机械原理之运动学篇第2的

1运动学篇第2章

点的运动2第2章

点的运动

动画

例题3第2章

点的运动

动画4

动画第2章

点的运动矢量法表示点的运动5

动画第2章

点的运动密切面的形成6

动画第2章

点的运动自然轴系7

动画第2章

点的运动自然轴系图片8第2章

点的运动

例题9

一人在路灯下由灯柱起以匀速u沿直线背离灯柱行走。设人高AB=l，灯高OL=h，试求头顶影子M的速度和加速度。例题1

点的运动

例题xhOLABlutxM10解：取坐标轴Ox如图。由三角形相似关系，有即从而求得M点的直线运动方程

M

点的速度而加速度a=0

，即M点作匀速运动。例题1

点的运动

例题xhOLABlutxM11

椭圆规的曲柄OA可绕定轴O转动，端点A以铰链连接于规尺BC；规尺上的点B和C可分别沿互相垂直的滑槽运动，求规尺上任一点M的轨迹方程。ACByOxMxy已知:例题2

点的运动

例题12例题2

点的运动

例题运动演示13ACByOxMxy

考虑任意位置，M点的坐标x，y可以表示成消去上式中的角φ，即得M点的轨迹方程:解:例题2

点的运动

例题14例题2

点的运动

例题轨迹演示15例题2

点的运动

例题思考题：M点的轨迹是什么曲线？16例题2

点的运动

例题轨迹演示17

在上例的椭圆规尺BC上固连一个半径是a/2的圆盘，圆心重合于A。求圆盘边缘上任一点M的运动方程和轨迹方程，已知角φ=kt,其中k是常量。

yxABCOM例题3

点的运动

例题18例题3

点的运动

例题运动演示19

取固定坐标系Oxy，令∠MAC=2α,则M点在Oxy中的坐标为

yxABCOM解:

将φ=kt

代入上式即可得到圆盘边缘上任一点M

的运动方程。另外，由上式可以看出，两个坐标x，y成正比，即

故

M点的轨迹是斜率为tanα并通过坐标原点的直线，上式即为其轨迹方程。例题3

点的运动

例题20例题3

点的运动

例题轨迹演示21

yxABCOM

对于圆盘边缘上不同的点，角α取不同的值。但所有各点均作直线运动，且轨迹通过原点O。

如令轴Oξ重合于M点的轨迹直线，则有代入φ=kt

，得M点沿Oξ的直线运动方程对于点B与C，角α=90o与0o，故有例题3

点的运动

例题22xyOACBl

曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为r和l。且l>r，角=ωt，其中ω是常量。滑块B可沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度和加速度。例题4

点的运动

例题23例题4

点的运动

例题运动演示24考虑滑块B在任意位置，由几何关系得滑块B的坐标将φ=ωt代入上式得令λ=r/l，将上式的根式展开，有xyOACBl解:例题4

点的运动

例题25略去λ4以及更高阶项，并利用关系滑块B的速度和加速度为xyOACBl例题4

点的运动

例题则可表示为26

如图凸轮绕O轴匀角速转动，使杆AB上升。欲使杆AB匀速上升，凸轮上的CD段轮廓线应是什么曲线？BDACRφρ例题5

点的运动

例题27以凸轮为参考系，取极坐标研究杆上A点的运动。根据题意有

将上式对时间积分一次，并设C点为动点A在t=0时的初始位置，于是得以极坐标表示的A点相对于凸轮的运动方程消去时间t，得A点在凸轮上的轨迹方程凸轮转动，杆AB匀速上升，v，ω为常值，上式为阿基米得螺旋线。BDACRφρ解：例题5

点的运动

例题28

飞机在铅直面内从位置M0处以s=250t+5t2规律沿半径r=1500m的圆弧作机动飞行（如图），其中s以m计，t以s计，当t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。OM0Mr例题6

点的运动

例题29OM0Mr(-)s(+)v0vatana解：因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用自然法求解。取M0为弧坐标s的原点，s的正负方向如图所示。

当t=5s时，飞机的位置M可由弧坐标确定先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度例题6

点的运动

例题30OM0Mr(-)s(+)v0vatana

故在这瞬时飞机的总加速度a的大小和方向为α代入

t=5s

得例题6

点的运动

例题31

销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑动，OA=R=0.1m。已知摆杆的转角（时间以s计，φ以rad计），试求销钉在t1=1/4s和t2=1s时的加速度。例题7

点的运动

例题ROωφREDBCsO'Aθ-s+s32例题7

点的运动

例题运动演示33

已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心在A点，半径是R。选滑道上O'点作为弧坐标的原点，并以O'D为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标

但是，由几何关系知，且，将其代入上式，得这就是B点的自然形式的运动方程。解：

例题7

点的运动

例题ROωφREDBCsO'Aθ-s+s34ROωφREDBCsO'Aθ-s+sB点的速度在切向上的投影vtB点的加速度a在切向的投影而在法向的投影atan例题7

点的运动

例题35当

时,,，又

,。可见,这时B点的加速度大小且a1沿切线的负向。

当t1=1s

时,

又可见，这时点B的加速度大小且a2沿半径B2A。a2=a1nADB1B2Rθ1Ea1=a1t例题7

点的运动

例题36

半径是r的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。OHCDMxyφ例题8

点的运动

例题37OAHBCDMxyφ

在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴x沿直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴y铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有OH=弧MH

。于是，在图示瞬时动点M

的坐标为解：1.求M点的运动方程。例题8

点的运动

例题38

这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一转的时间T=2π/ω

，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。OAHBCDMxyφP

以代入，得M点的运动方程

例题8

点的运动

例题对E39

求坐标x，y对时间的一阶导数，得故得M点速度v

的大小和方向，有M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。OAHBCDMPxyφ2.求M点的瞬时速度。v例题8

点的运动

例题40

求vx，vy对时间的一阶导数，得

故得M点加速度a的大小和方向，有

x=0,y=0;

当t=0时，有

这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。OAHBCDMPExyφa3.求M点的瞬时加速度。例题8

点的运动

例题41例题8

点的运动

例题轨迹演示42

试求例8中轮缘上M点的切向加速度和法向加速度，并求轨迹的最大曲率半径。OHCDMxyφPav例题9

点的运动

例题43解：因而它的切向加速度

注意，当时，而当时，；两者相差一个负号。在以后，M点进入另一个滚轮环，这里出现尖点，运动方向发生突然逆转，由突变为。OHCDMExyφ2πvata例题9

点的运动

例题44矢量at

和an的方向分别沿MD

和MH。

M点的法向加速度大小OHCDMExyφ2πvataan例题9

点的运动

例题45另一方面，，故轨迹的曲率半径为可见，轨迹的最大曲率半径，对应于轨迹的最高点。OHCDMxyφ2πvataanEπ例题9

点的运动

例题46

圆柱的半径为r，绕铅直固定轴z作匀速运动，周期为T秒。动点M以匀速u沿圆柱的一条母线NM运动（如图）试求M点的轨迹、速度和加速度，并求轨迹的曲率半径。xyrM0N(x,y)MzO例题10

点的运动

例题47例题10

点的运动

例题运动演示48xyrM0N(x,y)MzO

取固定直角坐标系Oxyz如图所示。设开始时M点在M0位置，当圆柱转动时，角∠M0ON随时间成正比地增加，在瞬时t，它等于，故M点的坐标为这就是M点的运动方程。M点的轨迹方程这螺旋线方程就是M点在固定坐标系中的运动轨迹