工程力学2(共81张PPT)

工程力学EngineeringMechanics

中南大学土木建筑学院力学系

DepartmentofMechanicsofSchoolofCivilEngineeringandArchitectureofCentralSouthUniversity

第1页，共81页。第十一章弯曲应力

§11-1引言

·横力弯曲·纯弯曲梁横截面上既有正应力又有切应力。梁横截面上只有正应力无切应力。常数第2页，共81页。§11-2截面（平面图形）的几何性质

一、截面的静矩与形心截面对z轴的静矩注意：截面对某轴的静矩为零，则该轴过截面形心；反之，轴过截面形心，则截面对该轴的静矩为零。所以截面对形心轴的静矩恒等于零。

截面对y轴的静矩第3页，共81页。二、惯性积截面对y、z轴的惯性积

若y、z轴中有一轴为截面的对称轴，则

Iyz

=0主惯性轴：Iyz＝0的一对y、z轴。形心主（惯性）轴：Iyz＝0且都过形心的一对y、z轴第4页，共81页。三、惯性矩1.截面对轴的惯性矩截面对z轴的惯性矩惯性矩与极惯性矩的关系截面对y轴的惯性矩第5页，共81页。2.惯性半径分别称为图形对y、z轴的惯性半径。第6页，共81页。3.常见截面对形心主轴惯性矩的计算·矩形截面（矩形截面高h，宽b，z轴过截面形心平行矩形底边）类似地：第7页，共81页。·圆形截面（直径为d，y、z轴过圆心）类似地：第8页，共81页。·圆环截面（内径为d

，外径为D

，y、z轴过圆心）第9页，共81页。·组合截面截面对轴的惯性矩等于该截面各部分对同一轴的惯性矩之和。第10页，共81页。·型钢截面可以查阅有关工程手册（型钢表）得到。第11页，共81页。§11-2截面（平面图形）的几何性质为使截面合理，满足下列条件可以查阅有关工程手册（型钢表）得到。DepartmentofMechanicsofSchoolofCivilEngineeringandArchitectureofCentralSouthUniversity解：钢带的变形状态同弯曲，其轴线的曲率半径(xy平面内的弯曲)例：宽度b=6mm、厚度δ=2mm的钢带环绕在直径D=1400mm的带轮上，已知钢带的弹性模量为E=200GPa。截面对形心轴yC的惯性矩设加固钢板长度为a，当小车作用在梁中点位置处，未加固截面的最大弯矩解：⑴计算简图确定⑴试计算能否起吊F=85kN的重物；改变截面尺寸，使抗弯截面系数随弯矩而变化。二、横力弯曲时的正应力四、平行移轴定理截面对任一坐标轴的惯性矩，等于对与其平行的形心轴的惯性矩加上截面面积与两轴间距离平方之乘积。类似地：（yC轴过形心）第12页，共81页。例：计算图示T形截面对其形心轴yC的惯性矩。解：确定形心轴的位置，坐标系如图截面对形心轴yC的惯性矩第13页，共81页。§11-3对称弯曲正应力

在梁的纵向对称面内作用一对等值反向的力偶，梁处于纯弯曲状态。一、纯弯曲时的正应力1.变形几何关系实验现象(1)纵向线由直线变成曲线，且ab伸长、cd缩短。(2)横向线仍为直线，且仍垂直于变形后的轴线，但相对其原方位有一微小的偏转。第14页，共81页。平面假设变形前为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，但绕截面的某一轴旋转一个小角度。中性层：在弯曲变形时梁中既不伸长也不缩短的一层纤维中性轴：中性层与横截面的交线。由于载荷作用于纵向对称面内，故中性轴z与横截面对称轴y垂直。第15页，共81页。距离中性层为y处的纤维ab变形前长度纤维纵向线应变为距离中性层为y处的纤维ab变形后长度变形规律设中性层的曲率半径为变形规律：第16页，共81页。2.物理关系公式中中性层的曲率半径ρ未知，其与内力、材料、截面的尺寸、形状有关。时横截面上正应力分布规律图第17页，共81页。中性轴z必过截面形心，同时中性轴z与截面纵向对称轴y垂直，故中性轴位置可确定。y、z轴之交点为形心，x轴即为轴线，且轴线在中性层内。3.静力关系(1)第18页，共81页。应力最大，B点压应力最大材料分布越远离中性轴，截面的Wz越大。同一横截面上距离中性轴最远处正应力最大。DepartmentofMechanicsofSchoolofCivilEngineeringandArchitectureofCentralSouthUniversity⑴试计算能否起吊F=85kN的重物；解：⑴求支座约束力，作弯矩图§11-6梁的合理强度设计(xy平面内的弯曲)(1)纵向线由直线变成曲线，且ab伸长、cd缩短。(xy平面内的弯曲)xz平面内的弯曲，中性轴为y§11-6梁的合理强度设计不同截面形式的等直梁，其最大切应力计算公式：解：梁的最大剪力、最大弯矩为解：当载荷位于梁中点时，梁截面的弯矩My、Mz在中点位置同时有最大值

y、z轴为截面的形心主惯性轴.(2)第19页，共81页。抗弯刚度：截面抵抗弯曲变形的能力(3)第20页，共81页。纯弯曲时正应力计算公式横截面上的弯矩横截面对于中性轴的惯性矩所求应力的点距中性轴的垂直距离上述公式适用于任何截面形式的梁发生平面弯曲的情形。第21页，共81页。梁弯曲变形凸出一侧为拉应力凹入一侧为压应力第22页，共81页。二、横力弯曲时的正应力弯曲平面假设不成立应用时肯定有误差，但误差在允许范围内。特别是对于细长梁，误差更小。横力弯曲时正应力计算公式：第23页，共81页。三、最大弯曲正应力同一横截面上距离中性轴最远处正应力最大。·矩形截面·实心圆截面·空心圆截面抗弯截面系数第24页，共81页。

例：图所示悬臂梁，承受的集中力偶M=20kN·m作用。梁采用No.18工字钢，钢的弹性模量E=200GPa。计算梁内的最大弯曲正应力与梁轴的曲率半径。解：截面的弯矩查型钢表梁内的最大弯曲正应力梁轴的曲率半径第25页，共81页。

例：宽度b=6mm、厚度δ=2mm的钢带环绕在直径D=1400mm的带轮上，已知钢带的弹性模量为E=200GPa。试求钢带内的最大弯曲正应力与钢带承受的弯矩。解：钢带的变形状态同弯曲，其轴线的曲率半径横截面离中性轴最远距离第26页，共81页。§11-4对称弯曲切应力

一、矩形截面梁的弯曲切应力假设(1)横截面上各点切应力方向平行于剪力.(2)切应力沿截面宽度均匀分布。第27页，共81页。左右两个面上由正应力引起的轴力：第28页，共81页。顶面有切向力由切应力互等定理第29页，共81页。·矩形截面切应力沿截面高度抛物线分布最外缘处切应力等于零中性轴处切应力最大第30页，共81页。二、工字形截面梁的弯曲切应力1.腹板的切应力最大切应力在中性轴上腹板内切应力沿高度抛物线分布最小切应力在腹板与翼缘的交界处第31页，共81页。2.翼缘的切应力翼缘部分切应力分布复杂且数值很小，一般不作计算，认为翼缘主要承受截面的弯矩。腹板的面积腹板厚度远小于翼缘宽度b时，，，可认为腹板上的切应力均匀分布第32页，共81页。三、圆形、环形截面梁的弯曲切应力圆形截面：环形截面：第33页，共81页。

例：图所示矩形截面悬臂梁承受均布载荷q作用，比较梁的最大正应力与最大切应力。解：梁的最大剪力、最大弯矩为第34页，共81页。§11-5梁的弯曲强度条件

一、弯曲正应力强度条件对于塑性材料的等直梁：对于塑性材料的变截面梁：对于脆性材料的梁：第35页，共81页。⑴确定危险截面：充分考虑弯矩、截面尺寸、材料。

⑵当材料抗拉、抗压强度不同（如脆性材料）时，应分别进行抗拉、抗压的强度计算。

⑶对于等直梁，当中性轴为截面对称轴时，危险截面在当中性轴不为截面对称轴时，危险截面在处；处（两个截面）。根据梁的正应力强度条件可讨论三类强度问题（强度校核、截面尺寸设计、许可载荷确定）。具体计算时应注意以下几点：第36页，共81页。

例：图示圆截面轴AD，中段BC承受均布载荷q=10kN/m作用，材料许用应力[σ]=140MPa。试确定轴径。解：⑴确定支座约束力，作弯矩图⑵确定轴径AB、CD段最大弯矩确定AB、CD段轴径第37页，共81页。确定BC段轴径BC段最大弯矩第38页，共81页。

例：T形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗拉许用应力为[σ

t]=30MPa，抗压许用应力为[σ

c]=160MPa，试校核梁的强度。解：⑴求支座约束力，作弯矩图解得：第39页，共81页。⑵截面几何性质形心位置截面对中性轴的惯性矩第40页，共81页。⑶强度校核最大拉应力校核，B截面上边缘和C截面下边缘可能是最大拉应力发生位置C截面B截面C截面应力分布图B截面应力分布图第41页，共81页。最大压应力校核，最大压应力发生在B截面下边缘各点B截面所以此梁的强度满足要求。B截面应力分布图第42页，共81页。

例：单梁吊车跨度l=10.5m，由No.45a工字钢制成，材料的[σ]=140MPa

。⑴试计算能否起吊F=85kN的重物；⑵若不能，则在上下翼缘各焊接一块100×10的钢板，钢板长a=7m，再校核其强度；⑶求加固钢板的经济安全长度。解：⑴校核未加固梁的强度当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大查型钢表所以此梁不能起吊F=85kN的重物。第43页，共81页。⑵校核加固梁的强度加固处截面强度校核

当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大第44页，共81页。未加固处截面强度校核设加固钢板长度为a，当小车作用在梁中点位置处，未加固截面的最大弯矩当小车作用在加固钢板边缘处，未加固截面的最大弯矩所以未加固截面的最大弯矩第45页，共81页。未加固截面所以加固以后该梁是安全的。⑶计算加固钢板的经济安全长度，设加固钢板为x第46页，共81页。二、弯曲切应力强度条件不同截面形式的等直梁，其最大切应力计算公式：矩形截面：工字型截面：圆形截面：环形截面：注意：若为变截面梁，则还要考虑截面尺寸对最大切应力的影响第47页，共81页。一般情况下，梁的强度主要由正应力控制，切应力一般会满足要求，但以下情况必须复核切应力强度：1.梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大时（粗短梁、支座附近有很大集中力作用）。3.各向异性材料（木梁顺纹、组合截面梁胶粘层抗剪强度计算）。2.在焊接或铆接的组合截面钢梁中，横截面腹板部分的宽度与梁高之比小于型钢截面的相应比值。

第48页，共81页。

例：图示起重机梁用工字钢制成，已知荷载F=20kN，并可沿梁轴移动，梁的跨度l=6m，许用正应力[σ]=100MPa，许用切应力[τ]=60MPa。试选择工字钢型号。解：⑴按梁弯曲正应力强度条件初步选择工字钢型号当小车位于梁的中点时，在梁的中点位置处弯矩最大查型钢表选择No.22a工字钢第49页，共81页。查型钢表选择No.22a工字钢⑵按梁弯曲切应力强度条件复核初步选择的工字钢型号当小车位于支座位置时，在此位置剪力最大所以选择工字钢满足弯曲正应力和弯曲切应力强度条件。第50页，共81页。

例：图示左端嵌固，右端用螺栓联结的悬臂梁，在自由端作用一集中力F。不考虑上下层梁的摩擦，试分析螺栓的受力。

解：螺栓联结后，两根梁看成一个整体（高2a，宽b）在F作用下整体弯曲，两根梁的接触面相当于整个梁的中性层各横截面中性轴处切应力中性层面上切应力第51页，共81页。中性层面上的剪力实际中性层间的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力中性层面上切应力第52页，共81页。§11-6梁的合理强度设计

一、梁的合理截面形状1.合理的截面形状应该是截面面积较小，抗弯截面系数较大。·定量分析矩形矩形比方形合理方形比圆形合理方形圆形假设矩形、方形和圆形的面积相同，即：第53页，共81页。·定性分析

Wz与截面面积对于中性轴的分布有关。材料分布越远离中性轴，截面的Wz越大。梁横截面上正应力沿高度线性分布，中性轴附近正应力值很小，该处的材料未发挥作用，可以将材料移置距中性轴较远处，使之充分利用。第54页，共81页。2.考虑材料的特性来选择截面的合理形状⑴抗拉和抗压强度相等的材料，宜采用中性轴为对称轴的截面（如矩形、工字形、圆形等）。⑵抗拉和抗压强度不相等的材料，宜采用中性轴偏向一侧（许用应力较小的一侧）的截面，使y1

和y2

之比接近于下列关系第55页，共81页。

例：图示梯形截面承受正弯矩作用。已知材料的许用拉应力[σ

t]=45MPa，许用压应力[σ

c]=80MPa

，为使梁重量最轻，试确定截面的顶边宽度a与底边宽度b的最佳比值。解：截面形心距底边距离是为使截面合理，满足下列条件解得：第56页，共81页。二、变截面梁和等强度梁1.变截面梁2.等强度梁改变截面尺寸，使抗弯截面系数随弯矩而变化。变截面梁各横截面的最大正应力都等于许用应力。第57页，共81页。

例：图示集中力F作用下的简支梁，截面为矩形，设宽度b不变，设计等强度梁。解：

在支座附近，按切应力强度条件确定截面最小高度第58页，共81页。三、梁的合理受力1.合理布置梁的支座2.尽量将载荷分散作用第59页，共81页。§11-7平面弯曲组合

·斜弯曲弯矩作用平面与惯性主轴平面不重合的弯曲。外力都作用在通过梁轴线的两个不同的主轴平面内外力作用在通过轴线的非惯性主轴平面内斜弯曲为若干平面弯曲的组合变形

第60页，共81页。一、内力与应力的计算xy平面内的弯曲，中性轴为z

xz平面内的弯曲，中性轴为y

任意截面x上的内力第61页，共81页。(xy平面内的弯曲)

(xz平面内的弯曲）任取截面x上任意点，坐标为(y,z)第62页，共81页。中性轴方程第63页，共81页。二、最大正应力与强度条件设危险截面上危险点（正应力最大点）的坐标为(y0

,z0)

第64页，共81页。1.矩形截面第65页，共81页。2.圆截面正应力分布规律同前，离中性轴最远的点应力最大。对于圆形截面两个最大正应力值的位置不重合在一点，但圆截面对于任意直径轴的抗弯截面系数是一样的，同时有一根直径轴必为截面中性轴，所以截面的最大正应力可求出截面的合弯矩后采用上述公式计算。第66页，共81页。

例：图所示一矩形截面悬臂梁，截面宽度b=90mm，高度h=180mm，两在两个不同的截面处分别承受水平力F1和铅垂力F2。已知F1=800N，F2=1650N，l=1m，求梁内的最大正应力并指出其作用位置。解：经分析固定端处A点拉应力最大，B点压应力最大第67页，共81页。

例：图示吊车梁，跨度l=4m，用No.20a工字钢制成。当起吊时，由于被吊物体位置偏斜，致使载荷偏离梁截面的铅垂对称轴。若载荷F=20kN，偏斜角α=5o，试计算梁内的最大弯曲正应力。第68页，共81页。

解：当载荷位于梁中点时，梁截面的弯矩My、Mz在中点位置同时有最大值查型钢表第69页，共81页。§11-8弯拉（压）组合

轴向力与横向力同时作用·拉（压）与弯曲的组合不通过截面形心的纵向力，即偏心拉伸与压缩第70页，共81页。一、轴向力与横向力同时作用引起的弯拉（压）组合1.内力与应力的计算轴向力横向力（对实心截面引起切应力很小，忽略）第71页，共81页。2.最大正应力与强度条件轴力为拉力