数学经典易错题会诊与高考试题预测6

高考数学经典易错题会诊（六）

考点6平面向量

经典易错题会诊

命题角度1向量及其运算

命题角度2平面向量与三角、数列

命题角度3平面向量与平面解析几何

命题角度4解斜三角形

探究开放题预测

预测角度1向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合

预测角度2平面向量为背景的综合题

命题角度1向量及其运算

1（典型例题）如图6-1,在RtZkABC中，已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,

问而与正的夹角0取何值时际.诙的值最大?并求出这个最大值.

［考场错

解］

•••BP=BQ+QP,CQ=CB+BQ,:.BP*CQ=（BQ+BQ）•（CB+BQ）=|BQ\~+BQ•CB+QP»CB+QP»BQ,

此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续.

［专家把脉］此题是湖北省20典型例题）已知，怙|=五，|b|=3,a与b的夹角为45°,

当向量a+Ab与Aa+b的夹角为锐角时，求实数A的范围.

［考场错解］由已知a•b=|a||b：•cos45°=3,：a+入b与Aa+b的夹角为锐角，二（a+

Ab）•（Xa+b）>0

即X|a|2+X|b|2+（X2+l）a•b=0,A2X+9X+3（X2+1）>0,解得

x>-11+785-11-85.•.实数人的范围是

66

［专家把脉］解题时忽视了a+入b与a入+b的夹角为0的情况，也就是（a+入b）•（入a+b）>0

既包括了a+入b与入a+b的夹角为锐角，也包括了a+入b与入a+b的夹角为0,而a+入b与

入a+b的夹角为0不合题意.

［对症下药］由己知a・b二|a|•|b|,|b|Xcos45°=3.

又a+入b与入a+b的夹角为锐角，（a+入b）,（入a+b）>0,且a+入bW\i（入a+b）（其中

Hk,u>0）由（a+入b）•（入a+b）>0,得EF+入|b「+（入2+i）a・b>0即3入2+ii入+3>0,解

4s\、-11+)85—1—11—85

得A)--------或4<-------由a+入bWu（入a+b）,得u入Wl,uW入，即入Wl,综上

66

所述实数人的取值范围是(-8,-H-V85-11+851)u(11+8).

66

3.(典型例题)已知0为AABC所在平面内一点且满足筋+2而+3加=6,则AAOB与△AOC

的面积之比为()

A.1B.-C.-D.2

23

［考场错解］+而+加=5.•.而=-2及，0在BC边上，且|而|=2|5?|,又AAOB与

△AOC高相等，.♦.△AOB与△AOC的面积之比为2,.,.选D.

［专家把脉］缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有。为AABC

的重心的情况下，才有•.•3+K+而=3,而本题无此已知条件.

［对症下药］(1)如图6-3,在AB上取一点D,使

\AD\=2\DBD分居的比/=2,得8=~^—OA+—OB=-OA+-OB又由已知

1+21+233

OC=—OA-—OB,OD=-OC,0为CD的中点，不妨设SAAOC二S，则SAAOD=S(二，两者等底同IWJ)

33

］,—►3

；.•••S^BOD=-5,(v|AD\=2\BD\),S^AOIi=-S,

△AOB的面积与aAOC的面积之比为3：2,选B.

(2)不妨设A(0,0),B(l,0),C(0,1),0(x,y),则由专家会诊向量的基本概念是向量

的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量

的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用

向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就

应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共

线的充要条件来解题.

考场思维调练

1Z\ABC内接于以0为圆心，1为半径的圆，且•.•2豆+3而+4反=5

⑴求I凝I

1.答案：由已知得2d+3手=-4元，所以

(2OA+303)2=161OC匕即4|OA|2+12OA•。8+9|。8『=16|OC|2,v|OA\=\OB|=|OC|=1,.\OA•OB=.\|AB|="OB-OA)2

=VlosI2-2OB»OA+\OA^

(2)求AABC的面积.

答案：设NAOB=0,NAOC=e,ZBOC=/,由0A・OB=1,得cos。二,，sin0二4运，SA

444

_1I~而|sinO=；XlXl义叫平同理可求得cos°Y，si”咤厉,

AOB-—OA

2

SAACK^—V?5

32

71c_1vV15V15

,cosy一，sinr=-,SABOC=—X--=--

882816

由于。为锐角，°,7为钝角，所以。。不可能在aAOB内部，故AAOB、△AOC、△BOC互

不重叠，S/kABC=SZ\ROB+SAAOC+SABOCF—yf\5.

32

2已知向量a=(l,1),b：(1,0),c满足a・c=0,且|a|二|c|,b•c>0.

(1)求向量c；

答案：设=(m,n),由a”=。，得m+n=。再由‘la1=1c1,得指正2,联立］，;工

解得m=Ln=T或m=T,n=l,又,：b,c=(L0)•(m,n)=m>0.

m=l,n=-l,c=(l,-1).

(2)若映射f:(x,y)+(xz,yz)=xo+yc,将(x,y)看作点的坐标，问是否存在直线1,使

得1上任一点在映射f的作用下的点仍在直线1上，若存在，求出直线1的方程，若不存在,

请说明理由.

答案:xa+yc=y(l,l)+y(LT)=(x+y,x-y),则f:(x,y)->(x+y,x-y),假设存在直线1

满足题意.当1的斜率不存在时，没有符合条件的直线1;当1的斜率存在时，设1：y=kx+m,

在1上任取一点p(xo,y0),则p在映射f作用下的点Q(x()+yo,xo-yo),Q也应在1上，即

xo-yo=k(xo+yo)+mX(xo,yo)在1上，yo=kxo+m,整理得(l-2k-k2)xo-(k+2)m=O,此式对于任意

xo恒成立.l-2k-k2=0,(-k+2)m=0.

解得k=T土后，m=0,综上所述，存在直线1：y=(-1土及)x符合题意.

3已知A、B、C三点共线，。是该直线外一点，设凉=a,/反二c,且存在实数m,使

ma-3b+c5成立.求点A分所成的比和m的值.

答案：解：设点A分靛所成比为入，则后二人旋，所以3-而二人(次-3).即a-b二

X(c-d),则(1+入)a—b-入c=0(1)由已知条件得c=3b-ma代人(1)得(1+入)a—b-3入b+m入

a=0,即(1+入+mX)a-(l+3入)b=0

•・•加而不共线，a、b不共线

/.1+X+mX=0,1+3X=0,解得人二一一，m=2.

3

•••A分正所成的比为m=2.

1.(典型例题)设函数f(x)=a-b,其中2=(2^%1)5=(。。$~百,且、€「李自)求*;(2)若

函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)(|m|<5)平移后得到函数y=f(x)的图像，求实数m、n

之值.

［考场错解］(1)依题意，f(x)Ycos,x+V^sinZx=1+2sin(2x+?).

由

l+2sin(2x+—)=1-75,Wsin(2x+—)=,v--<x<—--<2x+—<n,:.2x+—=-—,BPx=--;

3323333333

(2)函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)平移后得到y=2sin2(x+m)-n的图像，即y=f(x)的

图像，由(1)Wf(x)=2sin2(x+—)+l,v|mw=—=-1.

6212

［专家把脉］“化一”时出错，

2cos2x+VJsin2x=cos2x=cos2x+A/3sin2x+1=2sin(2x+—)+1不是2sin(2x+为+1,第(2)问在利

63

用平移公式的时有错误.

［对症下药］(1)依题设，

r

f(x)=2cos2x+V3sin2x=1+2sin(2x+M),由1+2sin(2x+^)=1—石，得sinQx+2)=——

6662

——<x<———<2x+—<——2x+—=——.UPx=

33266637

(2)函数y=2sin2x的图像按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图像，即函数

y=f(x)的图像，由⑴得f(x)=2sin2(»台+L

,.'Im|<一m----,〃=1.

212

2.(典型例题)已知i,j分别为X轴，y轴正方向上的单位向量，

OAX=j,OA2==244+iQ22,n€N落).

(1)求京；(2)求丽和丽的坐标.

［考场错解］(1)由已知有4A〃+］=g得|A〃A〃+］|=gII

--iAJAI+II=A7A^I=《得A7A8=也；

..”■•i4

⑵ICM”H0A1I+IA&I+…+14-iA>1=1+4+-+产9-24-"

两=9_2j,得丽(9-24-,1,0).

|函|=|函|+1福|+…+I3五+("-1)・2拉=2痣"+痣

.•.西=(2而+扬.

［专家把脉］向量是一个既有方向又有大小的量，而错解中只研究大小而不管方向，把向量与

实数混为一谈，出现了很多知识性的错误.

6

［对症下药］(1)VAn_j<4„=2A„An+l,:.AnAn+l=—An_tA,l,:.A7Ag=^AbA1=---(-^)A1A2,

----*►-►.If-►I

又Aa=0A2-0A［=4j,.\AqA^=(-)•4j=-j.

■■i----►i,•i一",・■'•一・♦・■9i.

⑵由⑴知A„An+\=-^-AiA2An+lA„=J,,'-OA„=OA\+A,+■■■+A^A,,=j+4j+2j+-■■+j=(9-2)j.

两的坐标为(0,9-24-").同理OBn=OB{+-+B“.B；=3j+3j+("-1)•(2i+2j)=(2"+1"+(2〃+1)•.函的坐标是(2〃+l,2nT

3

3.(典型例题)在直角坐标平面中，已知点Pi(l,2),P2(2,泊,P3(3,2)-,P„(n,2"),

其中n是正整数，对平面上任一点A。，记4为人关于点R的对称点，坛为A、,关于点冉的

对称点，…，A,为Ae关于点P”的对称点.

(1)求向量A,A；的坐标；

(2)当点A.在曲线C上移动时.点儿的轨迹是函数y=f(x)的图像，其中f(x)是以3为周期

的周期函数，且当x£(0,3)时f(x)=lgx.求以曲线C为图像的函数在(1,4)上的解析式；

(3)对任意偶数n,用n表示向量京的坐标.

［考场错解］第(2)问，由(1)知屯=(2,4),依题意，将曲线C按向量(2,4)平移得到

y=f(x)的图像.

...y=g(x)=f(x-2)+4.

［专家把脉］平移公式用错，应该为y=g(x)=f(x+2)-4.

［对症下药］(1)设点A°(x,y),A。关于点R的对称点儿的坐标为由(2-x,4-y),Ai关于

点Pz的对称点A2的坐标为A?(2+X,4+y),所以，京={2.4}.

(2”.•屯={2,4},；.f(x)的图像由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位

得至1］.

因此，曲线C是函数y=g(x)的图像，其中g(x)是以3为周期的周期函数，且当x€(-2,

1)时,g(x)=lg(x+2)-4,于是,当xG(l,4)时，g(x)=lg(x-l)-4.

(3)=MM+A2A4+…+A“_2A〃

2(21)

由于A2k_2A2k=2&_|P2k,得R=2(而+版+-+C^)=2({1,2}+《您}+…+<犷])=2^,^~|=卜^^

专家会诊

向量与三角函数、数列综合的题目，实际上是以向量为载体考查三角函数、数列的知识，

解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数、数列的问题，转化时不要把

向量与实数搞混淆,一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大，向量与数列结合的题目，

综合性强、能力要求较高.

考场思维调练

1已知平面向量a=(6，T),b=(g,半)，c=a+(sin2a-2cosa)b,

d=(—sin22a)a+(cosa)b,a£(o,—),若c_Ld,求cosa.

42

答案：解析：由已知得a•b=0,lal'aJ%|b|JbJl,因为c_Ld,，c•d=0,即[a+(sin2

人-cosa)•b].

[(—sin22a)a+(cosa)b]=0,得sin~2a+sin2a,cosa-2cos2a=0,

4

即(sin2Q+2cosa)(sin2a-cosa)=0,

VaG(0,—),sin2a+cosa>0,/.sin2a=cosa,由于cosa>0,得sina=',贝!jcos

22

aW

2

2设向量a=(cos23°,cos67°).b=(cos68°,cos22°),c=a+tb(tGR),求|c|的最

小值.

答案：解：|a|="cos223。+cos267°=1=1,

|b|=J8s2680+8s2220=I=1

a•b=cos230cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos(230

-68°)二旦.

2

|c12=(a+tb)2=Ia12+t21b12+2ta•b=t2+l+>/2t2；.

•••cl的最小值为交，此时t=-也

22

3已知向量a=(2,2),向量b与a的夹角为3,且a・b=-2.

4

(1)求向量b;

答案：设b=(x,y),Va•b=-2,/.2x+2y=-2,即x+y=设,(1),又•.'a与b的夹角为.五,

4

/.Ib|=——d§=1,/.x2+y2=l(2),联立⑴、(2)得x=T,y=0或x=0,y=-l,

IaI・cos—4

4

Ab=(-1,0)或b=(0,-1).

(2)若t=(l,0)JBb±t,c=(cosA,2cos2-),其中A、C是AABC的内角,若三角形的

2

三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围.

答案：由题意得B=土,A+C=—,b±t,t=(l,0),.,.b=(0,-1),b+C=(cosA,cosC),

33

b+C|'-COS2A+COS2C=1+-(cos2A+cos2C)1+—

22

cos2A+cos2(-n-A))=l+1cos(2A+-),V0ZA<—,A-Z2A+-<-^,；・-1《

3233333

cos(2A+-)<l,.-.|b+c|2e［lA］,••.|b+c|<［①,，］

322422

命题角度3平面向量与平面解析几何

L(典型例题)已知椭圆的中心在原点，离心率为工，一个焦点F(-m,0)(m是大于0

2

的常数.)

(1)求椭圆的方程；

⑵设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线1与y轴交于点M,若|而|=2|而求

直线1的斜率.

［考场错解］第(2)问:设Q(xo,yo),直线J的方程为y=k(x+m),则点M(0,km),由已

知得FQ、M三点共线，且|而|=2|万而|=2|而曲于F(-m,0),M(0,km),由

定比分点坐标公式，得

21r2v21/-

XQ二—=一切?,又。在椭圆—y+——x-=1上,.—I=1,解得k=±2v6

3£34m23m2927

［专家把脉］缺乏分类讨论的思想，没有考虑图形的多样性，将I而|=2|而|进行转

化时出现错误，依题意I而|=2|而|应转化为而=±2酝再分类求解k.

22

［对症下药］(1)设所求椭圆方程为5+4=1(a>b>0).

由已知得C=m,—=a=2m,b=后

a2

故所求的椭圆方程是£+E=i.

(2)设Q(x°,%),直线1的方程为y=k(x+m),则点M(0,km),VM,Q、F三点共线，

\MQ\=2\QF\,：.MQ=2QF.

当荻=2万时，由于F(-m,0),M(0,km),由定比分点坐标公式，得狗=-剑,坨=g版,

又Q在椭圆£+£=1上,.•.有解得&=±2石；

4/n23m2927

,22

同理当荻=-2函寸，有1+”-=1,解得4=0.故直线1的斜率是0,±2而

2.(典型例题)如图6—4,梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点0为AB的中点，

AB|=^,|CZ)|=2-^.AC±BD,M为CD的中点.

33

(1)求点M的轨迹方程；

(2)过M作AB的垂线，垂足为N,若存在常数入o,使而=40无，且P点到A、B的距离

和为定值，求点P的轨迹C的方程.

［考场错解］第⑵问:设P(x,y),M(x„y.),则N(0,y。)

MP=(x-xo,y-y„\PN=(-x,y„-y),又而=A„PN

x-xu=-x()X,y-y„=X„(y„-y),Xo=-1.

［专家把脉］对成=友丽分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上M、N、P三点共

线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出入。=-1是错误的.

［对症下药］⑴解法1：设M(x,y),则C(x,

2J22J2*

-1+半+y),D(x,l—=y=-+y),由AC1BD得AC•BD=0,

即(x,y-1)•(x,y+l)=0,得x?+y2=l,又xWO,

AM的轨迹方程是:x、y2=l(xWO)

解法2：设AC与BD交于E,连结EM、EO,VAC+BD,AZCED=ZAEB=90°,又M、0分

别为CD,AB的中点，.而|=LCD|.|EO|=L|AB|,又E为分别以AB、CD为直径的圆的切

22

点，.・・0、C、M三点共线，・・・|OM|=|OE|+|AB|=1,・・・M在以原点为圆心1为半径的圆上，轨

迹方程为x2+y2=l(x^O).

(2)设P(x,y),则由已知可设M(xo,y),N(0,y),又由MP=入°PN得(x-x。,0)二人。(-x,

0),/.Xo=(l+X0)x,又M在x?+y2=l(x#0)上，・・.P的轨迹方程为(1+入jZx、y、l(x#0),

又P到A、B的距离之和为定值，.•)的轨迹为经A,BP为焦点的椭圆，二1——J=±得(1+

(1+%)29

X,,)2=9,：.P轨迹E的方程为9x2+y=l(x^O).

3.(典型例题)如图6-5,ABCD是边长为2的正方形纸片，以某动直线1为折痕将正方

形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。都落在AD上，记为B'；折痕1与AB交

于点E,使M满足关系式EM+E*

(1)建立适当坐标系，求点M的轨迹方程；

(2)若曲线C是由点M的轨迹及其关于边AB对称的

曲线组成的,F是AB边上的一点，色1=4过点F的直线交曲线于P、Q两点，且而=/而，

BF

求实数人的取值范围.

［考场错解］第(1)问：以AB的中点为坐标原点，以AB所在的直线为y轴建立直角坐标

系，则A(0,1),B(0,—1),设E(0,t),B'(xo,1),贝ij由丽=而+而得x=x()y=-t,

的轨迹方程为x=x0,y=-t

［专家把脉］对轨迹方程的理解不深刻，x=xo,y=-t不是轨迹方程，究其原因还是题目

的已知条件挖掘不够，本题中【而|=|由I是一个很重要的已知条件.

［对症下药］(1)解法1以AB所在的直线为y轴，AB的中点为坐标原点，建立如图6-6

所示的直角坐标系，别A(0,1),B(0,-1),设E(0,t),则由已知有OWtWl,由|前|=|由|

及B'在AD上，可解得B'(2〃，1)由+屈=而+国'得(x,y-t)=(O,-1-t)+(2〃，1-t),

即x=2亚y=-t,消去t得x2=-4y(0WxW2).

解法2以EB、EB'分邻边作平行四边形.由于|而|=|西|知四边形EBMB',为菱形，且

而J.而，.•.动点M到定直线AD的距离等于M到定点B的距离，的轨迹是以B为焦点，

以AD为准线的抛物线的一部分轨迹方程为x2=-4y(0Wx<2).

(2)由(1)结合已知条件知C的方程是x、-4y(-2WxW2),由餐_=4知F(0,设过

BF2

F的直线的斜率为k,则方程为y=XX,P(xi,yj,Q(x2,y2),由而=/l而得xl=-A

2

X2,联立直线方程和c得方程是x2+4kx-2=o,由-2WxW2知上述方程在［-2,2］内有两个

解，由；次函数的图像知-Lvkv，,由x=-Axz可得一二(可+口)2=-'町工2由韦达

44(1-A)22

定理得81?=史4,,解得_L4aw2.

222

4.(典型例题1)已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点9

的直线交椭圆于A、B两点，OA+OB与a=(3,T)共线

(1)求椭圆的离心率;

(2)设M为椭圆上任意一点，且加=2豆+〃而,证明入2+/为定值.

2222

［考场错解］⑴设椭圆方程为=+==1(。〉心0),F(c,0)联立y=x-c与=匚=1得

a2b1a2b1

(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2+a2b2=0,令A(x］，yj,B(X2,y2),贝UXi+X2=-----—,xjx2=--------——

a2+b2a2+b2

由不+35(xi+xz,yiM,a=(3,-1),OA+OB与a共线，得X1+x2=3,yi+yz=T,又

c_2_V6

yi+y2=xi+x-2c,c=2得a2=3b2,又aM?=(?='*,，b2=2,aM,A.

2a屈3

［专家把脉］苏+诿与(3,-1)共线，不是相等，错解中，认为苏+为(3,-1),这是错

误的，共线是比例相等.

［对症下药］(1)(前同错解)，苏+为与a共线，得3(yi+y2)+(xi+xJ=0,

3(X1+X2-2c)+(X1+X2)=0

/.X］+X2=—c,代入：acq2=3Z?2e=—.

22

2a+b23

22_,

(2)证明：由(1)知/二3b2,所以椭圆三+==1可化为x?+32=3b2设施(x,y),由已知得

a2b2

(x,y)=X(xi,y】)+u(x2,ya),

(X=Ax1+卜ix?

"孙

AM(x,y)在椭圆上,

J

，(入Xi+RX2)23(入yi+ny2)=3b\

2

即入2(x：+3y：)〃23(g+3)1+2入口(xix2+2yiy2)=3b.①

由(1)知x2+x2=—9c、212=_1c2

222

.a2c2—q2〃23

..x\xy=-----------------=—c

22

a+b8

xix2+3yiy2=xi+x2+3(xi-c)(x2-c)

=4X1X2-3(X1+X2)c+3c2

=0.

又x；+3)，j=3庐，君+3g=3庐又，代入①得X2+u2=l.

故入、口？为定值，定值为L

专家会诊

平面向量与平面解析几何结合是高考中的热点题型，解此类题目关键是将向量关系式进

行转化，这种转化一般有两种途径：一是利用向量及向量的几何意义，将向量关系式转化为

几何性质，用这种转化应提防忽视一些已知条件；二是将向量式转化为坐标满足的关系式，

再利用平面解析几何的知识进行运算，这种转化是主要转化方法，应予以重视.

考场思维调练

1已知4ABC中，A(0,1),B(2,4),C(6,1),P为平面上任一点，点M、N满足

PM=](PA+PB),PN=](PA+PQB+PC),给出下列相关命题：①MN〃BC；

(2)直线MN的方程是3x+10y-28=0；(3)直线MN必过AABC外心；(4)起点为A的向量X

(^4B+AC+AC)(XWR')所在射线必过N,上面四个选项中正确的是.(将正确的选项

序号全填上)

答案：解析：(2)⑷由已知M为AB的中点,所以M(l,-),N为△ABC的重心，.•.N(g,

23

2).MN在AB的中线上...赤正；MN的方程为3x+10y-28=0；MN过AABC的重心，又AABC

不是等腰三角形，MN不可能过aABC的外心；

X(AB+AC)(XWR')所在射线为BC的中线所在的射线，

•••必过N上(2)、(4)正确.

2已知A为x轴上一点，B为直线x=l上的点，且满足：(3+百/)，(01-百/).

(1)若证A的横坐标为x,B的纵坐标为y,试求点P(x,y)的轨迹C的方程；

答案:解：由题意，A(x,0),B(l,y),则而=(x,0),而=(1,y)代入(苏+石质)・(苏-石布)=0

中，得：

(2)设D(0,-1),上述轨迹上是否存在M、N两点，满足|砺|=|而I且直线MN不平行于

y轴，若存在，求出MN所在直线在y轴上截距的取值范围，若不存在，说明理.

答案：假设存在M(xi,yi),N(X2,yz),由题设MN不与x轴垂直，不妨设MN的方程为y=kx+m,

X22

联立石-N",得(l-3k2)xJ6kmx-3m2-3=0,显然1-3产#0,.*.△=12(m2+l-3k2)>0,又

y=kx+m

7

Xi+X2=3y,*'=凸二.设MN的中点P(x。，y。)，则有X广也线段

1-3*21-3*21-3*2|-3Jt2

MN的垂直平分线方程为丫-上==_1*_小吗).由题意D(0,T)在该直线上，代入得

1-3Mk\-3k2

4m=3k-l,k满足卜＞0消去卜？，得m〉4或〈m＜0....存在这样的M、N,并

4,”=3廿-14

且MN所在直线在y轴上截距的取值范围是(4,+-)U(-1,0)

4

3已知点F(l,0),直线l:x=2,设动点P到直线1的距离为d,已知|1不|=巫"且24d4。

232

(1)求动点户的轨迹方程；

2.答案：设P(x,y),:空!=也＜1,.・.P的轨迹为以(1,0)为焦点，以1：x=2为对应

d2

准线的椭圆.且=£=①,4-c=l,解得a=啦，c=l,b=l.又NwdW3,.•，W|2-x|

a2c323

w2,解得Iwxwd,

223

P的轨迹方程为—+y2=l(LWxW&).

223

⑵若而=」求向量而与丽的夹角；

3

答案：VPF=(l-x,-y),OF=(1,0),而=(x，y)A-PF•OF=(l-x,)•l+(—y)•0=Lx=工,

3

\OP\^\OF\11

OP与OF的夹角为arccos------

11

⑶如图，若点C满足5?二2赤，点M满足而=3而二3PF,且线段MG的垂直平分线经过P,

求△PGF的面积.

答案：由已知I承H；21而|,・・・G为左焦点.

而=*

|PG|=|PM|=3|PF|

又，

\'PG\+\~PF\=2V2I正|=孚

又|斤1=2,二|而|2+|斤「=|两，,

.♦.△PGF为RtZ\,A.*.S=—

2

命题角度4

解斜三角形

1.(典型例题)在AABC中，sinA+cosA=—,AC=2AB=3,求tanA的值和AABC的面积.

2

［考场错解］,.,sinA+cosA=4^...两边平方得2sinAcosA=-L；.sinA=-'又0°

222

<2A<360°.12A=210°或2A=330°得A=105°或A=165°,当A=105°时，tanA=tan(45°

+

+60°)-*/I=-2-V3sinA=sin(450+60°)="当A=165°时，tanA=tan(45°+120

1-V34

°)=-2+V3,sinA=sin(45°+120°)=屈一五,△ABC的面积为

4

—AC•AB9sinA—(5/6-5/2).

24

［专家把脉］没有注意到平方是非恒等变形的过程，产生了增根，若A=165°,sinA二此时

sinA+cosA二遥十四cosA=一四+拒，止匕时飞inA+cosA=--，显然与sinA+cosA=—的

4422

已知条件矛盾.

［对症下药］解法1.•.•sinA+cosA=4Z

2

.­.A/2COS(^-45O)=—f#cos(4-45o)=-,X0o<A<180°,/.A-45°=60°,得A=105°.

22

；.tanA=tan(45。+60°)=-2-石，sinA=sin(45。+60°)=+屈,

SAABC=—AC•AB•sinA=—(V6+V2)

24

解法2sinA+cosA=—,/.2sinAcosA」

22

又0°<A<180°，AsinA>0,cosA<0,V(sinA-cosA)2=l-2sinAcosA=-

2

.*.sinA-csoA=—,解得sinA二五十",cosA二五一"

244

sinA==-2-V3,5AABC」"・sinA一函+扬.

cosA24

2.(典型例题)设P是正方形ABCD内部的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别为1、2、3,

则正方形的边长是.

［考场错解］设边长为xNABP=a则/CBP=90°-a,在^ABP中/

2.2_22.,2.2_,2

匕r?1在中?

ABP=j3_L=ACBPcosNCBP=_L_VcosZCBP=sina,

4x4x4xAx

«

*2+3X2-5

+=1,

4x4x

/

解得xz=5+2亚,或5-26.

正方形的边长为yl5+241^5-242.

［专家把脉］没有考虑x的范围，由于三角形的两边之差应小于第三边，两边之和应大于第三

边，/.l<x<3.

［对症下药］(前同错解)Vl<x<3,；.X=』5-26应舍去,...正方形的边长为J5+2收

3.(典型例题)已知aABC中，AB=1,BC=2,则角C的取值范围是.

［考场错解］依题意c=l,a=2,由正弦定理知

——故有sinC=£sinA」sinA4L又0<C<180°,0°<CV30°或150°"<180°.

sinCsinAa22

［专家把脉］没有考虑大边对大角，由于a〉c,.•.角C不是最大解，...ISO。<C<180°不可能.

［对症下药］依题意c=l,a=2,由正弦定理知

—^•=上~,，$/9=£就1141311444,又因为0>£',.・./4>/(7,.；，的取值范围是0°〈CW

sinCsinAa22

30°.

专家会诊

解三角形的题目，一般是利用正弦定理、余弦定理结合三角恒等变形来解，要注意角的范围

与三函数值符号之间的联系与影响，注意利用大边对大角来确定解是否合理，要注意利用△

ABC中，A+B+C=n,以及由此推得一些基本关系式

sin(B+C)=cisA,cos(B+C)=-cosA,sinB+C=cos—等，进行三角变换的运用，判断三角形的

22

形状，必须从研究三角形的边与边的关系，或角与角的关系入手，。要充分利用正弦定理，

余弦定理进行边角转换.

考场思维训练

1在aABC中，三内角分别为A、B、C若4sinAsinB=3cosAcosB,若复数z\a+bi(a,bWR),

定义z的模|z|=Jo2+序,求复数z=41cos--zcos——^的模|z|.

22

解：

Iz21=7cos2-cos2--(l+cosC)+—(1-cos(A-B))=4+—cosC--cos(A-B)=4+—[-7cos(A+

2222222

B)-cos(A-B)]

=4+—(-8cosAcosB+6sinAsinB)，

2

又,.,4sinAsinB=3cosAcosB

A|Z|2=4,得，|z|=2.

2在aABC中，sinA+cosA=l,AB=10,AC=20

5

(1)求4ABC的面积；

答案：由sinA+cosA=-得2sinAcosA=-*，

525

/.sinA>0,cosA<0,(sinA-cosA)2=l-2sinAcosA

_——49zgsi.nA.-cosAA_7，••・SinA——,comAA—-——3.

25555

.,.SAAB<F-AB•AC•sinA=--10•20•-=80；

225

(2)求△cos2A的值.

答案：cos2A=2cosJA-l=-—

25

3AABC中，AB=2,BC=1,ZABC=120°,平面ABC处一点满足PA=PB=PC=2,则三棱锥P-ABC

的体积是.

答案：解：过P作POJ•平面ABC,

由PA=PB=PC=2,

；.0为△ABC的外心，在AABC中，由余弦定理，

|AC|2=|AB|2+|BC|-2|AB|•|BC|•COS1200=7,

IAC|=下又由正弦定理।I=2K

sinZABC

得R=®

3

在RtZXPOA中，PA=2,OA=R=W互，

3

.•.P0=J(%)2_R2=平

又限时=、2・1.3=电，

222

三棱锥P-ABC的体积为由.

6

探究开放题预测

预测角度1

向得与轨迹、直线、贺铃由线舒疾识点结合

1.已知过点D(-2,0)的地