北京市大兴区2022-2023学年数学高三上期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

注意事项：

1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填

涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处”。2.作答选

择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必

须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案,

然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题

卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）

即

80

70

60

50

40

30

20

10

°I2344567K9101112JI

A.月收入的极差为60B.7月份的利润最大

C.这12个月利润的中位数与众数均为30D.这一年的总利润超过400万元

2.已知贝!J“直线ax+2y_]=0与直线（a+l）x-2"+1=0垂直”是“。=3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

3.下列说法正确的是（）

A."若。>1,则a>1”的否命题是"若a>1,则a2<l"

B.在△4BC中，“力〉B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件

7C

C.“若tanaHl,则aw—”是真命题

4

D.存在G（-oo,0）,使得25<3%成立

4.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1）,充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数

学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某

骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太

阳光线）的夹角等于黄赤交角.

元.•南

图1

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表:

黄赤交角23°41,23°57,24。13，24。28'24。44，

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是（）

A.公元前200（）年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前600（）年

2

5.设i为虚数单位，则复数Z=L在复平面内对应的点位于（）

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱ABCO-A8C0中，p是上底面ABC。上的动点.给出

11111111

以下四个结论中，正确的个数是（）

①与点。距离为3的点p形成一条曲线，则该曲线的长度是Z-

②DPII面ACB,则OP与面ACCA所成角的正切值取值范围是

111

③若OP=JT,则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为6

A.0B.1C.2D.3

7.已知m,n为异面直线，m_L平面a,n_L平面直线1满足1J_m,1_Ln,则

（）

A.a//p且/〃aB.a_L0且/±p

C.a与p相交，且交线垂直于/D.a与p相交，且交线平行于/

若人=!_（〃）,则数列布｝的最大值是（）

8.在等差数列〃｝中，a=_5,a+a+a=9,eN*

n2567nan

n

1

A.—3B.--

3

C.lD.3

9.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2,。，h,且2a+b=则

2

此三棱锥外接球表面积的最小值为（)

1721

A.nnC.4兀5兀

4-4-

10.已知a是第二象限的角，tan（兀+a）=一，则sin2a=()

4

121224_24

A.B.-

煞

11.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）

D.3兀

12.下列四个图象可能是函数y=51og31x+ll图象的是（)

——=^44——

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

71

13.已知平面向量3，5的夹角为一，£=(、后」)，且|£一石|=、「，则|3|=

3

14.若奇函数/(X)满足/(X+2)=—/(x),g(x)为R上的单调函数，对任意实数XeR都有g[g(x)—2x+2]=1,

当时，/(x)=g(x),则/(log12)=.

2

15.在平面直角坐标系xQy中，A,B为x轴正半轴上的两个动点，P(异于原点。)为y轴上的一个定点.若以AB

为直径的圆与圆X2+&-2)2=1相外切，且N4PB的大小恒为定值，则线段0P的长为.

16.已知抛物线C：=4x,点P为抛物线C上一动点，过点P作圆“：&-3)2+产=4的切线，切点分别为4B,

J/2

则线段AB长度的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设不等式—2<卜—1|-^+2|<0的解集为乂，a,beM.

11人1

(D证明：_；

364

(2)比较|『4a『与2|”」的大小,并说明理由.

18.(12分)已知/(x)=x3+3ax2+bx+a2(a>l)的图象在x=-l处的切线方程为y=O.

(1)求常数4匕的值；

(2)若方程/(x)=c在区间[-4,1]上有两个不同的实根，求实数c的值.

19.(12分)已知函数/(x)=l+2x-±-6alnx存在一个极大值点和一个极小值点.

X

(1)求实数Q的取值范围；

⑵若函数/(X)的极大值点和极小值点分别为X和X,且/(x)+/(x)<2-6e,求实数a的取值范围.(e是自

1212

然对数的底数)

20.(12分)数列，满足。+2。+3。+..・+〃Q=2-------.

nI23"2n

⑴求数列3｝的通项公式；

n

2

⑵用b=/____网、T为｛"｝1〈

"Yn的前n项和，求证：n

21.(12分)ft东省202()年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的

3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的

3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、

数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来

划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、二

-+、-、-+、-、-+、-、一共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为：%、-。八万为、，4%、

*加%、-%、3%•等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，

分别转换到91-100,81-90,71-80,61-70,51-60、41-50,31-40,21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.

举例说明.

某同学化学学科原始分为65分，该学科：+等级的原始分分布区间为58〜69,则该同学化学学科的原始成绩属二+等

级.而二十等级的转换分区间为61〜70,那么该同学化学学科的转换分为：

设该同学化学科的转换等级分为二So_f5-0,-,求得二Pdd."J.

四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.

（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩

基本服从正态分布二~二

（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级九+,其所在原始分分布区间为82〜93,求小明转换后的

物理成绩；

（ii）求物理原始分在区间（'2&O的人数；

（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间加］的人数，求中分布

列和数学期望.

（附：若随机变量二~二（二二’），则二（二-二〈二<二+二艘，二（二-2二〈二〈二+2二）=。第4,

二仁一3二〈二〈二+3二）=0,9"）

22.（10分）如图，已知四棱锥P-/BCD,P/工平面/BCD,底面/BCD为矩形，ZB=3,/P=4,E为PD的

中点，AE1PC.

(1)求线段A。的长.

(2)若M为线段BC上一点，且BM=1,求二面角M-PD—A的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、

D

【解析】

直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.

【详解】

由图可知月收入的极差为90-30=60,故选项A正确；

1至12月份的利润分别为20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利润最高，故选项B正确；

易求得总利润为380万元，众数为30,中位数为30,故选项C正确，选项D错误.

嬲：D.

【点睛】

本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.

2、B

【解析】

由两直线垂直求得则。=0或。=3,再根据充要条件的判定方法，即可求解.

【详解】

由题意，“竣ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+1=0垂直”

贝!]“(4+1)+2*(—2句=0,解得。=0或。=3,

所以“直线6+2y-1=0与直线(以+1比一2砂+1=0垂直，，是“。=3”的必要不充分条件，故选以

【点睛】

本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得。的值，同时熟

记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

3、C

【解析】A：

否命题既否条件又否结论，故A错.B：

由正弦定理和边角关系可判断B错.C：

可判断其逆否命题的真假，C正确.D：

根据塞函数的性质判断D错.

【详解】

解：A：“若a>l,则a>1”的否命题是“若a«1,贝!Ia2«l”，故A错.

B：在中，4>Boa>b=2RsinA>2RsinB,故“4>B”是“sin/>sinB”成立的必要充分条件，故B

错.

兀7C,

C：“若tanaHl,则aw_"0“若。=一则tana=l”，故c正确.

44

D：由幕函数》=乂〃(“<0)在(0，+8)递减，故D错.

故选：C

【点睛】

考查判断命题的真假，是基础题.

4、D

【解析】

先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交

角，即可得到正确选项.

【详解】

解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为春秋分日光与垂直线夹角为0,

则a-p即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，

将图3近似画出如下平面几何图形：

贝!]tana=—=1.6,tanP=———=0.66,

1010

tan(a-P)=tana-tan」=L6-0.66，0.457.

1+tan<^*tanB1+1.6x0.66

V0.455<0.457<0.461,

估计该骨笛的大致年代早于公元前6000

年.故选：

【点睛】

本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数

学运算能力，属中档题.

5、A

【解析】

利用复数的除法运算化简Z,求得Z对应的坐标，由此判断对应点所在象限.

【详解】

22（1+i）

•1=口="次卬0=1+，，二对应的点的坐标为",1人位于第一象限.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.

6、C

【解析】

①与点。距离为*的点尸形成以力为圆心，半径为点的!圆弧MN,利用弧长公式，可得结论；②当P在A（或

141

C）时，0P与面ACCA所成角NOA。（或NDCO）的正切值为歪最小，当P在。时，QP与面ACCA所成角

1

11111311

NOR。的正切值为夜最大，可得正切值取值范围是咚,如；③设P（x,y,1）,则x2+y2+1=3,即X2+*=2,

可得DP在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和.

【详解】

如图：

①错误，因为?PyDP2-DD：=-12=成，与点。距离为用的点尸形成以J为圆心，半径为夜的

11FT

一圆弧MN,长度为_-2n•/=在兀；

442

②正确，因为面AOC"面ACB,所以点P必须在面对角线AC上运动，当P在A（或C）时，0P与面ACCA

111111111

所成角NZM。（或NOC。）的正切值为五最小（。为下底面面对角线的交点），当尸在。时，0P与面ACCA

44C111

所成角NO。。的正切值为2磨，所以正切值取值范围是|尤,0|；

③正确，设P（x,y,D,贝！］X2+'2+1=3,即X2+y2=2,OP在前后、左右、上下面上的正投影长分别为02+1,

（（iy~+1+A-+1、

"x2+l,正+",所以六个面上的正投影长度之2出2+1+Jx2+1+0---------+衣厂6户,

当且仅当P在。］时取等号.

㈱：C.

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难

题.7、D

【解析】

试题分析：由血,平面a,直线/满足/,且/Za,所以///a,又n,平面P,，所以〃/。，由直

线m,n为异面直线，且血，平面a,〃上平面p,则a与「相交，否则，若a//p则推出血//〃，与异面矛盾，

所以a.B相交，且交线平行于/,故选D.

考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推

论.8、D

【解析】

在等差数列｛。｝中，利用已知可求得通项公式a=2n-9,进而b=3=3，借助/（x）=3函数的的单调性

n««a2n-92x-9

n

可知，当〃=5时，b取最大即可求得结果.

n

【详解】

Q

因为a+a+a-9,所以3a=9,即a=3,又。=_§,所以公差d=2,所以a=2“一9,即b=-----，因

567662n"2〃-9

为函数/(X)=_____'在X<4.5时,单调递减,且/(x)<。；在x>4.5时,单调递减'且/(x)〉o.所以数列"｝

2x-93n

的最大值是b,且b=”3,所以数列｛b｝的最大值是3.

551n

故选:D.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题，难度较易.9、

B

【解析】

根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得

到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值.

【详解】

由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体ABCD-ABCO的四个顶点，即为三棱锥4-CB0,且

111111

长方体4BCD—4BC0的长、宽、高分别为2,a,b,

.•.此三棱锥的外接球即为长方体ABCD-ABCD的外接球,

且球蟀为R=山2+。2+拉=平+a2+b2,

22

(]4+c?2+.2¥()21兀

...三棱锥外接球表面积为4兀|J|=兀4+a2+b2=57i(a-1>+,

【一2一J―

121

.•.当且仅当a=1,bL=时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为兀.

2T

龌B.

【点睛】

(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆

面起衬托作用.

(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通

过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问

题.10、D

【解析】

利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出COS2a,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.

【详解】

3

因为tan（兀+cc）=,

4

3

由诱导公式可得,tana=sina=一,

coset4

3

即sma=-_cosoc,

4

因为sin2a+cos2a=1,

16

所以COS2a=_,

25

由二倍角的正弦公式可得，

3

sin2a=2sinacosot=-_cos2a,

所以sin2a=-fx_24

22525,

故选:D

【点睛】

本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档

题.

11、A

【解析】

由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1,圆柱的底面半

径为1,高为1.再由球与圆柱体积公式求解.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱,

半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.

145兀

贝!I几何体的体积为V=-x—兀X13+兀X12xl=---

233

故选：A.

【点睛】

本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水

平.12、C

【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由y=的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，因为y=51ogJxi为

XX

奇函数，即可得到函数图象关于(-1,0)对称，即可排除A、D,再根据X>o时函数值，排除8,即可得解.

【详解】

...尸51ogJx+ll的定义域为{x|x。-1},

X+1

510g|x|

其图象可由y=’的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，

X

_v=51og」x|为奇函数,图象关于原点对称，

X

...片51og,lx+ll的图象关于点(-1,0)成中心对称.

x+1

可排除A、D项.

当x>0时，y=51og；lx+11>Q>，吕项不正确.

X+1

故选：C

【点睛】

本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

根据平面向量模的定义先由坐标求得f|,再根据平面向量数量积定义求得f/T；将「,根简并代入即可求得IbI.

【详解】

£=(的,1),则同=«底)+12=2,

平面向量W,厅的夹角为2,则由平面向量数量积定义可得=

根据平面向量模的求法可知4=防一2£石+1=0,

代入可得J_2/d0=小,

解得啊=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.

1

14、

3

【解析】

根据/(x+2)=—/(x)可得函数/(x)是以4为周期的函数，令g(x)-2*+2=k,可求g(x)=2x—l,从而可得

/(x)=g(x)=2x—1,/(log12)=-/(2-log3)代入解析式即可求解.

22

【详解】

令g(x)-2*+2=k,贝[jg(x)=k+2*—2,

由g[g(x)-2x+2]=1,贝！]g(k)=l,

所以g(k)=k+2k-2=1,解得k=l,

所以9(x)=2x—1,

由xe[o,l]时,/(x)=g(x),

所以xehj]时，/(x)=2x-l.

由/(x+2)=-/(x),所以/(x+4)=-/(x+2)=/(x),

所以函数/(X)是以4为周期的函数，

/(log12)=/(log3+log4)=/(log3+2)=/(log3-2),

22222

又函数/(x)为奇函数，

所以/(log12)=—/(2—log3)=-[22-1。喏-1]=一g

故答案为：-J

3

【点睛】

本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.

15、$

【解析】

分析：设O(a,0),圆O的半径为r(变量)，OP=t(常数)，利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x?+

22

(y-2)产1相外切.且NAPB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长.

详解：设O(a,0),圆O的半径为r(变量)，OP=t(常数)，贝!|

22

a-ra+r

tanNOPA=------,tanZ.OPB=------,

tt

a+ra-r

.,.tanZAPB="y_2rt

,ai-r2ti+ai-n

1+----------

t2

：J/2+4=1+1],

ai=(%1)2-4,

.-.tanZAPB=2rt=2t

£2+2-3"-3+2

r

VZAPB的大小恒为定值，

，t=G，IOPI=G

故答案为赤

点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档

题.[16^22,4)

【解析】

PM,易得M4,可得四边形的面积为—PM｝樽,耳4•曲，|

..21pAI7-

从而可得|AB|="句=4J一呼进而求出|尸”|的取值范围，可求得卜町的范围.

【详解】

如图，连接易得设4人处,吊8，28,「加工48,所以四边形PAM3的面积为:]且四

边形PAM8的面积为三角形PAM面积的两倍，所以:申-MA,|所以

华的胆三4

11\PM\\PM\d\PMf

当『叫最小时，内却最小，设点P(x,y),则|PM|=J(x-3)2+y2=Jx2-6x+9+4x='X2—2x+9,

所以当x=l时，||=V，贝!|.=4「r=2JT，

V

PMtin.「〔mm丫8

当点P(x,y)的横坐标x-+oo时，忸时|—+8,此时MB|-4,

因为随着|PM|的增大而增大，所以必回的取值范围为［2仓4).

故答案为：［2衣4).

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档

题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、⑴证明见解析；(2)11-4ab|>2la-bl.

【解析】

试题分析：

⑴首先求得集合M,然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论；

(2)利用平方做差的方法可证得|1.4液|>2廿%

试题解析：

(I)证明：记/(x)=|x-1|-|x+2|,

|f3>x4—2I11I

则f(x)=-2<x<l,所以解得」vxv」，故”=卜1,1).

ab1111111

所以，L+IS|a|+|b|<X+X=.

363632624

11

(II)由(I)得0Wa2<T0<b2<_

44

|1-4ab|2-4|a-±>|2=(1-8ajb+16a2b2)-4(a2-2ajb+Jb2)=4(a2-1)(b2-1)>0.

所以，|1-4ab|>2|a-b|.

fa-2

18、(1)〈；(2)c=0或c=4.

[8=9

【解析】

(1)求出尸(x),由，(-1)=0,/(-1)=0,建立“，人方程求解，即可求出结论;

(2)根据函数的单调区间，极值，做出函数在卜4,1]的图象，即可求解.

【详解】

(1)f'(x)=3x2+Qax+b,由题意知

3—1)=0(3-64+6=0

[汽―1)=01-1+3a-/?+a2=0，

解得("=1(舍去)或W=2.

[0=3[b=9

(2)当。=2力=9时，fr(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1)

故方程/'(x)=0有根，根为》=-3或x=-1,

X(-00,-3)-3(-3,-1)-1(-1,+00)

广⑴+0-0+

/(X)/极大值极小值

由表可见，当x=-1时，/⑴有极小值0.

由上表可知/W的减函数区间为(-3「1),

递增区间为(一叫一3),(-1.+OO).

因为/H)=0,/(-3)=4./(-1)=0,/(0)=4,

/⑴=20.由数形结合可得c=0或c=4.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.

19、(1)[4,+8)；⑵(e,+8).

【解析】

(1)首先对函数/Q)求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出a的取值范围：

⑵首先求出/G)+/(\)的值，再根据/G)+/(*)<2-6e求出实数a的取值范围.

【详解】

(1)函数/G)的定义域为是(0，+8),

2+2。6“2x2—6ax+2a

X2XX2

若/(x)有两个极值点，则方程2x2-6ax+2a=0一定有两个不等的正根，

设为x和x,且x<x,

1212

[△=36。2一16。>0彳

所以化+x=3〃>0解得

[，y

xx=a>0

12—

此时尸（x）=2（「）（》-尤2）,

X2

当0<x<x时，f'(x)>0,

1

当x<x<x时，r(x)<o,

12

当x〉x时，r(x)>o,

2

故X是极大值点，X是极小值点，

12/、

(4)

故实数3的取值范围是，+8.

6}

(2)由(1)知，X+X=3(7,XX=Q，

1212

则/(x)+/(x)=l+2x-e6alnx+l+2x6aInx

121]-122~2,

=2+2(x+x)-2a(x,+X,)_6Q。xx,

l2XX—12

12

=2+2x3a-2a"-6aIna=2-6aIna,

a

由f(x)+/(x)<2-6e,得2-6alna<2-6e,即alna>e,

12

令g(a)=alna[a>4],考虑到g(e)=elne=e,

(9j

所以aIna〉e可化为9(a)>g(e),

而g，(a)=l+lna〉l+lnf>l+ln1=O,

9e

所以八十肉，+：上为增函数，

6J

由g(a)>g(e),得a>e,

故实数a的取值范围是(e,+8).

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.

1

20、(1)a=_(2)证明见解析

"2〃

【解析】

(1)利用S与a的关系即可求解.

(2)利用裂项求和法即可求解.

【详解】

Q

W：(1)当〃=1时，a=2-

22

cn+2

n>2na=2-

9

又・・•当”=1时也成立，=

12〃+i+1J

1+—II1+___I/十，N++]N1"IT"

(2n人2"+l)

.-.T=2「一1+1-1++1一1]

«(2+122+122+123+12n+l2n+l+lJ

=2(1_1>2_2<2

[32n+l+1732n+l+13

【点睛