概率论与数理统计第三章多维随机变量

优选概率论与数理统计第三章多维随机变量目前一页\总数八十三页\编于十五点

第3章多维随机变量及其分布§3.1

二维随机变量及其分布§3.2边缘分布§3.4二维随机变量函数的分布（不讲）§3.3随机变量的独立性第3章多维随机变量及其分布目前二页\总数八十三页\编于十五点

到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.

在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.

飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.目前三页\总数八十三页\编于十五点由它们构成的一个n维向

以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.是定义在

上的随机变量，一般地，设E是一个随机试验，它的样本空间是是

={ω},设量叫做n维随机向量或n维随机变量.目前四页\总数八十三页\编于十五点一、二维随机变量设随机试验E

的样本空间为为定义在同一样本空间

上的两个随机变量，由它们构成的一个向量称为二维随机向量或二维随机变量§3.1二维随机变量及其分布定义3.1§3.1二维随机变量及其分布一、二维随机变量目前五页\总数八十三页\编于十五点x、y，二元函数1.联合分布函数定义3.2设(X,Y)是二维随机变量，如果对于任意实数称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称(X,Y)的分布函数.（3.1）二、二维随机变量的分布函数二、二维随机变量的分布函数目前六页\总数八十三页\编于十五点分布函数的函数值的几何解释：将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么，分布函数F(x,y)在点(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在下面左图所示的，以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷巨型域内的概率.目前七页\总数八十三页\编于十五点

随机点(X,Y)落在矩形域内的概率为目前八页\总数八十三页\编于十五点(1)对任意x

及y

有0≤F(x,y)≤1，且对任意固定的y，对任意固定的x，分布函数F(X,Y)有下面性质：目前九页\总数八十三页\编于十五点(2)F(x,y)是关于变量x

和y

的不减函数；对任意固定的y，当对任意固定的x，时，当时，目前十页\总数八十三页\编于十五点(3)关于x

或y

都是右连续的，即(4)对任意的有目前十一页\总数八十三页\编于十五点例1

试问二元函数能否成为某二维随机变量的联合分布函数？此二元函数F(x,y)具有二维随机变量联合分布函数的基本性质(1)、(2)和(3)，但因故F(x,y)不满足联合分布函数的基本性质(4).解目前十二页\总数八十三页\编于十五点所以，F(x,y)不能作为某二维随机变量的联合分布函数.目前十三页\总数八十三页\编于十五点为(X,Y)的联合概率分布，简称联合分布，也称设(X,Y)的一切可能值为称若(X,Y)只取有限对或可数对实数三、二维离散型随机变量定义3.3则称(X,Y)为离散型随机变量.联合分布律.（3.2）1.联合概率分布三、二维离散型随机变量目前十四页\总数八十三页\编于十五点二维离散型随机变量(X,

Y)的分布律具有性质：一维离散型随机变量X的分布律k=1,2,…目前十五页\总数八十三页\编于十五点也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布.

目前十六页\总数八十三页\编于十五点例1.

设(X,Y)的分布律如下表，求（1）（2）ＹX

0100.10.210.40.220.10解（1）目前十七页\总数八十三页\编于十五点X所有可能的取值为1,2；Y所有可能的取值也是1,2.用{X=1,Y=1}表示第一次取到号码为1的球，不再放回，第二次又取到号码为1的球，由于1号球只有一个，这是不可能的，所以解例2

袋中装有标上号码1，2，2的3个球，从中任取一个且不再放回，然后再从袋中任取一球，以X、Y分别记为第一、二取到球上的号码数，求(X,Y)的分布律(袋中各球被取到机会相同).目前十八页\总数八十三页\编于十五点令{X=1,Y=2}表示第一次取到1号球，第二次取到2号球，有同理可得分布律为：目前十九页\总数八十三页\编于十五点

例3

把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}

P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=3}=3/8=3/8解目前二十页\总数八十三页\编于十五点例4.

设随机变量在1,2,3,4这4个整数中等可能地取一个值，若Ｘ的值取定时，另一个随机变量Ｙ在1~Ｘ等可能地取一个整数值。求（Ｘ,Ｙ）的分布律.解由于{X=i,Y=j}的取值情况是i=1,2,3,4,j取不大于i的正整数，根据概率乘法公式得：P{X=i，Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=于是，得（Ｘ,Ｙ）的分布律如下表YX123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16目前二十一页\总数八十三页\编于十五点与一维随机变量的情形类似，有式中的和式是对一切满足：具体做起来比较麻烦，所以不作要求！目前二十二页\总数八十三页\编于十五点四、二维连续型随机变量定义3.4对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)，使对于任意的x,y有则称(X,Y)为连续型随机变量，其中f(x,y)称为(X,Y)

的联合概率密度函数，简称联合概率密度或联合概率密度函数.（3.3）1.联合概率密度目前二十三页\总数八十三页\编于十五点X的概率密度函数f(x)x∈R一维连续型随机变量X的分布函数性质：目前二十四页\总数八十三页\编于十五点2.

(X,Y)的概率密度的性质:

（3）设D是xoy平面上的区域，点(X,Y)落入D内的概率为（4）在f(x,y)的连续点,目前二十五页\总数八十三页\编于十五点例5

设(X,Y)的概率密度是求：（1）系数A

；（3）目前二十六页\总数八十三页\编于十五点（1）如图—1所示，f(x,y)在阴影部分不为0，其余均为0，由概率密度的性质（2），有

图—1解由此得A=6（2）根据联合密度函数的性质（3）目前二十七页\总数八十三页\编于十五点当x≤0或y≤0时,故当x>0,y>0时,（3）求联合分布函数目前二十八页\总数八十三页\编于十五点课外作业：习题3-11,2,4,5目前二十九页\总数八十三页\编于十五点§3.2边缘分布与随机变量的独立性定义3.5边缘分布函数可以由联合分布函数来确定。函数F(x,y),

而X和Y作为一维随机变量也有分布函数，将它们分别记为作称和分别为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数。二维随机变量(X,Y)作为整体，具有分布事实上，同样，目前三十页\总数八十三页\编于十五点一.

二维离散型随机变量的边缘分布律

对于二维离散型随机变量(X,Y)，X和Y的联合分布律为：且有,与一维离散型随机变量X的分布函数比较，得Ｘ的分布律为：同样Ｙ的分布律为：1.边缘分布律目前三十一页\总数八十三页\编于十五点定义3.6

分别称和记为二维离散型随机变量(X,Y)关于Ｘ和关于Ｙ的边缘分布律.目前三十二页\总数八十三页\编于十五点也可用表格来表示随机变量X

和Y

的边缘分布.

注意：由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布.请看下例。目前三十三页\总数八十三页\编于十五点

例１

设袋中有2只白球，3只红球，现做无放回摸球，每次一球，连模两次，令第二次摸到白球，第二次摸到红球，试求二维随机变量(X,Y)的联合分布.第一次摸到白球，第一次摸到红球，目前三十四页\总数八十三页\编于十五点解：显然（Ｘ,Ｙ）的可能取值为数组：根据乘法公式得：目前三十五页\总数八十三页\编于十五点不放回摸球目前三十六页\总数八十三页\编于十五点（1）放回摸球解例2.若将例1改做放回摸球情况又如何？目前三十七页\总数八十三页\编于十五点例1与例2的结果表明，两种摸球方式下，(X,Y)具有不同的联合分布，但它们相应的边缘分布却一样.这一事实说明，虽然二维随机变量(X,Y)的联合分布完全确定了它的两个边缘分布，但反过来，(X,Y)的两个边缘分布却不能完全确定出(X,Y)的联合分布，这正是必须将二维随机变量(X,Y)作为整体来研究的理由.目前三十八页\总数八十三页\编于十五点当(X,Y)是离散型随机变量时，设其所有可能值为则X和Y相互独立的充分必要条件为

容易证明，上例的放回摸球试验中的随机变量X与Y相互独立，而不放回摸球试验中的随机变量X与Y则不相互独立。2.离散型随机变量的独立性目前三十九页\总数八十三页\编于十五点例3.

从三张分别标有1，2，3号的卡片中任取码大于X的卡片，从剩下的卡片中再任取一张，以Y一张，以X记其号码，放回之后，拿掉三张卡片中号记其号码，求随机变量(X,Y)的联合分布和边缘分布.利用乘法公式，有解目前四十页\总数八十三页\编于十五点目前四十一页\总数八十三页\编于十五点将计算结果列成表格，求得边缘分布.目前四十二页\总数八十三页\编于十五点因为所以X与Y不独立例4.已知随机变量目前四十三页\总数八十三页\编于十五点函数为f(x,y),二.二维连续型随机变量的边缘密度函数与变量的独立性设(X,Y)为二维连续型随机变量，联合概率密度X的边缘分布函数可表示为：由分布函数和概率密度函数之间的关系可得，称为(X,Y)关于X的边缘概率密度函数，简称X的边缘概率密度.1.边缘密度函数目前四十四页\总数八十三页\编于十五点类似地，Y的边缘分布函数可表示为：则有称为(X,Y)关于Y的边缘概率密度函数，简称Y的边缘概率密度函数.目前四十五页\总数八十三页\编于十五点

例4设(X,Y)的概率密度是求：(1)c的值；（2）两个边缘密度.=5c/24,故

c=24/5.(1)解目前四十六页\总数八十三页\编于十五点(2)当时,暂时固定当x>1或x<0时,都有f(x,y)=0，故目前四十七页\总数八十三页\编于十五点暂时固定目前四十八页\总数八十三页\编于十五点注意取值范围综上,目前四十九页\总数八十三页\编于十五点例5.

设(X,Y)的概率密度是求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度.目前五十页\总数八十三页\编于十五点暂时固定当时,当时,故暂时固定解目前五十一页\总数八十三页\编于十五点暂时固定暂时固定当时,当时,故目前五十二页\总数八十三页\编于十五点定义3.7若二维随机变量(X,Y)的分布密度为二维随机变量的正态分布目前五十三页\总数八十三页\编于十五点其中均为常数，且的二维正态分布，记作则称(X,Y)服从参数为例6.求二维正态分布的两个边缘密度函数解：根据定义有目前五十四页\总数八十三页\编于十五点由于于是令目前五十五页\总数八十三页\编于十五点则有由标准正态概率密度函数性质所以同理目前五十六页\总数八十三页\编于十五点上例说明了二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且都不依赖于参数，即对于给定的，不同的对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却是一样的。这一事实说明，只有关于边缘分布，一般不能确定联合分布。目前五十七页\总数八十三页\编于十五点定义3.7设F(x,y)及分别是随机变量(X,Y)的联合分布函数和两个边缘分布函数，若对于一切x,y

有则称随机变量X和Y相互独立.或2.连续型随机变量的独立性目前五十八页\总数八十三页\编于十五点当(X,Y)是连续型随机变量时，设联合密度、边缘密度分别为则X和Y相互独立的充分必要条件是：若f(x,y)在点(x,y)连续，则

一般地，边缘分布不能确定二维随机变量的联合分布，但当X与Y相互独立时，二维随机变量(X,Y)的联合分布被它的两个边缘分布完全确定.二、连续型随机变量的独立性目前五十九页\总数八十三页\编于十五点例7设(X,Y)的概率密度为问X和Y是否独立？x>0解目前六十页\总数八十三页\编于十五点y>0目前六十一页\总数八十三页\编于十五点即可见对一切x,y,均有：故X,Y独立.目前六十二页\总数八十三页\编于十五点例8已知求目前六十三页\总数八十三页\编于十五点

例8.若(X,Y)的概率密度为情况又怎样？由于存在面积不为0的区域，故X和Y不独立.解目前六十四页\总数八十三页\编于十五点求:(1)X,Y的边缘分布密度；(2)X,Y是否独立；当0≤x≤

2时，例9.设随机变量(X,Y)的概率密度为(1)当x<0或x>2时，(3)P(Y≤X).解目前六十五页\总数八十三页\编于十五点同理(2)当0≤x≤2，0≤y≤2时，所以X与Y不独立.目前六十六页\总数八十三页\编于十五点目前六十七页\总数八十三页\编于十五点若随机变量且X

和Y

相互独立，则也就是说，服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布.注意：（二维正态分布）目前六十八页\总数八十三页\编于十五点课外作业：习题3-21,3,习题3-31,2,目前六十九页\总数八十三页\编于十五点§3.4二维随机变量函数的分布

当随机变量X,Y的联合分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)

的分布?一、二维离散型随机变量函数的分布设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布为则Z=g(X,Y)也是二维离散型随机变量.目前七十页\总数八十三页\编于十五点若对于不同的函数g(x,y)有相同的取值，应以(X,Y)在有相同函数值的点概率之和作为Z=g(X,Y)取相应函数值的概率.若对于不同的函数值互不相同，则Z=g(X,Y)的分布律为的目前七十一页\总数八十三页\编于十五点

例1

设两个相互独立的随机变量X与Y的分布律为求随机变量Z=X+Y

的分布律.由于X与Y相互独立，因此有得二维随机变量的联合分布：解目前七十二页\总数八十三页\编于十五点因为Z=X+Y，易知Z的分布为则Z的分布律为：目前七十三页\总数八十三页\编于十五点k=0,1,2,…泊松分布.例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为的依题意，X、Y的概率分布分别为解目前七十四页\总数八十三页\编于十五点k=0,1,…即Z服从参数为的泊松分布.于是目前七十五页\总数八十三页\编于十五点

例3

设X和Y的联合密