探索、开放、阅读类试题

一、探索、开放、阅读类试题精选

1、设a是大于1的实数，若a、—>生旦在数轴上对应的点分别记作A、B、C,则

33

A、B、C三点在数轴上自左至右的顺序是(C)(提示：可以取特殊值来解决，如当a=2时,

只有B才成立。)

A、C、B、AB、B、C、AC、A、B、CD、C、A、B

2、规定一种新的运算：aAb=ab—a—b+1>如344=3X4—3—4+1,请比较大小：

(-3)A44A(-3)o(提示：可直接将数字代入计算，也可将ab-a-b+l分解

成(a—l)(b—1)后再代入数字计算。)

3、观察下列分母有理化运算:

------产——1+y/~2,1——-y/2+V3,1——V3+V4,

1+V2V2+V3A/3+-\/4

利用上面的规律计算：

I」厂+……+,1,___|(1+V2OO3)(答案：2002)

U+V2V2+V3V2002+V2003)

।44-a2+lI1

4、已知：a+—=5,贝ij-a-----；------=?(提示：原式=a2+l+r=(a2+2+—)—

aaaa"

1

1=(a+-)92-1=24)

a

5、先化简再求值：—,其中a=—(提示：・.飞=2一8VI,

a-1a-a2+V3

a—l<0o原式=5。=

6、如果X?+3x—3=o,求代数式x'+3x2-3x+3的值。(分析：①用降次法,由已知x?=

3—3x,代入式子：②原式=x(x?+3x-3)+3。值=3。)

7、已知x、y是实数，且(x+y—与j2x—y+4互为相反数,求实数y*的负倒数。(提

示：由题意得(x+y—l)?+j2x—y+4=0,结果为一2。)

8、若m*+3m?—3m+k分解因式后有一个因式为(m+3),贝ljk=?(提示：由题意(m+

3)=0时，m3+3m2-3m+k=0..k=-9。)

——2m

9、若关于x的方程x二^=」一+2无解，则m的值是多少？（提示：一个分式方程要无

X—3X—3

解，即化成整式方程后的解是原方程的增根。整理化简原方程得x=4—m,据题意，x=4

-m的解是x=3,代入后解得m=l。）

10、若x+2y+3z=10,4x+3y+2z=15,贝ljx+y+z的值是多少？（提示：三个未知数两个

等式，x、y、z的值不唯一确定，不妨视其中一个字母为常数，解关于另外两个字母的方程

组，得乂=2,y=5—2z,.•・x+y+z=5。）

ax-2by=2.[3ax—5by=9—

11、已知关于x、y的两个方程组（八和具有相同的解，求a、b

[2x-y=l3x—y=11

,2x-y=70…ax—2by=2

的值。（提示：据题意，方程组1的解是方程组<,的解。解得前面

3x—y=11[3ax-5by=9

的方程组的解代入后面的方程组，再解得a=2,b=3。）

12、一元二次方程（m—l）x2+2mx+m+2=0有两个实数根，求m的取值范围。（提示：“一元

二次方程”意味着m—1W0,“两个实数根”意味着△'O。答案，mW2且m#l。）

13、设Xi、X2是x的方程/+px+q的两根，X|+l>X2+I是x的方程x?+qx+p的两根，

求p、q的值。（提示：利用根与系数的关系列出4个等式，代入化简求得p=-l,q=-3,

注意检验两方程是否都有实数根。）

14、已知方程x2+（2m+l）x+n?—2=0的两个实数根的平方和等于11,求m的值。（提示:

根据根与系数的关系和已知条件，解得研=1,m2=-3,分别代入△求值，舍去一3,故m

的值为loo）

15、已知关于x的方程x?+2（2—m）x+3—6m=0,①求证：无论m取什么实数，方程总有

实数根；②如果方程的两实根分别为治、X2,满足》=3X2,求实数m的值。

①证明：△=4（01+1产，...m无论取什么实数，（m+l）220,即△》（），.•.无论m取什

么实数，原方程总有两个实数根。

②提示：由①题可知，本题不要验证ml=0,m2=-4。

16、已知方程组｛:二年用①的两个解为｛.；；；｛蒿；且X1、X2是两个不等的正数。（1）

求a的取值范围；(2)若xj+x??—3x|X2=8a?—6a—11,求a的值。

⑴解：山②代入①得X?—x+a+l=0,t”]、X2是两个不等的正数，••・X1+X2=1,X]X2

A，3

=a+l>0,A=l—4a—4>0,解得一kav——。

4

222

(2)解：由(1)知xi+x2=l,X]X2=a+l,/.xi+x2—3XIX2=(X|+X2)—5X|X2=1—5a—5

73

=—5a—4oA8a2—6a—11=—5a—4,解得a=l或a=——。由⑴知一lva<——,Aa=

84

7

8

17、解方程：x2+-^-=3^+|j(提示：原方程可化为卜+：]2—4—3卜+：J=0,

设y=[x+2],注意要检验，x=2±V2o)

5—2x2—1(1)

18、知关于x的不等式组《一'无解，求a的取值范围。

X—a>0(2)

解：由⑴得xW3,由(,2)得x>a,若不等式组有解，贝Ua<xW3,即a<3。:•不等式无解,

；.a23。

2x<3(x-3)+l(1)

19、关于x的不等式组<3x+20、，有四个整数解，求a的取值范围。

--------->x+a(2)

I4

解：由⑴得x>8,由(2)得x<2—4a,组不等式组的解集是8<xV2-4a,1•不等式组有

四个整数解，；.12<2—4aW13,解得：一U<a<-*。

42

20>已知三个非负数a、b、c满足3a+2b+c=5和2a+b—3c=1,若m=3a+b—7c,求m的最

大值和最小值。(提示：方程或不等式中，如果未知数个数多于方程的个数，往往把其中

个或几个未知数看作常数。)

7c-320

3a+2b+c=5a=7c—3

解:解关于a、b的方程组<得，由题意得<7—11c20,

2a+b-3cb=7—11c

c>0

3751

解得一WcW—om=3a+b—7c=21c—9+7—11c—7c=3c—2,<m<—。

711711

4、某人将1,2,3,……，n这n个数输入电脑，求平均数，当他认为输入完毕时，电脑显

示只输入了n—1个数，平均数为35』，假设这n-l个数输入无误，问未输入的-一个数是

7

多少？

解：设未输入的数是k,则iWkWn,据题意得：

,_51+2+.......+n—k,l+2+.........+n—1n+2

35=W=Qq

<7n-1.,,J1-1,2,解得69士WnW71士，

51+2+.......+n—k、l+2+.........+n-nn77

35—=--------------------------->----------------------------=—

7n-1n-12

•・・35*是n—1个整数的平均数，・,・359x(n—1)的结果是整数，即(n—1)能被7整除。所

77

以n=71,此时k=56。

答：……。

21、满足(l-g)x>l+g的最大整数是多少？

解：VI-V3<0

••.X<上巧=匕28,...xv—2—所以最大整数是一4。

1-V32

22、正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且EF=AE+FC,DH_LEF于H,

求证：DH=DCo

(分析：由于EF=AE+FC,从而构造线段AE+FC是解决本题的关键。于是延长BC

至G,使CG=AE,连结DE、DF、DG。)

23、以aABC的三边作如图所示的三个正三角形4ACD、ZXABE、ABCF,连接DF、FE。

①判断四边形AEFD是什么四边形？为什么？

②当NBAC满足什么条件时，平行四边形ADFE为

矩形？

③当NBAC满足什么条件时，四边形ADFE不存

在？

④当4ABC分别满足什么条件时，平行四边形

ADFE是菱形、正方形？

分析：①AABC^ADFC,AB=DF,DF=AE,同理AD=EF,四边形AEFD为平行

四边形。②要平行四边形ADEF为矩形，则NDAE=90°,.♦.NBAC=150°时，平行四边形

ADFE为矩形。③四边形ADFE不存在，此时D、A、E三点共线，于是NBAC=60°。④

平行四边形ADFE为菱形时，必有AD=AE,此时AB=AC且NBAC#60°；平行四边形

ADFE为正方形时，它必是菱形又是矩形，此时AABC为顶角NBAC=150°的等腰三角形。

24、在直角梯形ABCD中，如果AD〃BC,ZB=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点E从

A处开始沿AD边以Icm/s的速度向D运动，动

点F从G点开始沿CB边以3cm/s的速度向B运

动。E、F分别从A、C同时出发，当其中一个点

到达端点时另一个点也随之停止运动。设运动时

间为3问当t为何值时四边形CDEF为：平行四

边形？等腰梯形？

分析：欲使四边形CDEF为平行四边形，必

须DE=CF,即AD-AE=CF,于是24—t=3t,

t=6o由于四边形CDEF为等腰梯形，则分别过E、D作EGJ_BC于G,DH_LBC于H,CF

=CH+HG+GF=2CH+GH=2CH+DE,CH=BC-BH=26—24=2,DE=AD-AE=24

-t,3t=4+24—t,得t=7。

D

25、菱形ABCD的边长为a,ZA=60°,E、F分别是边AD、DCF

卜一的动点（E、F异于菱形的顶点），且AE+CF=a。①E、F在A＜；\

移动时，Z\BEF形状如何？②求ABEF面积的最小值。

分析：①连结BD,：NA=60°,.1△ABD与4BCD都为等

边三角形，BD=BC,ZADB=ZC,AE+CF=a=AE+DE,

DE=CF,/.△BDE^ABCF,则BE=BF,/EBD=NFBC,；.NEBF=60°,于是ZkBEF

为正三角形。②•••△BEF为正三角形，...△BEF的面积则当其边长最短时面

4

积最小，又为动点，，当BE_LAD时，BE最短，即BE=——。ABEF的面积最小

2

值为噜•

26、把一个矩形剪去一个正方形，如果所剩矩形与原距形相似，则原矩形的短边与长边比为

多少？

分析：设原矩形的短边与长边分别为x和y,所剩矩形的短边与长边分别为y-x和x,

xyx-1±A/5

------——，——-----------y分别为短边、长边，工

y-xxy2

x口rX

0<-<1即一二

yy

27、矩形ABCD中，AB=5,BC=8,BC为。O的直径，P是AD上一动点（不运动到A、

D点），BP交。O于Q。⑴设BP=x,CQ=y,求y与x的函数关系式，并写出自变量的取

值范围。（2）当BP=CQ时，求aBQC与4PAB的面积比。

分析：（l）Z\ABPs/\QCB,y=40/x。当P与A重合时，BP最短，x=AB=5；当P与

D重合时，BP最长，X=BD=M，5<X<7§9»(2)由上小题得BPXCQ=40,.,.以CQ?

=40,则面积比=人82/（^2=5/8。

28、距某学校A点东240米的O点处有一货场，经过O点沿北偏西60°方向有一条公路OM,

假定运货车辆形成的噪音影响的范围在130米以内。（1）通过计算说明这条公路上车辆的噪

音必然对学校造成影响。（2）为了消除噪音对学校的影响，计划

在公路边修筑一段消间墙，请确定消间墙的位置并计算消音墙北

的长度（只考虑声音的直线传播）。

分析：（1）欲说明学校在噪音的影响范围内，只需说明学校

到的公路的最短距离小于噪音的影响半径，根据垂线段最短原-------1一

理，学校到公路的最短距离为点A到OM的垂线段的长。（2）

噪音的影响半径是130米，必须在公路上找到与学校距离为130米的两点，即以A为圆心,

130米为半径的圆与OM的交点，故OM上这两点间的部分即为消音墙所在的位置，这两点

间的距离即为消音墙的长度。

29、甲船在点O处发现乙船在北偏东60°的B处以每小时a海里的速度向北航行，甲船的

速度是每小时ga海里，问甲船应以什么方向航行

才能追上乙船。

分析：求甲船的航行方向，即求甲船的航线与

正北方向的夹角。如果将甲、乙两船的航线看作边

长，那么只要构造直角三角形就可角的度数。

解：设两船行驶t小时后在A处相遇，则BA=at,OA=Qat。延长AB交OM于C,

则ACJ_OM,VZNOB=60°,AZBOC=30°,设BC=b,则OC=gb。(V3at)2=

(at+b)2+(V3b)2,解得at=2b,；.OA=gat=2Qb,Z.cosZAOC=OC/OA=1/2,即/

AOC=60°,因此甲船的行驶方向应为北偏东30°o

30、某化工厂现有甲种原料290千克，乙种原料212千克，计划利用这两种原料生产A、B

两种产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5千克，乙种原料1.5千克，生产成本是

120元；生产一件B产品需要甲种原料2.5千克，乙种原料3.5千克，生产成本是200元。

(1)该化工厂现有原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案？请设计出来。(2)设生产

A、B两种产品的总成本为y元，其中一种的生产件数为x,试写出y与x的函数关系式，

并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方式方案总成本最低，最低生产总成本是多少。

解：(1)假设该厂现有原料能保证生产，且能生产A产品x件，则能生产B产品80—x

件，贝5x+2.5(80—x)W290,1.5x+3.5(80—x)W212,得34WxW36。山题意知，x应为整

数，故x=34或x=35或x=36。此时对应的80-x分别为46、45、44即该厂现有原料能

保证生产，可有三种生产方案：生产A、B产品分别为34件、46件；35件、45件；36件、

44件。(2)设生产A产品x件，生产B产品80—x件，据题意y=120x+200(80—x),当x

=34时，y=13280；当x=35时，y=13220；当x=36时，y=13120。故生产A、B产品

分别为36件、44件的方案成本最低，最低生产总成本为13120元。

31、随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童的数量有所减少，下表中的数据近似地呈

现了某地入学儿童人数的变化趋势。试用所学知识解决下列问题：(1)求入学儿童人数(人)

与年份(年)的函数关系式；(2)利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数

不超过1000人？

年份(X)200020012002......

入学儿童人数(y)252023302140......

(1)解法一：设丫=1«+1),由于直线丫=1«+1)过点(2000,2520)和点(2001,2330)

两点，故可代入函数解析式，求得设y=-190x+382520,又由于y=-190x+382520过点

(2002,2140),所以y=—190x+382520较好地描述了这一变化趋势，故所求函数解析式

为y=-190x+382520。解法二：设y=ax?+bx+c过点(2000,2520)和点(2001,2330)

及点(2002,2140)三点，求得y=-190x+382520。(2)设x年时，入学人数为1000人，

由题意得一190x+382520—1000,得x=2008。所以从2008年起入学儿童的人数不超过1000

人。

32、阅读下面材料，并解答下列问题：

在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：已知a和b,求N,这是乘方运算；

已知b和N,求a,这是开方运算。现在我们来研究第三种情况：已知a和N,求b,我们

把这种运算叫做对数运算。

定义：如果ab=N（a>0,aWl,N>0）,则b叫做以a为底N的对数，记作b=log2N。例

如：因为23=8,所以log28=3；因为23=1/8,所以log2_L=-3。

8

（1）根据定义计算：①10^81=4:②10酎3=1:③log31=0:如果logx18=4,

那么x=2；

（2）设aX=M,ay=N,贝ljlog,M=x,logaN=y（a>0,aHl,M、N均为正数）。Vax+ay

x+yx+y

=a,.\a=M+N,/.logaMN=x+y,却R）gaMN=logaM+k）gaN,这是对数运算的重要

性质之一,进一步地,我们可以得出：logaMiM2M3……Mn=lo%MJ+1O%M?+1O%M3+……

M

（其中Ml、M,、Ma均为正数，a>0,aWl）；log一=log,M~log.N（M、N

——aN一

均为正数，a>0,a#l）

33、阅读下面材料，并回答所提出问题。

三角形内角平分线性质定理:三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角原两

边对应成比例。

已知：如图，^ABC中，AD是角平分线。

BDAB

求证:

DCAC

证明：（略）（提示：本阅读题如未有证明过程，则要写

出证明过程。）

（1）上述证明过程中，用到了哪些定理？（写对两对即可）

答：证明过程中用到的定理有：①平行线的性质定理：两直线平行，同位角相等，内错

角相等；②等腰三角形的判定定理：在同一个在角形中，等角对等边；③平行线分线段成比

例定理（推论）：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。

（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？选出一个填在后面

的括号内（②转化思想）①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想。

（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题。已知：AABC中，AD是角平分线，AB=5cm,

AC=4cm,BC=7cm,求BD的长。

解：•••△ABC中，AD是角平分线，，处;丝，由已知一"一=』，ABD=—»

DCAC7-BO49

34、阅读下列材料：

卜六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数n来衡量一个国家和地区人民生

活水平的状况，它的计算公式为：

食品消费支出总额

n=X100%

消费支出总额

各类家庭的恩格尔系数如下表所示:

家庭类型贫困温饱小康富裕最富

nn>60%50%vnW60%40%vnW50%30%vn<40%nW30%

根据上述材料，解答下列问题:

某校初三学生对某乡的农民家庭进行抽样调查，从1997年至2002年间，该乡每户家庭

消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年

该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元。

(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元？

(2)设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为nm(rn为正整数)，请用m的代

数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数nm,并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的

恩格尔系数(百分号前保留整数)。

(3)按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活？该乡农民能否实现十六大提

出的2020年我国全面进入小康社会的目标？

X

解：(1)设平均每户家庭食品消费支出总额为x元，则版JX100%=60%,x=4800o

答：平均每户家庭食品消费支出总额为4800元。

4800+200/H

(2)nm=x100%om=2003—1997=6,代入公式得小心55%。

8000+500/W

⑶由480。+200〃?*]00%W50%,得m216,.•.2013年进入小康并能实现十六

8000+500m

大提出的目标。

35、已知关于x的方程也一1爪2+(21;—31+1£+1=0有两个不相等的实数根小、x2«

(1)求k的取值范围；

(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值，如果不存在，

说出理由。

1313

解：⑴-3)2—4(k—l)(k+l)＞0,解得匕一。...当k＜一时，方程有两个不相

1212

等的实数根。

(2)存在。

如果方程的两个实数根互为相反数,则X|+X2=——-=0,解得并检验得k=-o

k—\2

所以当k=巳3时，方程的两实数根XI与X2互为相反数。

2

当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写

出正确的答案。

答：有错误。

(1)中忽略了k—1W0的情况，当k—1=0时，方程为•元一次方程，只有一个实

数根。正确答案为：当k＜上13且k#l时，方程有两个不相等的实数根。

12

(2)中的实数k不存在，当k=32时，△=-6V0,方程没有实数根。正确答案为：

2

不存在实数使方程的两个实数根互为相反数。

36、由于水资源缺乏，B、C两地不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、

C之间铺设地下输水管道，为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽是缩

短，已知^ABC恰好是一个边长为a的等边三角

形，请设计如何铺设线路？次卒

设计了三种铺设方案：如图1、2、3,图中实/\/'\/j\

线表示管道铺设路线，在图2中，ADLBC于D,/…菌）CB，,2cB峰、

在图3中OA=OB=OC。''

解：图1中，AB+AC=2a,图2中AD+BC=（、一+l）a,图3中OA+OB+OC=Qa。

2

比较3数大小得知，选用图3的方案最佳。

37、以给定的图形“00、△△、="（两个圆、两个三角形、两条平

行线）为构件，构思出独特且有意义的图形。举例：如图，右图中是符

合要求的一个图形,你能构思出其它的图形吗？请在右框中画出与之不

解说词：两盆电灯

同的一个图形，并写出•句贴切、诙谐的解说词。

解：见右图。

两朵鲜花同性相斥异性相吸

38、如图，已知△ABC一个外星人老人的脸路灯

和aDEF,NA=NDA

=90°,且4ABC与4DEF不相似，问是否存在某种

直线分割，使4ABC所分割成的两个三角形与4DEF

所分割成的两个三角形分别对应相似？（1）如果存在，请你设计出分割方案，并给出证明;

如果不存在，请简要说明理由；（2）这样的分割是唯的吗？若还有，请再设计出一种。

解：（1）设NB>NE,则NC<NF,在NB的内部，

作/CBM=NE,在/F的内部NEFN=/C,则aBCM

^△EFN,且△ABMs/iDFN。（证明略）（2）这样的分

割不唯一，如：在NA的内部作/CAP=NE,则/BAP=/F,在/D的内部作/FDQ=N

B,则NDEQ=NC,所以△ABPsaFDQ,且△CAPs/\DEQ。

39、如图在平面上有且只有四个点，这四个点有一个独特的性质：每两A---------|B

个点之间的距离有且只有两种长度，如：正方形ABCD有AB=BC=CD

=DAWAC=BD,画出具有这样独特性质的另外四种不同图形，并标明口------

BD=BC=CDDB=DCACAD=DC=BC

40、已知：点C在线段AB上，以AC、CB为边向同侧作等边△ACM、ACNB,设△ACM

的边长为a,ACNB的边长为b,连结AN、BM交于点P,记

AN与CM的交点为E,BM与CN的交点为F,由上述条件

你能推出哪些结论？把上述条件作为已知，每一个结论作为求

证，编一道证明题，并且写出证明的过程。

解：结论有：①AM〃CN,MC〃BN；EF〃AB。②△CANg/XMCB,AN=BM；③4

AEC^AMFC,EC=FC：④Z\ECN丝ZXFCB；⑤ACEF是等边三角形；

CEab

证明略。ty

41、如图，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，C在y轴的正

半轴上，B点坐标为（8,4）,则过点（0,-2）且将矩形OABC的面ol/

积分成相等的两部分的直线的解析式是什么？

解：由中心对称图形的性质可知，过对称中心的直线将矩形的面积平分，即直线过点（0,

—2）和（4,2）,求得解析式为y=x—2。

42、已知：如图，AB是。。的直径，E是AB上的点，过点E作CG,

AB,F是直线CG上任意上点，连结AF交。O于D,连结DC、AC、

AGo⑴探索AC、AD、AF、DC、FC间关系;（2）若CD=12,AD=16,

AC=24,你能求出图中其它哪些线段？

解：（1）连结BD,与/FAB互余，NFAB与NB互余，/.Z

F=ZB,NF=/ACD,AAFCA^ACDA,DC：FC=AC：AF=

AD：AC,上述线段之间的关系有：①DC•AF=AC•FC；②AC?=AF•AD；③DC•AC

=FC•AD。

（2）①由DC•AC=FC•AD,得FC=18；②由AC2=AF・AD,得AF=36,所以DF

=20；③由垂径定理得AG=AC=24；④由△FDCsAFGA得，FG=40,所以CE=11；⑤

由勾股定理得AE=J布；⑥由三角形相似得（注意：木类题目答得越

455

多，挖掘得越深，得分越多。）

43、已知：如图，△ABC是（DO的内接三角形，AB=AC,P是匕々上任M

意一点，连结PA、PC,PA与直线BC相交于E,探索：（1）NP与NACB

的关系；线段AC、AE、PA的关系；（2）如果P在圆周上移动，以上结论是否仍然成立？

解：⑴：AB=AC,：.ABAC,.,.NP=NACB,VZCAP=ZEAC,.'△ACEs

44、如图，已知：A（0,6）>B（3,0）、C（2,0）、M（0,m）,其中m<6,以M为圆心，MC为半径

作圆，贝IJ：（1）当m为何值时？OM与直线AB相切？（2）当m=0时，OM与直线AB有怎

样的位置关系？当m=3时，OM与直线AB有怎样的位置关系？（3）由（2）验证的结果，你

是否得到启发，从而说出m在什么范围内取值时，0M与直线AB相离？相交？(第(2)(3)

题只需写出结果，不必写出过程。)

解：(1)作MH1AB于H,若。M与AB相切，则MH=MC=

2

/一;7日A3-但MHAMa„Vm+4

+4,且△AMHS^AB0,可得----=-----,即---------=

2OBAB3

—广，解得m=l或m=—4。经验证上述两种情况都成立。

3V5

(2)m=0时，(DM与直线相离；m=3时，G)M与直线相交。

(3)当一4Vm<1时，0M与直线AB相离；当m=l、-4时，0M与直线AB相切;

当l<m<6或m<-4时，0M与直线AB相交。

45、已知点M(p,q)在抛物线y-x2-l上，若以M为圆心的圆与x轴有两个交点A、B,

且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2-2px+q=0的两根，如图。(1)当M在抛物线上

运动时，圆M在x轴上截得的弦长是否变化？为什么？(2)当圆心M与x轴的两个交点和抛

物线的顶点C构成等腰三角形，试求p、q的值。

解：⑴设A、B两点的横坐标分别是X|、X2，则X|+X2=

22

2p,xiX2=q，则AB=IX|—x2I--x2)-p-q；

由点M(p,q)在抛物线y=x2-l上，得q=p2-l。所以AB=2,

即M在x轴上截得的弦长不变。

(2)①情形一，当圆心移动动到抛物

线顶点C时，：CA=CB,由p=0和q=p2-l,得q=-l。

②情形二，当圆心移动动到第三

象限时，AB=BC=2,在直角三角

形OBC中，0C=l,BC=2,求得

0B=5p=-(AB/2+0B)=

—1—,q=p2—1—3+25/3o

③情形三，当圆心移动动到第一象限时，AB=AC=2,与上

述类同，p=1+V3,q=3+2-V3o

④情形四(图略)，当圆心移动动到第四象限时.，p=g—l,

q=3-2V3。

⑤情形五(图略)，当圆心移动动到第三象限时，p=V3+1,q=3-2V30

46>已知：关于x的二次函数y=(c—a)x?-2j^bx+c+a,其中a、b、c是一三角形的三

边，且/C=90°,(1)求证：二次函数的图象与x轴必有两个不同的交点；(2)如果A(x”0)、

B(X2,0)是上述图象和X轴的两交点，且满足X，+X22=12,求a：b：c；(3)已知n为大于1

的自然数，设二次函数图象的顶点为C,连接AC、BC,点A”A2,……，An-1,把AC

分成n等分，过各分点作x轴的平行线，分别交BC于B”B2,……,Bn,,求线段A|B|,

A2B2,……，AiBn-i的和。(可用含n的式子来表示)(据题意可画出草图)

解：(l)；/C=90°,；.c2=a2+b2,A=4b2+4(a2+b2-c2)=4b2>0,所以抛物线与x

轴必有两个不同的交点。

,,141bc+a,,,一加

(2)山x]+X2=，x]X2~~，x]7+X2=12,c9=a+b,nJ得'-a：b：c~1：

c-a~c-a

2V2：3。

I2〃]

(3)由相似形的性质可知,AB=-AB,AB=-AB,...A-,B-i=---AB,

I1n22nnnn

n-\VA2b

则AB+AB+……+An-1Bn]=----AB,又AB=-----=-----,AA|B1+A2B2+

II222c-ac-a

h(n-l)

+A-iB-i=

nnc-a

二、中考试题精选

A.<1>和<2>B.<2>和<3>C.<2>和<4>D.<1>和<4>

2、二次函数y=a/+〃x+c的图象如图所示，则下列结论正确的是(D)

A.a>0,b<0,c>0B.a<0,b<0,c>0

C.a>0,b>0,c>0D.a<0,b>0,c>0

3、如图，把AA8C纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE

内部时，则NA与Nl+Z2之间有一种数量关系始终保持不

变，请试着找找这个规律，你发现的规律是(B)

A.ZL4=Z1+Z2B.2NA=N1+N2

C.3ZA=2Z1+Z2D.3ZA=2(Z1+Z2)

4、甲、乙两同学约定游泳比赛规则：甲先游自由泳到泳道中点后改为蛙泳，而乙则是先游

蛙泳到泳道中点后改为自由泳，两人同时从泳道起点出发，最后两人同时游到冰道终点。又

知甲游自由泳比乙游自由泳速度快，并且二人自由泳均比蛙泳速度快，若某人离开泳道起点

的距离s与所用时间t的函数关系可用图象表示，则下列选项中正确的是(C)

C.甲是图<1>,乙是图<4>D.甲是图<3>,乙是图<4>

5、已知：如图，点A在y轴上，0A与x轴交于B、C两

点，与y轴交于点D(0,3)和点E(0,-1),

(1)求经过B、E、C三点的二次函数的解析式；

(2)若经过第一、二、三象限的一动直线切。A于点P

(s,t),与x轴交于点M,连结PA并延长与。A交于点Q,

设Q点的纵坐标为y,求y关于t的函数关系式，并观察图

形写出自变量t的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当y=0时，求切线PM的解

析式，并借助函数图象，求出(1)中抛物线在切线

PM下方的点的横坐标x的取值范围。

解：(1)解法一：连结AC,「DE为。A的直径,

DEUBC,：.BO=CO»又；D(0,3),E(0,-1),

；.DE=I3-(-1)I=4,OE=1,AO=1,AC=DE/2

=2。在直角三角形AOC中，AC2=AO2+OCS

0C=V3,C(60),B(一6，0)»设经过B、E、

C三点的抛物线的解析式为y=a(x-V3)(x+V3),

则-l=a(0-g)(0+g),解得。=；,；♦y=—(x_+V3)=—_1

解法二：•••DE为。A的直径，DEA.BC,

；.BO=CO,OC2=OD-OE,又：D(0,3),

E(0,-1),ADO=3,OE=1,Z.OC2=3XI

=3,OC=6，C(60),B(-V3,0),

以下同解法一。

(2)过点P作PEJj轴于F,过点Q作

QN_Ly轴于N。.•.NPFA=NQNA=90°,F点

的纵坐标为t,N点的纵坐标为yoVZPAF=ZQAN,PA=QA,.;△PFAg△QNA,FA

=NA。又AO=1,；.A(0,1),It-1I=I1-yI。\•动切线PM经过第一、二、三象限,

观察图形可得l<f<3,；.t—1=1—y,即了=7+2,.・.y关于t的函数关

系式为y=~t+2(1<f<3)。

(3)当y=0时，Q点与C点重合，连结PB。

「PC为。A的直径

/./PBC=90°

即尸8”轴

/.s=-V3

将y=0代入y=-1+2(1Vt<3=,得0=—和+2,

：.t=2,.,.P(-V3,2)。设切线PM与y轴交于点I,则

AP1PI

ZAPI=90°

在A4P/与A4OC中

APAl

■：ZAP1=ZAOC=90°,ZPAI=ZOAC..,.AAPI-AAOC,A--=——，即

AOAC

2/l=AI/2。.,.AI=4,OI=5o点坐标为(0,5)。

设切线PM的解析式为y=kx+5(k=0)

•JP点的坐标为(一2),.*.2=—V3k+5,

解得人=百

J.切线PM的解析式为y=岳+5

设切线PM与抛物线