演示文稿曲线的参数方程

（优选）曲线的参数方程ppt讲解目前一页\总数五十四页\编于十六点1.参数方程的概念目前二页\总数五十四页\编于十六点1、参数方程的概念：

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？？救援点投放点目前三页\总数五十四页\编于十六点1、参数方程的概念：xy

Ao设飞机在点A将物资投出机舱，记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资的位置为M(x,y).则x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度。

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这个平面的交线，y轴经过点A.由于水平位移量x与高度y是两种不同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足的关系式并不容易。目前四页\总数五十四页\编于十六点1、参数方程的概念：xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速度为100m/s的匀速直线运动；

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？（2）沿oy反方向作自由落体运动。目前五页\总数五十四页\编于十六点xy500o1、参数方程的概念：

如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？目前六页\总数五十四页\编于十六点一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。目前七页\总数五十四页\编于十六点（2）并且对于t的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。关于参数几点说明：

参数是联系变数x,y的桥梁,1、参数方程的概念：

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数1.参数方程中参数可以有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围目前八页\总数五十四页\编于十六点一架救援飞机以100m/s的速度作水平直线飞行.在离灾区指定目标1000m时投放救援物资（不计空气阻力,重力加速g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到1m）变式:目前九页\总数五十四页\编于十六点例1:已知曲线C的参数方程是（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,因此M1在曲线C上。把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，因此M2不在曲线C上。（2）因为M3（6，a)在曲线C上。解得：t=2,a=9∴a=9目前十页\总数五十四页\编于十六点2、方程所表示的曲线上一点的坐标是（

）A、（2，7）；B、C、D、（1，0）1、曲线与x轴的交点坐标是()A、（1，4）；B、C、D、BD训练1：目前十一页\总数五十四页\编于十六点已知曲线C的参数方程是

点M(5,4)在该曲线上.（1）求常数a;

（2）求曲线C的普通方程.解:(1)由题意可知:1+2t=5at2=4解得:a=1t=2∴a=1(2)由已知及(1)可得,曲线C的方程为:x=1+2t

y=t2由第一个方程得:代入第二个方程得:训练2：目前十二页\总数五十四页\编于十六点思考题：动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程。解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得所以，点M的轨迹参数方程为参数方程求法:（1）建立直角坐标系,设曲线上任一点P坐标为(x,y)（2）选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义,

建立点P坐标与参数的函数式（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程目前十三页\总数五十四页\编于十六点小结：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数

（2）并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。目前十四页\总数五十四页\编于十六点2.圆的参数方程目前十五页\总数五十四页\编于十六点yxorM(x,y)目前十六页\总数五十四页\编于十六点yxorM(x,y)目前十七页\总数五十四页\编于十六点①并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点P(x,y),都在圆O上.

5o思考1：圆心为原点，半径为r的圆的参数方程？我们把方程组①叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，是参数.目前十八页\总数五十四页\编于十六点(a,b)r目前十九页\总数五十四页\编于十六点圆的参数方程的一般形式圆心为原点，半径为r的圆的参数方程：目前二十页\总数五十四页\编于十六点由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。目前二十一页\总数五十四页\编于十六点x2+y2=r2注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。

2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。目前二十二页\总数五十四页\编于十六点例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQ目前二十三页\总数五十四页\编于十六点例2如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。思考：这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么曲线？如果定点Q在圆O内，轨迹又是什么？目前二十四页\总数五十四页\编于十六点3.参数方程和普通方程的互化目前二十五页\总数五十四页\编于十六点目前二十六页\总数五十四页\编于十六点3.参数方程和普通方程的互化：（1）普通方程化为参数方程需要引入参数如：①直线L的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程（t为参数）②在普通方程xy=1中，令x=tan,可以化为参数方程

（为参数）目前二十七页\总数五十四页\编于十六点（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程如：①参数方程消去参数可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.②参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x≥0）注意：

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.目前二十八页\总数五十四页\编于十六点yxo(1,1)类型一：参数方程化为普通方程代入消元法目前二十九页\总数五十四页\编于十六点xoy类型一：参数方程化为普通方程三角变换消元法目前三十页\总数五十四页\编于十六点步骤：1、消掉参数(代入消元，三角变形，配方消元)2、写出定义域（x的范围）参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意：目前三十一页\总数五十四页\编于十六点练习：参数方程表示（）（A）双曲线的一支，这支过点（1，）：（B）抛物线的一部分，这部分过（1，）；（C）双曲线的一支，这支过点（–1，）；（D）抛物线的一部分，这部分过（–1，）B目前三十二页\总数五十四页\编于十六点分析一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解x2==1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线。

，又0<<2，故应选（B）说明:这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。目前三十三页\总数五十四页\编于十六点类型二：普通方程化为参数方程1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？请同学们自学课本例4，思考并讨论：目前三十四页\总数五十四页\编于十六点目前三十五页\总数五十四页\编于十六点注：本题两个参数方程和起来才是椭圆的参数方程。目前三十六页\总数五十四页\编于十六点1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？两个解的范围一样只取一个；不一样时，两个都要取.无限个思考并讨论：目前三十七页\总数五十四页\编于十六点1.已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为(θ为参数)练习：目前三十八页\总数五十四页\编于十六点x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.2、曲线y=x2的一种参数方程是（）.

注意：

在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:发生了变化，因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都而在Ｄ中，且以目前三十九页\总数五十四页\编于十六点将下列参数方程化为普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步骤：（1）消参；（2）求定义域。练习：目前四十页\总数五十四页\编于十六点练习：将下列参数方程化为普通方程：目前四十一页\总数五十四页\编于十六点（）D练习：目前四十二页\总数五十四页\编于十六点（2，1）A.36B.6C.26D.25（）A练习：目前四十三页\总数五十四页\编于十六点练习：(2,0),(0,2)D目前四十四页\总数五十四页\编于十六点-6练习：a>-2目前四十五页\总数五十四页\编于十六点例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2

的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ）（1）x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2

=14+4sinθ+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).(其中tanψ=3/2)∴x2+y2

的最大值为14+2，最小值为14-2。目前四十六页\总数五十四页\编于十六点(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）∴x+y的最大值为5+，最小值为5-。(3)显然当sin（θ+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。例3、