新人教A版高中数学必修二全册同步课时分层练习

新人教A版高中数学必修二全册同步课时分层练习

课时分层作业（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征

（建议用时：45分钟）

［基础达标练］

一、选择题

1.观察如下所示的四个几何体，其中判断不正确的是（）

A.①是棱柱B.②不是棱锥

C.③不是棱锥D.④是棱台

B［结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥,

故B错误.］

2.下列说法正确的是（）

A.有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台

B.多面体至少有3个面

C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体

D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

D［选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在

有3个面的多面体，所以选项B错误：选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形,

各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确.］

①②

3.如图所示都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（）

A.①②B.②③

C.③④D.①④

B[在图②③中，⑤不动，把图形折起,则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故

图②③完全一样，而①④则不同.]

4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水

形成的几何体是（）

A.棱柱B.棱台

C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定

A[如图.因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因

此是棱柱.]

5.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（）

A.四边形B.三角形

C.三角形或四边形D.不可能为四边形

C[按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去

截三棱锥，截面是四边形.]

①②

二、填空题

6.一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为cm.

12［该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12cm.］

7.如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点/出发，围着三棱柱的侧

面爬行一周到达点4,则爬行的最短路程为.

B\C\D\

ABCD

Vio［将三棱柱沿力4展开如图所示，则线段即为最短路线，即14=错误！=错误!.］

8.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成个三棱锥.

3［如图，三棱台可分成三棱锥三棱锥如力即，三棱锥4484,三个.］

三、解答题

9.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、

几条棱？

［解］这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的

正三角形：有6个顶点；有12条棱.

10.试从正方体46。48G〃的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且

用适当的符号表示出来.

(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；

(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；

（3）三棱柱.

［解］（1）如图①所示，三棱锥4-4WK答案不唯一）.

⑵如图②所示，三棱锥如/四（答案不唯一）.

（3）如图③所示，三棱柱48。-｛切（答案不唯一）.

①②

③

［能力提升练］

1.由五个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，

并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是（）

A.三棱柱B.三棱台

C.三棱锥D.四棱锥

B［该多面体有三个面是梯形，而棱锥最多有一个面是梯形（底面），棱柱最多有两个面

是梯形（底面），所以该多面体不是棱柱、棱锥，而是棱台.三个梯形是棱台的侧面，另两个

三角形是底面，所以这个棱台是三棱台.］

2.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么

一个五棱柱的对角线共有条.

10［在上底面选一个顶点，同时在下底面选一个顶点，且这两个顶点不在同一侧面上，

这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条.］

课时分层作业（二）旋转体与简单组合体的结构特征

（建议用时：45分钟）

［基础达标练］

一、选择题

1.下列几何体中是旋转体的是（）

①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.

A.①和⑤B.①

C.③和④D.①和④

D［根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体.］

2.图①②中的图形折叠后的图形分别是（）

①②

A.圆锥、棱柱B.圆锥、棱锥

C.球、棱锥D.圆锥、圆柱

B［根据图①的底面为圆，侧面为扇形，得图①折叠后的图形是圆锥：根据图②的底面

为三角形，侧面均为三角形，得图②折叠后的图形是棱锥.］

3.圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）

A.等边三角形B.等腰直角三角形

C.顶角为30°等腰三角形D.其他等腰三角形

A［设圆锥底面圆的半径为r,依题意可知2nr=n-f,则r=*故轴截面是边长为飘

等边三角形.］

4.如图，在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是（）

A.一个棱柱中挖去一个棱柱

B.一个棱柱中挖去一个圆柱

C.一个圆柱中挖去一个棱锥

D.一个棱台中挖去一个圆柱

B［一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.］

5.用长为8,宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为（）

“32/68

A.32B.——jiC.—nD.一n

OQO

B［若8为底面周长，则圆柱的高为4,此时圆柱的底面直径为三，其轴截面的面积为互；

432

若4为底面周长，则圆柱的高为8,此时圆柱的底面直径为G，其轴截面的面积为反」

二、填空题

6.如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是

圆柱［一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱.］

7.下列命题中错误的是

①过球心的截面所截得的圆面的半径等于球的半径;

②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等;

③圆台所有平行于底面的截面都是圆面;

④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形.

②［因为圆锥的母线长一定，根据三角形面积公式，当两条母线的夹角为90°时，圆锥

的轴截面面积最大.］

8.一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm,则截面圆面

积为.cm2.

9n［设截面圆半径为rem,则d+42=52,所以「=3.所以

截面圆面积为9“cm2.］

三、解答题

9.如图所示，梯形46W中，AD//BC,且4X6G当梯形4版绕所在直线旋转一周时,

其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征.

C

D

A

B

［解］如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.

10.一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4Jtcm，和25ncm：求:

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长.

［解］(1)圆台的轴截面是等腰梯形/物(如图所示).

下底面半径/=5(cm),

又因为腰长为12cm,

所以高AM=y)l2--(5-2)2

⑵如图所示，延长胡，oa,CD,交于点S,设截得此圆

7—122

台的圆锥的母线长为/,则由△SIQs△皈可得一j一=?解得/=20(cm),即截得此

15

圆台的圆锥的母线长为20cm.

［能力提升练］

1.如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()

A.一个球体

B.一个球体中间挖出一个圆柱

C.一个圆柱

D.一个球体中间挖去一个长方体

B［圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.］

2.如图所示，已知圆锥S。中，底面半径r=l,母线长1=4,V为母线弘上的一个点，

且SM=x,从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点4则绳子的最短长度的平方式公=

M+16（0<X<4）［将圆锥的侧面沿外展开在平面上，如图所示,

则该图为扇形，且弧人!’的长度/就是圆。的周长,

所以£=2nr=2n,所以/4£1/=丁:乂360°=,,2、乂360。=90°.

由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,其值为Y+16（0WXW4）.

所以/Xx）=加=1+16（0近后4）.］

课时分层作业（三）中心投影与平行投影空间几何体的三视图

（建议用时：45分钟）

［基础达标练］

一、选择题

1.直线的平行投影可能是（）

A.点B.线段

C.射线D.曲线

A［直线的平行投影可能是直线也可能是点，故选A.］

2.下列说法错误的是（）

A.正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度

B.俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度

C.侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度

D.一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图

宽度一样

D［正视图和俯视图长度一样；正视图和侧视图高度一样；侧视图和俯视图宽度一样.故

D不对.]

3.有下列说法：

①从投影的角度看，三视图是在平行投影下画出来的投影图；

②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；

③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，平行线还是成平行的直线；

④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.

其中正确说法有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

C[由投影的知识知①②④正确.只有③错误，空间图形经过中心投影后，直线变成直

线、平行线有可能变成了相交直线，综上可知正确说法有3个，故选C.]

4.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几

何体的俯视图为（）

C[正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B,D,侧视图中小长方

形在右上方，排除A,故选C」

5.

/正视方向

B[从五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B.]

二、填空题

6.如下图，图①②③是图④表示的几何体的三视图，其中图①是,图②是

,图③是(说出视图名称).

-1—\Pn印

①②③④

正视图侧视图俯视图［由几何体的位置知，①为正视图，②为侧视图，③为俯视图.］

7.若线段平行于投影面，。是线段48上一点，且博=*点/，。，夕分别是4

A'0'

0,8在投影面上的投影点，则万.

UD

~［由题意知B',00'//AA',00'//BB',则有幺，弁=".］

nUDUDn

8.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为.

正视图侧视图

俯视图

2小［由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为2仇笛旦，最长棱为DB尸

错误!=错误!=2错误!.

三、解答题

9.如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的.

(1)判断该几何体是否为棱柱;

(2)画出它的三视图.

［解］(1)是棱柱.因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相

邻矩形的公共边都互相平行.

(2)该几何体的三视图如图：

口S

正视图侧视图

俯视图

10.某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征.

正视图侧视图

俯视图

［解］该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体(如图所

示).

［能力提升练］

1.如图所示，画出四面体4笈勿三视图中的正视图,以444〃为投影面，则得到的正视

图可以为()

D......-_C

ABCD

A［显然/瓜，AC,B\D\,勿分别投影得到正视图的外轮廓，8c为可见实线，为不可

见虚线.故A正确.］

2.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一个皮球上，皮球在地面上的投影长是

1球，则皮球的直径是.

\

乎=15.］

15［皮球的直径d=10、履sin60°=10

课时分层作业（四）空间几何体的直观图

（建议用时：45分钟）

［基础达标练］

一、选择题

1.如图，已知等腰三角形则如下所示的四个图中，可能是的直观图的是（）

BAC

B'AC'BA'C'BK'CB'C'

①②③④

A.①②B.②③C.②④D.③④

D［原等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，③④两图分别为在O'y'成

135°和45°的坐标系中的直观图.］

2.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说,,下列描述不正确的是（）

A.三角形的直观图仍然是一个三角形

B.90°的角的直观图会变为45°的角

C.与y轴平行的线段长度变为原来的一半

D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

B[对于4根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直

观图仍是一个三角形，故A正确；对于反90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B

错误；C,〃显然正确.]

3.把△49C按斜二测画法得到B'C（如图所示），其中8,O'=C0'=1,4O'

=坐，那么是一个（）

A.等边三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.三边互不相等的三角形

A[根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示:

由图易得力^二比三/a？，故△4比为等边三角形，故选A.]

4.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一

样，已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m,四棱锥的高为8m,若按1：500的

比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为（）

A.4cm,1cm,2cm,1.6cm

B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm

C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cm

D.2cm,0.5cm,1cm,0.8cm

C[由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和L6cm,

再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.]

5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰

梯形，那么原平面图形的面积是（）

A.2+y[2B.

C.D.1+^2

A[画出其相应平面图易求，故选A.

二、填空题

6.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点欣4,4)在直观图中的对应点是"，则

点"的坐标为.

〃(4,2)［在/轴的正方向上取点使。'M=4,在y'轴上取点助，使。极=2,

过M和助分别作平行于V轴和/轴的直线，则交点就是犷.］

7.水平放置的△力呢的斜二测直观图如图所示，已知"C=3,B'C=2,则46边

上的中线的实际长度为________.

2.5［由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且4。=/'C=3,BC=2B'C=4,

计算得H6=5,所求中线长为2.5.］

8.如图所示，水平放置的△48。在直角坐标系中的直观图，其中。'是C的中点,

且//物30°,则原图形中与线段物的长相等的线段有条.

2为直角三角形，因为。为4C中点，所以期=1/?=①所以与劭的长相等的线

段有2条.］

三、解答题

9.如图，△/B'C是水平放置的平面图形的直观图，试画出原平面图形△48C

［解］(1)画法：过△,6'分别作V轴的平行线交/轴于〃'，E':

(2)在直角坐标系中.在x轴上取二点反D使OE=O'E',OD=O'D',再分别过

E,〃作y轴平行线，取EB=2FB',DC=2D'C.

连接阳OC,比即求出原△/比：

10.画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.

［解］(1)画轴.画x轴、了轴、z轴，使Nx(%=45°,NxOz=90°,如图①.

(2)画底面.以。为中心在刀行平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD.

⑶画顶点.在龙轴上截取0尸，使。的长度是原四棱锥的高.

⑷成图.连接必、PB、PC、PD,并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图②.

［能力提升练］

1.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,另一个圆

锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为()

A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm

D［由题意可知其直观图如下图：

由图可知两个顶点之间的距离为5cm.故选D.］

2.已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为18^2,则原正方形的面积为

72［如图所示，作出正方形的州的直观图O'A'B'C,作CD'J_*'轴于点。'.

S&观图=0'A'XCD'.又S正方彩=0CX0A.

所以石嬴一XC''又在Rt^O'D'C中，O'C=y[2CD',

即CD'=爷0'C,结合平面图与直观图的关系可知OA^O'A',仇?=20'C,所

又S宜硒=1队「，所以S£方杉=2嫡XI队「=72.］

课时分层作业（五）柱体、锥体、台体的表面积与体积

（建议用时：45分钟）

［基础达标练］

一、选择题

1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是

（）

A.4nB.3nC.2nD.n

C［底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2灭9=2nX1X1=2”.故选C.］

2.已知高为3的直棱柱48G48G的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥5-48。的体

为

积

也

11乎

AB

4-2-6D.

D［由题意，锥体的高为阚底面为&械=弹，所以忌S/z=9X乎又3=坐］

4JJ44

3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4兀，那么圆柱的体积等于（）

A.nB.2nC.4nD.8n

B［设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r,

由题意得S回柱傅=2nrX2r=4nd=4JI,所以「=1,所以，网枝=“/x2r=2"r：'=

2n.］

4.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分

别为2和3,则该几何体的体积为（）

A.5兀B.6兀C.20兀D.10n

D［用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为"X

22x5=20叫故所求几何体的体积为10口.］

5.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的

体积是（）

A.54B.54n

C.58D.58n

A［设上底面半径为r,则由题意求得下底面半径为3r,设圆台高为人,则52="“力（产

O

+9r+3r,z）,

・・・3i/A=12.令原圆锥的高为力，

由相似得5=宁，

A=1AI,

1.39

・'・P原圆锥=耳兀（3B2XA=3nrX-//i=-X12=54.］

o乙乙

二、填空题

6.已知圆锥SO的高为4,体积为4”,则底面半径r=.

小［设底面半径为r,则;兀产义4=4”，解得2-=:，即底面半径为嫡.］

7.已知一个圆台的正视图如图所示，若其侧面积为34n,则a的值为一.

2［圆台的两底面半径分别为1,2,高为a,则母线长为行号，则其侧面积等于兀（1

+2）•yj（1+a）=3#n,解得a2=4,所以a=2（舍去负值）.］

8.已知一个圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S,则圆锥的底面面积是.

京［如图所示，设圆锥的底面半径为r,母线长为1.

由题意，得'”一'解得

［n7=2nr,"

所以圆锥的底面面积为n产=1tx—］

三、解答题

9.若圆锥的表面积是15n，侧面展开图的圆心角是60°,求圆锥的体积.

［解］设圆锥的底面半径为r,母线为1,

则2nr=；n1,得7=6r.

J

又Stn=B行+冗r•6r=7冗f=15打，得厂=\^^，

圆锥的高h=y［35•

12f115r-［1525A/3

V=-nfh=-nX—X^/35XA/—=—卢弘・

OO(II

10.在长方体/吃48中，截下一个棱锥G49，求棱锥G4ZW的体积与剩余部分

的体积之比.

［解］已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面/加M的面积为S,高为方，则它的体

积为V=Sh.

而棱锥C4如的底面积为gs,高为A,

故三棱锥G4a的体积为：e4如=芝»7=17?,

15

余下部分体积为：Sh—~Sh=^Sh.

66

所以棱锥G4如的体积与剩余部分的体积之比1:5.

［能力提升练］

1.三棱锥月48c中，D,6分别为阳，27的中点，记三棱锥小♦解的体积为/,P-ABC

的体积为V,则行=_______.

2V2

；［如图，设点C到平面为6的距离为方，三角形〃16的面积为S,则%匕=外被

O

1111b/1r

=-x-sx-h=—s/i,所以77=不］

oZZLZ/24

2.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸

的最小面积是.

8［如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形,

再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方体，如图②所示，由图知正方形的边长为2m,其

面积为8.］

课时分层作业（六）球的体积和表面积

（建议用时：45分钟）

［基础达标练］

一、选择题

1.如果三个球的半径之比是1：2：3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和

的/)

X(

59

倍

倍

-氏-

A.95C.2倍D.3倍

B［设小球半径为1,则大球的表面积S大=36n,Sd、+S中=20n,^-=|.］

2.把半径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为

()

A.3cmB.6cm

C.8cmD.12cm

4444

D【由可”"=可”•63+TH•8J+W”7（）3,得〃=1728,检验知??=12.]

Oooo

3.将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积

为（）

A.2nB.3n

C.4nD.6n

B[由题意知，该几何体为半球，表面积为大圆面积加上半个球面积，S=nXF+；

X4XJIXl2=3n.]

4.将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为（）

164n

A.—nB.-r-

32

C.-7-nD.4n

B[根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r=l,

44

所以r=鼻"/=可页.]

OM

5.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱

的体积为（）

3nJIn

A.aB.—C.—D.—

B[设圆柱的底面半径为r,球的半径为兄且火=1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球

的球面上可知，r,〃及圆柱的高的一半构成直角三角形.

33几

，圆柱的体积为V=nrh=-nX1=—

故选B.]

二、填空题

6.若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为.

4

3[设此球的半径为尼则4n好=金n川，仁3.]

o

7.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据可得该几何体的表面积为—

33IT［由三视图可知该几何体是上面为半球，下面为圆锥的组合体，所以表面积S=g

X4nX32+nX3X5=33n.］

8.如图，在圆柱QQ内有一个球0,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱QQ

的体积为一,球。的体积为v2,则W的值是.

3

-［设球。的半径为此

♦.,球。与圆柱4a的上、下底面及母线均相切，

二圆柱aa的高为2尺底面半径为正

匕•2"31

，济歹下」

三、解答题

9.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r=l,

7=3,试求该组合体的表面积和体积.

［解］该组合体的表面积

5=4nr+2nrl=\JtXf+2nX1X3=10”.

44131t

该组合体的体积K=-JIr+itr7=-nX13+页Xl2X3=^r-

JJo

10.已知过球面上4B,6•三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且48=18,BC

=24,力仁30,求球的表面积和体积.

［解］因为46：和：4C=18：24：30=3：4：5,

所以是直角三角形，/8=90°.

又球心。到截面△48。的投影0'为截面圆的圆心,

也即是Rt△4回的外接圆的圆心，

所以斜边力。为截面圆。的直径（如图所示）,

设O'C=r,OC=R,

则球半径为此截面圆半径为八

1

Off

在Rtz^O'勿中，由题设知sin/。CO=—2-

所以N。'CO=30°,所以§=cos30°=g,即H=

K/

又2r=/C=30nr=15,代入（*）得K=10y/^.

所以球的表面积为S=4n#=4五义（10，5）2=1200n.

44lr-

球的体积为r=-n#=-JiX（l（h/3）3=4000\/3兀.

oo

［能力提升练］

1.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之

比为（）

A.4：3B.3：1C.3：2D.9：4

C［作圆锥的轴截面，如图，设球半径为此则圆锥的高分=3只圆锥底面半径r=/兄

,,,,1,/（2、„Jirl”义布R,2m.3

则"+「）5R,所以飞丁=北花=一=5/

2.在封闭的直三棱柱484内有一个体积为夕的球.若AB工BC,48=6,BC=8,AAt

=3,则，的最大值是

9ji

—[当球的半径最大时，球的体积最大,在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时,

6+8—10

因为ABVBC,四=6,6c=8,所以然=10,底面的内切圆的半径即为此时球的半径r=---

3QT[

=2,直径为4＞侧棱.所以球的最大直径为3,半径为1此时体积眸〒.]

课时分层作业（七）平面

（建议用时：45分钟）

[基础达标练]

一、选择题

1.已知点4直线a,平面明以下命题表述正确的个数是（）

①/IWa,②{Ca,aea=/《a；③A乐a,aua=A年a④/6a,

aua=4ua.

A.0B.1C.2D.3

A[①不正确，如an。=小②不正确，•；“aGa”表述错误；③不正确，如图所示,

A年a,aua,但/d。；④不正确，“4ua”表述错误.]

2.下列命题中正确命题的个数是（）

①三角形是平面图形；

②四边形是平面图形；

③四边相等的四边形是平面图形；

④圆是平面图形.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

B[根据公理2可知①④正确，②③错误.故选B.]

3.两个平面若有三个公共点，则这两个平面（）

A.相交B.重合

C.相交或重合D.以上都不对

C[若三点在同一条直线上，则这两个平面相交或重合，若三点不共线，则这两个平面

重合.］

4.如果空间四点4B,C,〃不共面，那么下列判断中正确的是（）

A.A,B,C,〃四点中必有三点共线

B.A,B,C,。四点中不存在三点共线

C.直线48与切相交

D.直线AB与切平行

B［两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B.］

5.三条两两平行的直线可以确定平面的个数为（）

A.0B.1

C.0或1D.1或3

D［当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱

所在的直线时，确定三个平面，选D.］

二、填空题

6.设平面a与平面B相交于1,直线aua,直线伙：£,aCb=M,则"1.

e［因为aCb—M,aua,bas，所以,J/ea,J/GB.又因为aCB=1,所以MG1.］

7.在长方体/188〃的所有棱中，既与4?共面，又与⑶共面的棱有______条.

5［由题图可知，既与48共面又与8共面的棱有切、BC.BB、、44、G〃共5条.］

8.已知平面a与平面£、平面/都相交，则这三个平面可能的交线有条.

1或2或3［当£与y相交时，若。过£与/的交线，有1条交线；若a不过8

与7的交线，有3条交线；当万与y平行时，有2条交线.］

三、解答题

9.已知：A&l,B&l,C^l,L电1,如图所示.

求证：直线/〃，BD,切共面.

［证明］因为上生/，所以/与〃可以确定平面

因为力e1,所以jea,

又。Ga,所以a.同理，琰七a,CIEa,

所以/〃，BD,5在同一平面。内，

即它们共面.

10.求证：三棱台45%小三条侧棱延长后相交于一点.

［证明］如图，延长44,阳,

设44rl郎=只又班u面附，...PG面园，

AA\<z面AC\,二PG面4G,

：.P为平面BC\和面/G的公共点，

又；面用C面阳=4,

:.P《CC\,

即44,BB\,CG延长后交于一点£

［能力提升练］

1.如图，aCF=l,JGa,B,（生/,直线4DC1=D,过A、B、C三点确定的平

面为r，则平面y、£的交线必过（）

A.点4B.点8

C.点C,但不过点〃D.点C和点〃

D［A、B、C确定的平面r与直线被和点。确定的平面重合，故c、〃W7,且C、oe尸，

故C,〃在y和£的交线上.］

2.若直线/与平面。相交于点0,A,BWl,C,DWa,&AC〃BD,则“C,〃三点的

位置关系是

共线%做.MC与劭确定一个平面，记作平面£,则aCB=CD.

V7na=o,：.oea.又YOJABaB,直线切,

：.O,C,〃三点共线.]

课时分层作业（八）空间中直线与直线之间的位置关系

（建议用时：45分钟）

［基础达标练］

一、选择题

1.若a和6是异面直线，。和c是异面直线，则a和c的位置关系是（）

A.异面或平行