等差数列的前项和公式的性质PPT资料

等差数列的前项和公式(gōngshì)的性质第一页，共23页。思（2分钟）

an－1＋an＋1＝2an（n≥2）an－

an－1＝d（n≥2）在结构上是关于(guānyú)n的一次函数.an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋k.1.等差数列(děnɡchāshùliè)的递推公式是什么？2.等差数列通项公式(gōngshì)是什么？结构上它有什么特征？第二页，共23页。3.等差数列(děnɡchāshùliè)前n项和的两个基本公式是什么？第三页，共23页。思考1：若数列(shùliè){an}的前n和那么数列(shùliè){an}是等差数列(shùliè)吗？{an}是等差数列(děnɡchāshùliè)『知识(zhīshi)探究（一）——等差数列与前n项和的关系』议（5分钟）第四页，共23页。思考2：将等差数列前n项和公式看作是一个(yīɡè)关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时，Sn是常数(chángshù)项为零的二次函数.第五页，共23页。思考3：一般(yībān)地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C呢？（1）数列(shùliè){an}是等差数列(shùliè)Sn＝An2＋Bn（2）数列(shùliè){an}的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C，则：①若C＝0，则数列{an}是等差数列；②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。第六页，共23页。思考4：若{an}为等差数列，那么是什么(shénme)数列？数列(shùliè){an}是等差数列(shùliè)为等差数列(shùliè)即等差数列{an}的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列，且公差(gōngchā)是数列{an}的公差(gōngchā)的一半。第七页，共23页。学以致用(xuéyǐzhìyòng)2.等差数列(děnɡchāshùliè){an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2011，，则S2011的值为()A.0B.2011C.－2011D.－2011×2011C第八页，共23页。『知识探究（二）——等差数列(děnɡchāshùliè)前n项和的性质』思考1：在等差数列(děnɡchāshùliè){an}中，每连续k项的和组成的数列，即数列a1＋a2＋…＋ak，ak+1＋ak+2＋…＋a2k，a2k+1＋a2k+2＋…＋a3k，……是等差数列(děnɡchāshùliè)吗？性质：若数列{an}是等差数列(děnɡchāshùliè)，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k,…仍然成等差数列(děnɡchāshùliè)第九页，共23页。思考3：在等差数列(děnɡchāshùliè){an}中，设S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，则S偶－S奇与等于什么？S偶－S奇＝nd思考(sīkǎo)2：在等差数列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么关系？S3n＝3(S2n－Sn)第十页，共23页。3.等差数列(děnɡchāshùliè){an}中，已知S4＝2，S8＝7，则S12=_____；学以致用(xuéyǐzhìyòng)154.等差数列(děnɡchāshùliè){an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.260c第十一页，共23页。思考(sīkǎo)4：设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则等于什么？思考(sīkǎo)5：在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn是否存在最值？如何确定其最值？

当ak≥0，ak＋1＜0时，Sk为最大.第十二页，共23页。且，则

.例2：Sn，Tn分别(fēnbié)是等差数列{an}、{bn}的前n项的和，学以致用(xuéyǐzhìyòng)第十三页，共23页。1.已知两个等差数列(děnɡchāshùliè){an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A．2B．3C．4D．5『变式探究(tànjiū)』D第十四页，共23页。【题型分类深度(shēndù)剖析】题型1：等差数列前n项和性质(xìngzhì)的简单应用例1：（1）若一个等差数列(děnɡchāshùliè)前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则该数列有()项。A.13 B.12 C.11 D.10A第十五页，共23页。『变式探究(tànjiū)』1.已知等差数列(děnɡchāshùliè){an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=512.等差数列(děnɡchāshùliè){an}前n项和Sn＝an2＋(a＋1)n＋a＋2，则an＝.C第十六页，共23页。题型2：等差数列(děnɡchāshùliè)最值问题例2：等差数列(děnɡchāshùliè){an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？又∵n∈N*，∴n＝10或n＝11时，Sn取最小值．第十七页，共23页。>>第十八页，共23页。小结：求等差数列{an}前n项和Sn的最值常用(chánɡyònɡ)方法：方法1：二次函数性质(xìngzhì)法，即求出Sn=an2+bn，讨论二次函数的性质(xìngzhì)方法2：讨论数列(shùliè){an}的通项，找出正负临界项。（1）若a1>0，d<0，则Sn有大值，且Sn最大时的n满足an≥0且an+1<0;（2）若a1<0，d>0，则Sn有小值，且Sn最小时的n满足an≤0且an+1>0;第十九页，共23页。在结构上是关于(guānyú)n的一次函数.看作是一个(yīɡè)关于n的函数，这个函数有什么特点？Tn，则等于什么？＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋…＋a6)『变式探究(tànjiū)』a3+a99=0D.所以数列{an}是等差数列，d＝=－2，10B.小结：求等差数列{an}前n项和Sn的最值常用(chánɡyònɡ)方法：【题型分类深度(shēndù)剖析】性质：若数列{an}是等差数列(děnɡchāshùliè)，那么数列Sk，S2k－Sk，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝12n－n2.(2)当n≥7(n∈N*)时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|210D.（2）数列(shùliè){an}的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C，则：①若C＝0，则数列{an}是等差数列；『变式探究(tànjiū)』1.首项(shǒuxiànɡ)为正数的等差数列{an}，它的前3项和与前11项和相等，则此数列前________项和最大？2.等差数列(děnɡchāshùliè){an}前n项和Sn中，以S7最大，且|a7|<|a8|，则使Sn>0的n的最大值为_____．3.等差数列{an}中，已知|a7|=|a16|=9，且a14=5，则使

an<0的最大自数n=（）．

A.10B.11C.12D.13713第二十页，共23页。例4：已知数列(shùliè){an}的前n项和Sn＝12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.当n＝1时，a1＝S1＝12－12＝11；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－n2－[12(n－1)－(n－1)2]＝13－2n.∵n＝1时适合(shìhé)上式，∴{an}的通项公式为an＝13－2n.由an＝13－2n≥0，得n≤，即当1≤n≤6(n∈N*)时，an＞0；当n≥7时，an＜0.解析(jiěxī)：题型3：求等差数列的前n项的绝对值之和第二十一页，共23页。(1)当1≤n≤6(n∈N*)时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝12n－n2.(2)当n≥7(n∈N*)时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a6)－(a7＋a8＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋…＋a6)＝－Sn＋2S6＝n2－12n＋72.第二十二页，共23页。『变式探究(tànjiū)』1．数列(shùliè){an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0，n∈N*.(