数值计算课后习题四答案

习题四解答

1、设，写出的一次插值多项式，并估计插值误差。

解：根据已知条件，有

x01

y1

设插值函数为，由插值条件，建立线性方程组为

解之得

则

因为

所以，插值余项为

所以

0

2、给定函数表

-0.10.30.71.1

0.9950.9950.7650.454

选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)o

解：设三次插值多项式为，由插值条件，建立方程组为

即

解之得

则所求的三次多项式为。

所以

3、设是n+1个互异节点，证明:

(1);

(2)。

证明:(1)由拉格朗日插值定理，以x0,x1,x2,…xn为插值节点，对y=f(x)=xk作n

次插值，插值多项式为

而yi=xik,

所以

同时，插值余项

所以

结论得证。

(2)取函数

对此函数取节点，则对应的插值多项式为

由余项公式，得

所以

令t=x,

4、给定数据()

x2.02.12.22.4

f(x)1.4142141.4491381.483201.54919

(1)试用线性插值计算f(2.3)的近似值，并估计误差；

(2)试用二次Newton插值多项式计算f(2.15)的近似值，并估计误差。

解：用线性插值计算f(2.3),取插值节点为2.2和2.4,则相应的线性插值多项式是

用x=2.3代入，得

(2)作差商表如下

Xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商

2.01.414214

0.3501

2.11.449138-0.047

0.34074.1075

2.21.483201.596

0.6599

2.41.54919

根据定理2,

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+

+f[x0,x1,…，xn](x-x0)(x-x1)--(x-xn—1)

+f[x0.x1,…，xn,x]兀(x)o

以表中的上方一斜行中的数为系数，得

f(2.15)=1.41421+0.3501X(2.15-2.0)-0.047X(2.15-2.0)X(2.15-2.1)

=1.663725

指出：

误差未讨论。

5、给定函数表

x01245

y01646880

试求各阶差商，并写出牛顿插值多项式和插值余项。

解：作差商表如下

xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商

00

16

1167

30

246-3

21

488

-88

50

根据定理2,以表中的上方一斜行中的数为系数，得

指出：

余项未讨论。

5*、给定函数表

x01234

y01646880

试求各阶差分，并求等距节点插值。

解：由已知条件，显然，xO=0,h=1,x=t(>

作差分如下

Xf(x)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分

00

16

11614

30-2

24612-140

42-142

488-130

-88

50

根据等距节点插值公式,

指出：

在本题这种情况卜，实际上，也就是说，在这样的条件下,t的多项式就是x的多项式，可

以直接转换。

一般情况下，把t的关系转换为X的关系需要根据x=xO+th,将t用x表示，即将代

入得到的多项式。

6、给定数据表

x0.1250.2500.3750.5000.6250.750

f(x)0.796180.773340.743710.704130.65632

0.60228

试用三次牛顿差分插值公式计算f(0.1581)及f(0.636)。

解：所给节点是等距结点：

O

计算差分得

Xf(x)一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分五阶差分

0.1250.79618

-0.02284

0.2500.77334-0.00679

-0.02963-0.00316

0.3750.74371-0.009950.00488

-0.039580.00172-0.00460

0.5000.70413-0.008230.00028

-0.047810.00200

0.6250.65632-0.00623

-0.05404

0.7500.60228

令，根据等距结点插值公式，得

则

O

7、设f(x)在［-4,4］有连续的4阶导数，且

(1)试构造一个次数最低的插值多项式p(x),使其满足

(2)给出并证明余项f(x)-p(x)的表达式。

解:

(1)由7*可以求出满足

的三次埃尔米特插值多项式

O

设，则P(x)满足

由得

所以

O

(2)余项具有如卜结构

作辅助函数

则显然在点处有6个零点(其中0,3是二重零点)，即

不妨假设。

由罗尔定理，存在，

使得，

再注意到，即有5个互异的零点

再次由罗尔定理得，存在，

使得

第三次应用罗尔定理得，存在

使得，

第四次应用罗尔定理得，存在

使得，

第五次应用罗尔定理得，存在

使得

注意到

（中p⑴是4次函数，其5次导数为0）。

所以

代入余项表达式，有

指出：

本题是非标准插值问题，比较简单的求解方法有：

①求插值问题的基本方法是待定系数法。以本题来说，有5个条件，可以确定一个4

次的插值多项式，设为，将条件代入，建立一个5元的线性方程组，求出各参数，就

可以求出插值多项式。

②求插值问题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的结构和各

基函数的结构，根据条件确定基函数即可。具体方法与拉格朗日插值基函数构造和埃

尔米特插值基函数构造相似。

③以标准插值为基础的方法是一种更简单的方法，本题中，首先利用4个条件构造一

个埃尔米特插值，在此基础上设定所求插值多项式的一般形式，保证其满足埃尔米特

插值条件，代入未利用条件解方程（组），求出其中的未知参数，即可求出插值多项

式。

本题也可以先利用构造一个2次插值多项式，以此为基础构造4次插值多项式，的

结构是

满足

再根据列出两个线性方程组成的方程组，求出a、b两个参数，即可求出所求的插值

多项式。

求插值函数余项的常用方法是：

应具有如下形式（以本题为例）

作辅助函数

则在点处有6个零点（其中0,3是二重零点）。反复应用罗尔定理，直到至少有一

个，使得。此时即有

代入余项表达式即可求出。

7*、设f(X)在卜4,4］有连续的4阶导数，且

试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式H(x),使其满足

0

解一(待定系数法)：

解：设，则

由插值条件得

解之得，

所以。

解二(基函数法)：

解：设，

因为线性拉格朗日插值基函数为，，

由④得

同理

由⑤得

则

O

8、设，试作一个二次多项式p(x),使其满足

,并导出余项估计式。

解：设此二次式为，

因为，

所以，由已知条件

将其代入，得

所以，要求的二次多项式为

O

因为0是2重零点，1是1重零点，因此可以设余项具有如下形式:

其中K(x)为待定函数。

固定x,作辅助函数

显然

不妨假设。

由罗尔定理，存在，

使得，

再注意到

再次由罗尔定理得，存在，

使得

再次应用罗尔定理，存在

使得

O

注意到

(中p⑴是2次函数，其3次导数为0)。

所以

代入余项表达式，有

指出:

石瑞民《数值计算》关于余项讨论很清楚。

9、给出sinx在［0,叫上的等距结点函数表，用线性插值计算sinx的近似值，使其截断

误差为，问该函数表的步长h取多少才能满足要求？

解：设为等距结点，步长为h,则

当时，作f(x)的线性插值

则有

>

由此易知

因此

由，得。

指出：关于最大值的计算与12题相同。

10、求在区间［a,b］上的分段埃尔米特插值，并估计误差。

解：由分段三次埃尔米特插值多项式

则的分段埃尔米特插值为

其中

其余项估计式为

O

11、已知数据表

i012

2.57.510

4.07.05.0

0.13-0.13

求三次样条插值函数。

解：这是第一类边界条件，要求解方程组

其中

将以上数据代入方程组

解之得

将获得的数据代入到

中，得

12、设(具有二阶连续导数)，且f(a)=f(b)=0,证明:

证明：以a、b为节点进行插值，得

因为在处取得最大值，故

13.给定数据表

x-2-1012

y-0.10.10.40.91.6

用两种方法求其二次拟合曲线。

解一：

设所求的拟合函数为，

则。

对a、b、c分别求偏导，并令偏导数等于0,得

将各数据点的数值代入，得方程组为

解之得a=0.4086,b=0o42,c=0.0857,

所以数据点所反映的函数的近似关系为

解二：设所求的拟合函数为，

将数据代入方程得

方程组的系数矩阵和右端向量为

因为

所以

解之得a=0.4086,b=0o42,c=0.0857,

所以数据点所反映的函数的近似关系为

14、已知试验数据

x1925313844

y19.032.349.073.397.8

用最小二乘法求形如的经验公式，并计算均方误差。

解：设

则

对a、b分别求偏导，并令偏导数等于0,得

将数据代入得

化简得

第二个方程减去第一个方程乘以1065进•步化简得

解之得

则x与y的函数关系是

y=1.01+0.05x2,

此时，平方逼近误差为

所以，均方误差为。

指出：

均方误差实际上就是按最小二乘法则确定的残差。

15、观测物体的直线运动，得出如下数据：

时间t(s)00.91.93.03.95.0

距离s(m)010305080110

求运动方程。

解：设运动方程为s=a+bt则

将上述数据代入方程组

得方程组

解之得

所以，。

指出：

利用统计型计算器，有关中间数据可以简单求出。

16、在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下:

时间t05101520253035

浓度

01.272.162.863.443.874.154.37

时间t40455055

浓度

4.514.584.624.64

用最小二乘法求y=f(t)o

解：描草图，观察草图可以发现，该组数据分布近似于指数函数曲线，而且随着t的

增大，y的增速放缓，故设

两边取对数，得

令，

则拟合函数转化为线性拟合关系。

将上述数据代入

得

解之得

所