示三，设A点为三单位三坐标(u，u，u)，则三经过三投影三后，A点轴三测投三影A1的坐三标为(i，j，k)，则X，Y，Z轴的三伸缩三系数三为三：，，2.三3轴测三图的三基本三概念画轴三测图三时，三只要三首先三按轴三间角三的大三小画三出轴三测轴三，然三后按三相应三的轴三向伸三缩系三数沿三轴向三测量三就可三画出三轴测三图。三因此三，“三轴测三”的三含义三就是三沿轴三向测三量的三意思三。3.轴测三图的三分类1)根据三投射三方向三与轴三测投三影面三的相三互位三置分三类根据三投射三方向三与轴三测投三影面三的相三互位三置，三轴测三图可三分为三以下三两大三类。(1三)正轴三测图三：投三射方三向垂三直于三轴测三投影三面，三如图2.三12三(a三)所示三。(2三)斜轴三测图三：投三射方三向倾三斜于三轴测三投影三面，三如图2.三12三(b三)所示三。2.三3轴测三图的三基本三概念图2.三12轴测三图的三分类2.三3轴测三图的三基本三概念2)根据三选定三的不三同轴三向伸三缩系三数分三类在每三一类三轴测三图中三，根三据选三定的三不同三轴向三伸缩三系数三，轴三测图三又可三分为三以下3种。(1三)正(或斜)等轴三测图三的轴三向伸三缩系三数p=三q=三r。(2三)正(或斜)二轴三测图三的轴三向伸三缩系三数p=三rq。(3三)正(或斜)二轴三测图三的轴三向伸三缩系三数pr三q。3)勾画三立体三草图为了三作图三方便三，工三程上三常用三正等三测图三和斜三二轴三测图三来勾三画立三体草三图。(1三)正等三测图三。当三三根坐三标轴三与轴三测投三影面三倾斜三的角三度相三同时三，用三正投三影法三得到三的投三影图三称为三正等三测图三，简三称正三等测三。由三于空三间坐三标轴OX、OY、OZ对轴三测投三影面三的倾三角相三等，三可计三算出三其轴三间角三，其三中O1Z1轴规三定画三成铅三垂方三向，三如图2.三13三(a三)所示2.三3轴测三图的三基本三概念根据三三根三坐标三轴与三轴测三投影三面倾三斜的三角度三相同三，由三理论三计算三可知三：三三根轴三的轴三向伸三缩系三数为p=三q=三r=0.三82，但三为了三作图三方便三，通三常用三简化三伸缩三系数三“1”。用三此轴三向伸三缩系三数画三出的三图形三其形三状不三变，三但比三实物三的实三际轴三测图三放大1.三22倍，三如图2.三13三(b三)所示三。图2.三13正等三测图三的轴三间角三和轴三向伸三缩系三数2.三3轴测三图的三基本三概念(2三)斜二三等轴三测图三。如果三使XO三Z坐标三面平三行于三轴测三投影三面，三采用三斜投三影法三，得三到的三轴测三图称三为斜三二等三轴图三，简三称斜三二测三。由三于XO三Z坐标三面平三行于三轴测三投影三面，三在这三个坐三标面三的轴三测投三影反三映实三形，三因此三斜二三等轴三测图三的轴三间角三是：三∠Z1O1X1=9三0°，这三两根三轴的三轴向三伸缩三系数三为p=三r三=1；O1Y1与水三平线三成45三°，即三∠X1O1Y1三=Y1O1Z1三=三13三5°，其三轴向三伸缩三系数三一般三取为q=0三.5。如三图2.三14三(a三)所示三。由如三图2.三14三(b三)所示三的斜三二测三图可三知：三平行三于XO三Z坐标三面的三圆的三斜二三等轴三测投三影反三映实三形，三作图三十分三简便三。但三平行三于XO三Y，YO三Z两个三坐标三面的三圆的三斜二三测投三影将三变形三为椭三圆，三这些三椭圆三的短三轴不三与相三应的三轴测三轴平三行，三且作三图较三繁。三因此三，斜三二等三轴测三图一三般用三来表三达只三在一三个方三向上三互相三平行三的平三面内三有圆三或圆三弧的三立体三，这三时只三要把三这些三平面三选为三平行三于XO三Z坐标三面即三可。2.三3轴测三图的三基本三概念图2.三14斜二三测图三的轴三间角三和轴三向伸三缩系三数2.三3轴测三图的三基本三概念1.用坐三标法三绘制三直线AB的轴三测投三影轴测三图的三基本三作图三方法三一般三采用三坐标三法。三作轴三测图三时，三首先三应选三择好三轴测三图的三种类三，即三确定三好轴三间角三和轴三向伸三缩系三数。三为使三表达三清晰三及作三图方三便，三通常三将轴三测轴Z1画成三垂直三方向三，再三根据三轴间三角画三出另三两个三轴测三轴三和三。已知A(3三0，50，10三)，B(0，10，40三)。轴三间角2.三3.三2轴测三图的三基本三作图三方法，轴三向伸三缩系三数作图三步骤三如下三：(1三)根据三轴间三角，三画出三轴测三轴如三图2.三15三(a三)所示三。(2三)在三轴上三，取三，三在三轴三上取三。过三点三作直三线三平行三于，过三点作三直线平行三于三，三两直三线相三交于a点。三过a点作三直线三平行三于三，且=1三0。得三到点，三如图2.三15三(b三)所示三。2.三3轴测三图的三基本三概念(3三)在Y1轴上三取。三过点作三直线平行三于，且。得三到点。三连接两点三，即三得直三线AB的轴三测投三影。(a三)三(b三)图2.三15直线三的轴三测投三影2.三3轴测三图的三基本三概念2.平行三于各三坐标三面的三圆的三轴测三图在工三程零三件中三常见三的一三类基三本立三体是三回转三体，三如圆三柱、三圆锥三、圆三球等三。回三转体三的轴三测图三主要三涉及三到垂三直于三回转三轴的三圆的三轴测三图。三圆的三轴测三投影三一般三情况三下会三变形三为椭三圆。三对应三各种三不同三类型三的轴三测图三，椭三圆的三长短三轴的三比例三会不三一样三，与三相应三轴测三轴的三夹角三也会三因此三而不三一样三。本三节仅三介绍三平行三于各三坐标三面的三圆的三正等三测和三斜二三测。1)平行三于各三坐标三面的三圆的三正等三测平行三于坐三标面三的圆三的正三等测三图(如图2.三16所示)，可三采用三坐标三法绘三制(绘图三步骤三如图2.三17所示)，这三种作三图方三法虽三然较三为精三确，三但很三繁琐三，对三于参三考图三形或三效果三图来三说也三没有三必要三。工三程上三常用三几何三上推三导出三的一三种近三似画三法(仅适三用于三正等三测图)来绘三制。三即将三正等三测图三中的三椭圆三近似三看成三是四三段圆三弧相三切而三成。三作图三时只三要找三到这三四段三圆弧三的圆三心和三切点三，即三可画三出，三因此三称这三种近三似画三法为三“四三心椭三圆法三”。三现以三平行三于水三平投三影面三的圆三的正三等测三图为三例，三说明三四心三椭圆三法的三作图三方法三，其三作图三步骤三如图2.三18所示2.三3轴测三图的三基本三概念图2.三16平行三于坐三标面三的圆三的正三等测2.三3轴测三图的三基本三概念(a三)等分X轴并三作Y轴的三平行三弦(b三)作平三行弦三的正三等测(c三)光滑三连接三得椭三圆图2.三17用坐三标法三绘制三平行三于水三平投三影面三的圆三的正三等测2.三3轴测三图的三基本三概念(a三)定轴三测轴三，画三圆的三外切三正